Comportements et dynamique. Corrigé

Modélisation avec Stella
mercredi 7 novembre 2007
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 1%

Corrigé

Problème 1

comportementvolume initialdébit
déclin linéaire 1 Volume-Volume+1/12
croissance linéaire 0.1 Volume-Volume+0.9/12
déclin exponentiel 1 Volume/5
croissance exponentielle 0.1 Volume/5
croissance limitée 0 1-Volume
croissance en S 0.01 Volume(1-Volume)

Problème 2

- Carte Stella :
- Définition : Débit = (Volume_max-Volume)/Volume_max*Débit_max
- Valeur du débit max

  • 3.22 litres par seconde :
de à pas Méthode d’intégration t (s) Volume (litre)
0 12 0.25 Euler 10 16.13
0 12 0.25 Runge - Kutta d’ordre 2 10 16.00
0 12 0.25 Runge - Kutta d’ordre 4 10 16.00
  • 1.61 litre par seconde :
de à pas Méthode d’intégration t (s) Volume (litre)
0 20 0.25 Euler 20 16.07
0 20 0.25 Runge - Kutta d’ordre 2 20 16.00
0 20 0.25 Runge - Kutta d’ordre 4 20 16.00

Problème 3

- Carte Stella

PNG - 6.1 ko
Carte Stella

- Expressions et valeurs

v(t) = v(t - dt) + (a) * dt
INIT v = 0
INFLOWS:
a = g-Ffrott/m
v2(t) = v2(t - dt) + (a2) * dt
INIT v2 = 0
a2 = g-Ffrott2/m2
x(t) = x(t - dt) + (vit) * dt
INIT x = 0
vit = v
x2(t) = x2(t - dt) + (vit2) * dt
INIT x2 = 0
vit2 = v2
Cx = 0.5
deltax = x2-x
Ffrott = 0.5*rho*S*Cx*v^2
Ffrott2 = 0.5*rho*S*Cx*v2^2
g = 9.81
m = 70
m2 = 90
rho = 1.293
S = 0.3

- Résultats

de à pas Méthode t (s) x1 (m) x2 (m) Δx
0 12 0.1 Euler 11.1 483.6 503.2 19.6
0 12 0.1 Runge-Kutta 2 11.1 486 506 20
0 12 0.1 Runge-Kutta 4 11.1 486 506 20

Commentaires  forum ferme

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mardi 18 décembre 2007 à 20h21 - par  Bernard Vuilleumier

À propos du champ, vous ne devez pas avoir cherché très longtemps, car en suivant les brèves qui concernent votre cours et en remontant à la date du dernier cours donné (une semaine avant l’escalade) , vous trouvez, pour le champ :

  • modèles donnant lieu aux « comportements génériques »
  • oscillations (oscillateur harmonique, pendule)

À demain et bonne nuit.

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mardi 18 décembre 2007 à 20h12 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

Rien n’est impossible ! Mais il ne me semble pas avoir sollicité vos connaissances sur les IF… THEN… ELSE dans la première mouture de l’épreuve que je pensais vous proposer demain. Il se pourrait toutefois qu’elle évolue encore un peu en cours de nuit.

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mardi 18 décembre 2007 à 19h39 - par  William Pownall

Bonsoir,

Je me permet d’ajouter un commentaire sur cet aricle puisque je ne trouve pas le champs de l’épreuve de demain. J’aimerais savoir s’il y aura des calculs avec des IF... THEN... ELSE.

J’aimerais également savoir quels oscillateurs il y aura dans l’épreuve.

Merci par avance

William Pownall

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mardi 20 novembre 2007 à 16h35 - par  Bernard Vuilleumier

Bonjour,

- Non, sur l’axe vertical vous reportez le volume (le volume max est constant et donc inintéressant à observer au cours du temps !). Vous simulez ensuite un remplissage en choisissant par exemple un débit max de 1 l/s. Vous constatez qu’après 10 seconde vous n’obtenez pas les 16 l désirés. Vous augmentez votre débit max à 5 l/s par exemple. Vous simulez et vous obtenez plus de 16 l après 10 s. Vous savez donc maintenant que le débit max doit se situer entre 1 et 5 l/s. Vous essayez 2.5 l/s, etc.
- J’ai déjà répondu à la deuxième question que vous posez. Veuillez s’il vous plaît lire toutes les questions qui ont été posées ainsi que les réponses (lorsque j’ai répondu).

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mardi 20 novembre 2007 à 14h54 - par  Sarah

Bonjour, j’ai quelques questions à propos de l’execice 2 et 3

Exercice 2 :

Comment faites vous pour la réponse de la deuxième question, sur mon graphique je n’arrive pas à trouver 16 litres pour le volume... sur l’axe vercticale il faut bien mettre le volume max et l’horizontal 0 à12 ? Et pour trouver le débit max vous avez dit qu’il faut tatonner, mais comment savez vous entre quels chiffres se trouve il faut tatonner ?

Exercice 3 :

Je ne vois pas comment vous pouvez répondre aux deux dernières questions avec le programme de stella.

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lundi 19 novembre 2007 à 22h22 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

- L’accélération est donnée par la somme des forces divisée par la masse. Dans la somme des forces figure le poids P = mg. En divisant P par m, on obtient g. L’accélération est donc bien égale à g - $\frac{F_{frott}}{m}$ comme c’est écrit dans le corrigé.
- Vous pouvez lire la distance qui sépare les parachutistes sur le graphique, mais une lecture dans une table autorise une meilleure précision.

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lundi 19 novembre 2007 à 18h32 - par  Hari Vivekanantham

Bonsoir,

J’ai quelques questions à vous poser concernant le problème 3...

Tout d’abord, pourquoi n’indiques-t-on pas le Poids dans la carte Stella ?
Ensuite, est-ce que l’accélération est bien égale à (g-Ffrott)/m (vous avez oublié les parenthèses ?).
Est-ce bien avec le graphique (la simulation) que l’on parvient à trouver les résultats pour x1, x2, et deltax ?

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lundi 19 novembre 2007 à 18h16 - par  Bernard Vuilleumier

Bonjour,

- Vous avez très bien compris : il s’agit effectivement de trouver la valeur « Débit_max » par tâtonnement. Vous pouvez augmenter la précision de lecture en utilisant une table plutôt qu’un graphique.

- Pour la question 3, j’ai construit un modèle de chute pour chaque parachutiste Le « squelette » de ce modèle est donné par :

PNG - 2 ko
« Squelette » des modèles cinématiques
Le « squelette » des modèles cinématiques comporte deux flux et deux réservoirs

J’ai ensuite formé la différence entre leurs positions respectives x et x2 pour trouver après combien de temps ils sont séparés par une distance Δx = 20 m.

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lundi 19 novembre 2007 à 07h03 - par  Andrew Megally

Bonjour,

Merci pour vos réponses. Si vous me permettez, j’ai encore quelques questions.

- Donc, si j’ai bien compris, il faut trouver la valeur de « Débit_max » par "tâtonnement", en essayant d’avoir 16 l (dans le graphe, sur l’axe du volume) en 10 s puis en 20 s ? Sinon, qu’est-ce que vous entendez par " adapter « Débit_max » " ?

- Pour la question 3, je m’excuse, mais je ne vois pas du tout comment vous avez construits "le bas" votre Carte Stella (c-à-d. la partie avec "x", "deltax" et "x2), avec les données de départ...? Et pour quel but insérez vous ce "bas" de la carte ?

Merci beaucoup et bonne journée.

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dimanche 18 novembre 2007 à 22h14 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

Le débit varie au cours du temps et il est donné par le produit d’un coefficient sans dimension par « Débit_max ». Ce coefficient qui multiplie « Débit_max » doit satisfaire les conditions suivantes :

- être égal à 1 lorsque le volume est nul (le débit est maximum lorsque le réservoir est vide)
- être égale à 0 lorsque le volume est égal à « Volume_max » (le débit est nul lorsque le réservoir est plein)

Le numérateur du coefficient remplit ces conditions. Mais il faut encore que ce coefficient soit sans dimension et compris entre 0 et 1 : c’est la raison pour laquelle « Volume_max » figure au dénominateur. Au total, on a donc :

$Débit=\frac{Volume_{max}-Volume}{Voliume_{max}}Débit_{max}$

« Volume_max » est la capacité du réservoir : elle ne change pas au cours du temps. Pour répondre à la question, il faut suivre l’évolution de « Volume » et adapter « Débit_max » pour que la variable « Volume » prenne les valeurs indiquées après les temps donnés.

À bientôt.

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dimanche 18 novembre 2007 à 20h54 - par  Andrew Megally

Bonsoir monsieur,

- Je ne vois pas comment vous avez trouvé la formule pour la question 2 ? Pourquoi est-ce qu’on divise par "Volume_max", puis le tout fois "débit_max" ?

- Pour la même question, pour remplir 80% en 10 s, puis en 20 s, ne devrait-on pas changer le 20 l du Volume_max, en 16 l (pour 80% du réservoir) ? Sinon, quelle est la valeur de votre "Débit_max" qui vous permet d’obtenir vos résultats (dans le tableau) ?

Merci d’avance et bonne soirée.