Oscillations harmoniques Équation du mouvement

, par  Bernard Vuilleumier , popularité : 1%

La détermination de la raideur d’un ressort peut se faire par la mesure de son élongation (méthode statique) ou par la mesure de la période d’oscillation d’une masse accrochée à son extrémité libre (méthode dynamique).
Oscillations harmoniques
Utiliser le modèle

Introduction

La notion d’oscillation, et celle de vibration qui lui est directement associée, est essentielle en physique. Le mouvement périodique est à la base de tout l’édifice théorique élaboré pour rendre compte de l’évolution temporelle quelconque d’un système. L’oscillateur a un comportement dépendant du temps. Il en existe plusieurs réalisations : la masse pesante suspendue à un ressort, le pendule, le diapason sont des exemples de systèmes au comportement périodique. Il existe des phénomènes d’oscillation qui surviennent spontanément dans de nombreux systèmes : roue, moteur, hélice, turbine en rotation et qui engendrent des vibrations susceptibles de perturber leur fonctionnement, voire même d’entraîner leur propre destruction. C’est pour cette raison qu’il est impératif d’équilibrer les roues d’un véhicule, le vilebrequin d’un moteur, les hélices d’un avion et les turbines d’une centrale.

Quelques rappels

En cinématique, nous avons défini la vitesse moyenne par la relation :

v_{moyenne}=\frac{\Delta x}{\Delta t}

et la vitesse instantanée par la limite de ce quotient :

v=lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\dot x(t)

De même l’accélération moyenne se définit par :

a_{moyenne}=\frac{\Delta v}{\Delta t}

et l’accélération instantanée par :

a=lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\dot v(t)

Or comme v=\dot x(t) l’accélération peut s’écrire  a=\ddot x(t). L’accélération instantanée est la dérivée seconde par rapport au temps de l’espace parcouru. En dynamique, le principe fondamental nous dit que la force est égale au produit de la masse par l’accélération, ce qui, en notation différentielle, peut s’écrire :

 \vec F=m\vec a=m\ddot {\vec r}(t)

ou, si l’on a un mouvement à une dimension, c’est-à-dire le long d’un axe orienté :

F = m\ddot x(t)

Oscillateur harmonique

Considérons une masse suspendue au bout d’un ressort. Si l’on écarte le ressort de sa position d’équilibre, il exerce une force de rappel proportionnelle et opposée à l’élongation et nous avons affaire à un oscillateur harmonique :

F=-kx

Établissons l’équation différentielle de l’oscillation linéaire harmonique en utilisant la relation fondamentale de la dynamique F = m a :

m\ddot x (t)=-kx(t)

C’est une relation entre une fonction x(t) et sa dérivée seconde \ddot x (t). Une telle équation admet une fonction périodique comme solution.

Expérience

Mesures

  1. Accrochez successivement différentes masses au premier ressort et mesurez, pour chaque masse, son élongation.
  2. Accrochez successivement les mêmes masses au deuxième ressort et mesurez, pour chaque masse, son élongation.
  3. Associez les deux ressorts (en série), accrochez successivement les mêmes masses à ce montage et mesurez, pour chaque masse, son élongation.
  4. Suspendez une masse m successivement aux deux ressorts et mesurez les périodes d’oscillation.

Questions

  1. Reportez l’élongation en fonction de m et déterminez la constante k de chaque ressort et de leur montage en série à partir de ces graphiques.
  2. Reportez la période d’oscillation T en fonction de \sqrt m et déterminez la constante k de chaque ressort à partir de ces graphiques. Comparez avec les valeurs précédentes. S’il y a une différence, d’où peut-elle venir ?
  3. Exprimez la constante équivalente kéq du montage en série des ressorts à partir des constantes k1 et k2 de chacun d’eux.
  4. Calculez la masse qui permet de doubler la période d’oscillation T et vérifiez votre pronostic par l’expérience.
  5. Vérifiez que l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique admet comme solution la fonction x(t)=Asin(\omega t+\phi)
  6. Donnez une interprétation physique des grandeurs A, \omega et\phi.
  7. Établissez, à partir des équations du mouvement de l’oscillateur harmonique, l’expression donnant la période T d’oscillation.