Le modèle de la marche au hasard

Loi de puissance
samedi 12 août 2006
par  Bernard Vuilleumier
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Marche au hasard

Le modèle de la « marche au hasard » le plus simple, dans lequel l’espace et le temps sont discrets, peut être utilisé pour simuler le mouvement d’un mobile qui effectue un « pas » par unité de temps. A une dimension, le mobile se déplace sur un axe, par pas d’une unité chaque fois, dans l’un ou l’autre sens, avec des probabilités égales. On peut envisager des mouvements sur un réseau d’un espace euclidien à n dimensions ou choisir au hasard la direction dans laquelle s’effectue le déplacement. La longueur des « pas » peut être fixe ou satisfaire une loi de distribution.

Pour en savoir plus
- Marche au hasard - Wikipédia
- Ian Stewart. Abrogeons la loi des moyennes

Questions

  1. Simulez une marche au hasard de n pas d’égale longueur, en avant ou en arrière, sur une droite.
  2. Simulez une marche aléatoire de n pas d’égale longueur sur un réseau carré.
  3. Simulez un mouvement brownien à 3 dimensions.
  4. Calculez pour les mouvements précédents le carré de la distance parcourue après n pas. Répétez m fois les simulations et calculez la moyenne des carrés des distances parcourues. Calculez cette moyenne pour différentes valeurs de n. Reportez le logarithme de la moyenne de ces carrés en fonction du logarithme de n. Faites passer au mieux une droite par ces points et calculez la pente de cette droite. Donnez une interprétation de cette pente.