Simuler le mouvement d’une bille

Trajectoire définie à l’aide d’une fonction
dimanche 4 septembre 2005
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Dégager la physique du problème

En admettant que la bille sur la trajectoire y = f(x) subit trois forces, son poids mOverscript[g, →], une force de soutien normale au plan Overscript[S, →] et une force de frottement opposée à la vitesse Overscript[F, →], écrivez l’expression donnant son accélération tangentielle a_t et son accélération normale a_n.

Définir une trajectoire

Définissez quelques trajectoires permettant de tester :
a) le nombre de tours effectués sur une trajectoire de courbure constante (cercle)
b) le nombre de tours effectués lorsque la courbure de la trajectoire n’est pas constante
c) la conservation de l’énergie

Présenter les données spatiales

Établissez les graphiques donnant :
a) la vitesse du mobile en fonction de sa position sur l’axe x.
b) l’accélération tangentielle
a_t du mobile en fonction de sa position sur l’axe x.
c) l’accélération normale
a_n du mobile en fonction de sa position sur l’axe x.
d) la composante
a_x de l’accélération du mobile en fonction de sa position sur l’axe x.

Établir un lien entre l’espace et le temps

Écrivez l’équation différentielle qui établit le lien entre les données spatiales et temporelles.
Résolvez numériquement cette équation et établissez les graphiques donnant l’abscisse et l’ordonnée du mobile en fonction du temps.

Réaliser une simulation

Utilisez la solution de l’équation différentielle pour réaliser une simulation qui permet de visualiser le mouvement d’un corps solide (bille, cylindre, anneau) sur une trajectoire en laissant à l’utilisateur le choix de :
• la forme et l’étendue de la trajectoire
y = f(x)
• l’intensité de la gravitation
Overscript[g, →]
• la position initiale
x_0 du corps
• la grandeur et le sens de la vitesse initiale Overscript[v_0, →] du corps
• le rayon r, la masse volumique ρ et le moment d’inertie I du corps
• la durée et le nombre d’images de l’animation.

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