Oscillations harmoniques

Équation du mouvement
vendredi 5 janvier 2007
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 3%

La détermination de la raideur d’un ressort peut se faire par la mesure de son élongation (méthode statique) ou par la mesure de la période d’oscillation d’une masse accrochée à son extrémité libre (méthode dynamique).
Oscillations harmoniques
Utiliser le modèle

Introduction

La notion d’oscillation, et celle de vibration qui lui est directement associée, est essentielle en physique. Le mouvement périodique est à la base de tout l’édifice théorique élaboré pour rendre compte de l’évolution temporelle quelconque d’un système. L’oscillateur a un comportement dépendant du temps. Il en existe plusieurs réalisations : la masse pesante suspendue à un ressort, le pendule, le diapason sont des exemples de systèmes au comportement périodique. Il existe des phénomènes d’oscillation qui surviennent spontanément dans de nombreux systèmes : roue, moteur, hélice, turbine en rotation et qui engendrent des vibrations susceptibles de perturber leur fonctionnement, voire même d’entraîner leur propre destruction. C’est pour cette raison qu’il est impératif d’équilibrer les roues d’un véhicule, le vilebrequin d’un moteur, les hélices d’un avion et les turbines d’une centrale.

Quelques rappels

En cinématique, nous avons défini la vitesse moyenne par la relation :

$v_{moyenne}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

et la vitesse instantanée par la limite de ce quotient :

$v=lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\dot x(t)$

De même l’accélération moyenne se définit par :

$a_{moyenne}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

et l’accélération instantanée par :

$a=lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\dot v(t)$

Or comme $v=\dot x(t)$ l’accélération peut s’écrire $ a=\ddot x(t).$ L’accélération instantanée est la dérivée seconde par rapport au temps de l’espace parcouru. En dynamique, le principe fondamental nous dit que la force est égale au produit de la masse par l’accélération, ce qui, en notation différentielle, peut s’écrire :

$ \vec F=m\vec a=m\ddot {\vec r}(t)$

ou, si l’on a un mouvement à une dimension, c’est-à-dire le long d’un axe orienté :

$F = m\ddot x(t)$

Oscillateur harmonique

Considérons une masse suspendue au bout d’un ressort. Si l’on écarte le ressort de sa position d’équilibre, il exerce une force de rappel proportionnelle et opposée à l’élongation et nous avons affaire à un oscillateur harmonique :

$F=-kx$

Établissons l’équation différentielle de l’oscillation linéaire harmonique en utilisant la relation fondamentale de la dynamique $F = m a$ :

$m\ddot x (t)=-kx(t)$

C’est une relation entre une fonction $x(t)$ et sa dérivée seconde $\ddot x (t)$. Une telle équation admet une fonction périodique comme solution.

Expérience

Mesures

  1. Accrochez successivement différentes masses au premier ressort et mesurez, pour chaque masse, son élongation.
  2. Accrochez successivement les mêmes masses au deuxième ressort et mesurez, pour chaque masse, son élongation.
  3. Associez les deux ressorts (en série), accrochez successivement les mêmes masses à ce montage et mesurez, pour chaque masse, son élongation.
  4. Suspendez une masse m successivement aux deux ressorts et mesurez les périodes d’oscillation.

Questions

  1. Reportez l’élongation en fonction de m et déterminez la constante k de chaque ressort et de leur montage en série à partir de ces graphiques.
  2. Reportez la période d’oscillation T en fonction de $\sqrt m$ et déterminez la constante k de chaque ressort à partir de ces graphiques. Comparez avec les valeurs précédentes. S’il y a une différence, d’où peut-elle venir ?
  3. Exprimez la constante équivalente kéq du montage en série des ressorts à partir des constantes k1 et k2 de chacun d’eux.
  4. Calculez la masse qui permet de doubler la période d’oscillation T et vérifiez votre pronostic par l’expérience.
  5. Vérifiez que l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique admet comme solution la fonction $x(t)=Asin(\omega t+\phi)$
  6. Donnez une interprétation physique des grandeurs $A$, $\omega$ et$\phi$.
  7. Établissez, à partir des équations du mouvement de l’oscillateur harmonique, l’expression donnant la période $T$ d’oscillation.

Documents joints

Rupture du pont de Tacoma
Forces agissant sur un pendule

Commentaires  forum ferme

Logo de Bernard Vuilleumier
jeudi 8 mars 2007 à 21h43 - par  Bernard Vuilleumier

En effet, vous êtes tout près du but : $A sin(\omega t+\Phi)$ est égal à $x(t)$. Votre égalité est donc satisfaite à condition que $\omega^2$ soit égal à $\frac{k}{m}$ et c’est ce qu’on voulait établir.

Logo de Antonio Rodriguez Pupo
jeudi 8 mars 2007 à 19h40 - par  Antonio Rodriguez Pupo

Bonsoir Monsieur,

Pourriez-vous m’éclairer sur le moyen d’arriver à répondre à la question 1 de notre rapport. J’y suis presque (je crois).

Je suis arrivé à poser :

$ \ x (t)= \frac{ -m\omega^2 Asin(\omega t +\phi)}{-k} $

Mais je n’arrive pas à aller jusqu’à l’équation demandée :

$x(t)=Asin(\omega t+\phi)$

Merci

Logo de Bernard Vuilleumier
mercredi 21 février 2007 à 17h55 - par  Bernard Vuilleumier

Il s’agit d’une substitution : vous partez de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique donnée dans le protocole :

$m\ddot x (t)=-kx(t)$

et vous remplacez dans cette équation $x (t)$ par $Asin(\omega t+\phi)$ et $\ddot x (t)$ par la deuxième dérivée de cette fonction par rapport au temps. Vous simplifiez ensuite le résultat et vous concluez que la fonction $x (t)=Asin(\omega t+\phi)$ satisfait l’équation à condition que … (à vous de voir)

Logo de Jérémie Jaccard
mercredi 21 février 2007 à 17h33 - par  Jérémie Jaccard

Bonsoir M. Vuilleumier,

Tiago ainsi que moi même avons de la peine à comprendre ce que vous attendez de nous au sujet de la Questions 1.

Quelques explications de votre part nous aideraient grandement.

En vous remerciant d’avance pour votre future aide.

Jérémie