Simuler le mouvement d’un mobile sur une cycloïde

La cycloïde est une courbe tautochrone
dimanche 4 septembre 2005
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Soit une courbe c - que nous supposerons sans boucle, continue et dérivable - donnée sous forme paramétrique : c(u) = e(u), f(u) = x, y. Cette courbe passe par les deux points
c(u_0) = e(u_0), f(u_0) et c(u_1) = e(u_1), f(u_1) que nous noterons plus brièvement (x_0, y_0) et (x_1, y_1). Dessinez la courbe c(u) = e(u), f(u) = u - sin(u), cos(u) - 1 pour 0 ≤ u ≤ π et les deux points extrêmes c(0) = (0, 0 )et c(π) = (π, -2).

Conservation de l’énergie mécanique

Considérons un mobile ponctuel de masse m glissant sans frottement sur cette courbe sous l’effet de la gravitation g. Établissez l’expression donnant la vitesse du mobile lorsqu’il se trouve en un point (x_1, y_1) de la courbe si sa vitesse en (x_0, y_0) est nulle et si y_1 < y_0

Piste et trajectoire du centre de masse

Considérons une bille de rayon r roulant sans glisser sur cette courbe sous l’effet de la gravitation g. Donnez l’expression de la trajectoire du centre de masse de la bille et dessinez la « piste » ainsi que la trajectoire du centre de masse.

Les deux mobiles atteignent le fond de la cuvette en même temps, quels que soient leurs points de départ.

Simulez le mouvement sur cette piste sous l’effet de la gravitation g :
• d’une bille ponctuelle glissant sans frottement ;
• d’une bille de rayon
r roulant sans glisser ;
• d’une bille de rayon
r subissant différents types de frottements.
Comparez dans chaque cas les temps de descente pour différents points de départ.

Brachistochrone

Comparez les temps de descente sur différentes courbes passant par les deux points .

Voir l’article Le lièvre et la tortue


Documents joints

Le lièvre et la tortue