Précision et incertitude d’un calcul ou d’une mesure Nombre exact, nombre réel approché, précision, chiffres significatifs et incertitude

, par  Bernard Vuilleumier , popularité : 4%

Une calculatrice électronique (ou un logiciel de calcul) effectue toutes ses opérations à une certaine précision. Un nombre réel approché comporte toujours une incertitude sur sa valeur, incertitude due aux chiffres qui se trouvent au-delà des chiffres connus. La précision d’un nombre fournit une mesure de l’incertitude sur ce nombre. Précision et incertitude d'un calcul ou d'une mesure
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Tableau des notions et des activités

Incertitude d’une mesure
En sciences expérimentales, une grandeur mesurée est toujours entachée d’une incertitude : la fiabilité d’un résultat dépend de la précision des mesures. Cette précision est limitée par les possibilités propres à chaque appareil de mesure. Les résultats numériques d’une expérience doivent donc toujours être donnés avec leur marge d’incertitude, ce qui permet d’en évaluer la fiabilité.

Mesure d’une grandeur et expression d’un nombre : comparaison
La fiabilité du résultat d’une mesure dépend de la précision de l’appareil utilisé. Cette précision exprime la capacité de l’appareil d’approcher la valeur « vraie » de la grandeur mesurée. On peut établir une comparaison entre la mesure d’une grandeur physique à l’aide d’un appareil et l’expression d’un nombre par une calculatrice ou un logiciel de calcul. La plupart des calculatrices utilisent des nombres d’une certaine précision, disons 10 chiffres. Or, en général, un nombre réel comporte une infinité de chiffres : si vous divisez 1 par 3, la division ne se termine jamais et le résultat ne peut s’écrire sous forme exacte que de la manière suivante :
\frac{1}{3}
De même, l’expression de la diagonale d’un carré de côté 1 est :
\sqrt 2
Ou encore l’expression de la circonférence d’un cercle de diamètre 1 :
\pi
La calculatrice (ou le logiciel de calcul) utilisera des approximations de ces nombres, appelées nombres réels approchés :

0.333333333
1.414213562
3.141592654

Ces nombres réels approchés, comme le résultat d’une mesure, comportent une incertitude. Nous pouvons donc définir la précision de ces approximations, qui dépend de la capacité de la calculatrice (ou du logiciel) à approcher la valeur vraie [1]. L’utilité de cette comparaison est de pouvoir illustrer expérimentalement, à l’aide d’un logiciel de calcul, ce qu’il advient de la précision d’un résultat obtenu à partir de grandeurs entachées d’incertitudes sans avoir à maîtriser, ni même à connaître, le calcul de la propagation des incertitudes.

Précision d’un nombre et incertitude sur ce nombre
Mathematica vous permet d’utiliser des nombres réels approchés comportant un nombre arbitraire de chiffres. Dans Mathematica, la précision [2] d’un nombre réel approché x est le nombre de chiffres [3] composant x qui sont considérés comme significatifs pour le calcul. Si un nombre x est entaché d’une incertitude dx, alors sa vraie valeur se trouve quelque part dans un intervalle allant de x-\frac{dx}{2} à x+\frac{dx}{2}.

Incertitude relative
La précision d’un nombre fournit une mesure de l’incertitude relative qui l’affecte :

  • Precision[x] vaut -log(\frac{dx}{|x|}).

Lorsque nous exprimons \frac{1}{3} numériquement avec Mathematica, le nombre affiché comporte 6 chiffres, mais la précision de ce nombre est celle de l’ordinateur utilisé (16 pour un PC) :

Incertitude absolue
La commande Accuracy[x] donne le nombre effectif de chiffres situés à droite du séparateur décimal. Elle permet d’obtenir une mesure de l’incertitude absolue dx qui affecte ce nombre :

  • Accuracy[x] vaut -log(dx})

Remarques

  • Pour des nombres exacts, Precision[x] est Infinity.
  • Precision[x] ne donne en général pas un nombre entier (note 3).
  • Pour n’importe quel nombre approché x, Precision[x] est égal à RealExponent[x]+Accuracy[x].
  • Pour des nombres ayant la précision de l’ordinateur, Precision[x] donne MachinePrecision[x].

Conventions d’écriture
Vous pouvez spécifier le nombre de chiffres p d’un nombre x sans avoir à les saisir tous en écrivant x`p. Si vous voulez donner le nombre 1.2 avec une précision de 20 par exemple, vous écrivez :

Vous précisez le nombre de chiffres a à droite du séparateur décimal d’un nombre x en écrivant x``a :

Exemples
Lorsqu’on connaît la convention d’écriture x`p d’un nombre x de précision p, nombre qui pourrait très bien exprimer le résultat d’une mesure et son incertitude [4], il devient très facile d’expérimenter avec Mathematica et d’examiner la précision d’un résultat obtenu par des opérations arithmétiques sur des nombres dont la précision est donnée :

Les entrées sorties se lisent ainsi :

- Calcul n° 9

  • 19.9 (nombre de précision 3) × 16.4 (nombre de précision 3)
  • 326. (nombre de précision 3 car le nombre est composé de 3 chiffres)

- Calcul n° 11

  • (334 (nombre de précision 3) - 326 (nombre de précision 3))/2
  • 4. (nombre de précision 1 car le nombre est composé d’un seul chiffre)

- Calcul n° 12

  • 70 (nombre de précision 2) / 3 (nombre de précision 2)
  • 23. (nombre de précision 2 car le nombre est composé de 2 chiffres)

- Calcul n° 13

  • 70 (nombre de précision 2) / 3 (nombre de précision 5)
  • 23. (nombre de précision 2 car le nombre est composé de 2 chiffres)

- Calcul n° 14

  • 70 (nombre de précision 5) / 3 (nombre de précision 4)
  • 23.33 (nombre de précision 4 car le nombre est composé de 4 chiffres)

Voir en ligne : Scientific Notation by Joe Bolte

[1Lorsqu’on exprime un nombre réel à l’aide d’une nombre réel approché la valeur vraie est connue : c’est le nombre réel. En revanche, lorsqu’on exprime le résultat d’une mesure, la valeur « vraie » de la grandeur mesurée est toujours inconnue.

[2Cette précision est supérieure au nombre de chiffres affichés (qui vaut 6) et elle peut dépendre de type d’ordinateur utilisé (elle vaut 16 sur les PC).

[3Pour assurer une totale cohérence entre le traitement des nombres et des incertitudes relatives et absolues qui les affectent, Precision[x] et Accuracy[x] peuvent prendre des valeurs non entières.

[4Lorsque l’incertitude d’une mesure n’est pas donnée explicitement, elle porte sur le dernier chiffre significatif : une longueur mesurée de 19.9 centimètres par ex. est donnée à 1 mm près et la « vraie » valeur est très probablement dans l’intervalle [19.85, 19.95] cm.