Oscillations d’un pendule Dépendance de la période vis à vis de l’amplitude

, par  Bernard Vuilleumier , popularité : 1%

Lorsque l’amplitude d’oscillation d’un pendule est faible, on peut admettre que la force de rappel exercée sur le pendule est proportionnelle à l’écart angulaire par rapport à sa position d’équilibre. Mais pour des angles excédant 20° ce n’est plus le cas et la période d’oscillation dépend alors de l’amplitude.
Oscillations d'un pendule
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Introduction

La notion d’oscillation, et celle de vibration qui lui est directement associée, est essentielle en physique. Le mouvement périodique est à la base de tout l’édifice théorique élaboré pour rendre compte de l’évolution temporelle quelconque d’un système. L’oscillateur a un comportement dépendant du temps. Il en existe plusieurs réalisations : la masse pesante suspendue à un ressort, le pendule, le diapason sont des exemples de systèmes au comportement périodique. Il existe des phénomènes d’oscillation qui surviennent spontanément dans de nombreux systèmes : roue, moteur, hélice, turbine en rotation et qui engendrent des vibrations susceptibles de perturber leur fonctionnement, voire même d’entraîner leur propre destruction. C’est pour cette raison qu’il est impératif d’équilibrer les roues d’un véhicule, le vilebrequin d’un moteur, les hélices d’un avion et les turbines d’une centrale.

Quelques rappels

En cinématique, nous avons défini la vitesse moyenne par la relation :

v_{moyenne}=\frac{\Delta x}{\Delta t}

et la vitesse instantanée par la limite de ce quotient :

v=lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\dot x(t)

De même l’accélération moyenne se définit par :

a_{moyenne}=\frac{\Delta v}{\Delta t}

et l’accélération instantanée par :

a=lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\dot v(t)

Or comme v=\dot x(t) l’accélération peut s’écrire  a=\ddot x(t). L’accélération instantanée est la dérivée seconde par rapport au temps de l’espace parcouru. En dynamique, le principe fondamental nous dit que la force est égale au produit de la masse par l’accélération, ce qui, en notation différentielle, peut s’écrire :

 \vec F=m\vec a=m\ddot {\vec r}(t)

ou, si l’on a un mouvement à une dimension, c’est-à-dire le long d’un axe orienté :

F = m\ddot x(t)

Le pendule simple

Si l’on écarte une masse accrochée à un fil de longueur l de sa position d’équilibre, il se produit, lorsque le fil forme un angle \phi avec la verticale, une force de rappel :

F=-P sin\phi (t)

et comme P=mg, F=-mgsin\phi (t). L’arc décrit par le mobile vaut l\phi (t). En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on obtient :

F=ma =m l\ddot\phi (t)

d’où l’équation différentielle :

m l\ddot\phi (t)=-mgsin\phi (t)

C’est une équation différentielle non linéaire que l’on peut linéariser dans le cas des petites oscillations pour lesquelles on admet que sin\phi \approx \phi. Après simplification par m, on obtient :

l\ddot\phi (t)=-gsin\phi (t)

Expérience

Mesures

  1. Mesurez la période d’oscillation T d’un pendule en fonction de sa longueur l.
  2. Mesurez la période d’oscillation d’un pendule de longueur l fixée pour différentes masses et pour une amplitude d’oscillation inférieure à 20°.
  3. Mesurez la période du pendule pour des amplitudes variant de 10 à 90°.

Questions

  1. Reportez T en fonction de \sqrt l.
  2. Vérifiez que, pour de petites amplitudes d’oscillation, T est proportionnel à \sqrt l.
  3. Calculez g à partir de ce graphique.
  4. Reportez T (pour de petites amplitudes) en fonction de m.
  5. Que devrait valoir la constante k d’un ressort pour qu’il oscille avec la même période lorsqu’on accroche chacune des masses que vous avez utilisées à son extrémité libre ?
  6. Reportez T en fonction de l’amplitude d’oscillation et comparez les résultats à ceux prédits par la théorie (série du pendule).

Voir en ligne : Nonlinearized Motion of a Simple Pendulum