Comportements génériques : corrigé

Simuler des comportements simples
dimanche 13 janvier 2008
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 2%


1. Propagation d’une rumeur

- Observation

La propagation d’une rumeur est d’autant plus rapide que le nombre de personnes la connaissant est faible.

- La « carte » et les équations du modèle

Désignons par N le nombre de personnes connaissant la rumeur, par $N_{max}$ le nombre maximum de personnes pouvant la connaître, par V la vitesse de propagation de cette rumeur et par $V_{max}$ la vitesse maximale de cette propagation.

N. B. En posant $N_{max}=1$ et $V_{max}=1$, on obtient l’expression la plus simple possible pour la définition d’un flux donnant lieu à ce comportement, à savoir V=1-N

- Les conditions de la simulation (avec Stella)

Le temps varie de 0 à 4 unités par pas de 0.01.
Méthode d’intégration : Runge-Kutta d’ordre 4


2. Refroidissement d’une tasse de thé

- Observation

Une tasse de thé se refroidit d’autant plus vite que l’écart entre sa température et la température ambiante est grand.

- La « carte » et les équations du modèle

Désignons par T la température de la tasse de thé, par $T_{ambiante}$ la température ambiante, par Pertes le flux de chaleur sortant et par Conductivité la constante de proportionnalité.

- Les conditions de la simulation (avec Stella)

Le temps varie de 0 à 60 unités par pas de 0.25.
Méthode d’intégration : Runge-Kutta d’ordre 4


3. Décharge d’un condensateur

Observation

Un condensateur se décharge d’autant moins rapidement que la charge qu’il accumule diminue.

- La « carte » et les équations du modèle

Désignons par Q la charge accumulée, par I la perte de charges par unité de temps (flux sortant) et par c la constante de proportionnalité.

Les conditions de la simulation (avec Stella)

Le temps varie de 0 à 4 unités par pas de 0.01.
Méthode d’intégration : Runge-Kutta d’ordre 4


4. Augmentation d’un capital

Observation

Les rentrées d’intérêts sont proportionnelles au capital.

- La « carte » et les équations du modèle

Désignons par Capital la somme accumulée, par Intérêts les rentrées par unité de temps (flux entrant) et par taux la constante de proportionnalité.

Les conditions de la simulation (avec Stella)

Le temps varie de 0 à 15 unités par pas de 1.
Méthode d’intégration : Runge-Kutta d’ordre 4


5. Occupation d’une « niche écologique »

Observation

L’occupation d’une « niche écologique » de capacité limitée est d’autant plus rapide que le nombre d’individus la peuplant est faible.

- La « carte » et les équations du modèle

Désignons par Population le nombre d’individus, par Augmentation les naissances par unité de temps, par Capacité de milieu le pouvoir d’accueil de la niche et par taux un taux de croissance de la population.

Les conditions de la simulation (avec Stella)

Le temps varie de 0 à 6 unités par pas de 0.01.
Méthode d’intégration : Runge-Kutta d’ordre 4


6. Période d’un pendule en fonction de l’amplitude

Déterminez, à l’aide d’une simulation, la période d’un pendule de longueur l=1 m pour différentes amplitudes d’oscillations.

- La « carte » et les équations du modèle

PNG - 9.9 ko
Amplitude d’oscillation (en radian) en fonction du temps
Ce graphique fait apparaître l’augmentation de la période du pendule lorsque l’amplitude d’oscillation augmente. Les courbes 1 à 5 correspondent respectivement à une amplitude initiale de 10, 30, 50, 70 et 90 degrés.

On obtient, par lecture sur le graphique, les périodes suivantes :

Amplitude en °Période T en s
10
2.01
30
2.04
50
2.11
70
2.21
90
2.37

Les conditions de la simulation (avec Stella)

Le temps varie de 0 à 12 secondes par pas de 0.01.
Méthode d’intégration : Runge-Kutta d’ordre 4


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