Construire des modèles pour simuler des comportements génériques

Simuler des comportements simples
mercredi 19 décembre 2007
par  Bernard Vuilleumier
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Les comportements génériques du type « croissance ou déclin exponentiel », « croissance limitée », « courbe logistique » ainsi que les oscillations se rencontrent dans de très nombreuses situations. Ces comportements peuvent être simulés à l’aide de modèles simples.

Objectifs de l’activité

- Identifier, à partir de brèves descriptions, des grandeurs pertinentes.
- Proposer une représentation des grandeurs et phénomènes retenus.
- Lire et interpréter des graphiques.
- Formuler des hypothèses.
- Construire un modèle.
- Effectuer des simulations.

Observations

  1. La propagation d’une rumeur est d’autant plus rapide que le nombre de personnes la connaissant est faible.
  2. Une tasse de thé se refroidit d’autant plus vite que l’écart entre sa température et la température ambiante est grand.
  3. Un condensateur se décharge d’autant moins rapidement que la charge qu’il accumule diminue.
  4. Les rentrées d’intérêts sont proportionnelles au capital
  5. L’occupation d’une « niche écologique » de capacité limitée est d’autant plus rapide que le nombre d’individus la peuplant est faible.

Schématisation
- Identifiez et nommez pour chacune des observations, les grandeurs que vous jugez pertinentes pour construire un modèle.
- Représentez, par un symbole adéquat, chacune des grandeurs retenues.
- Indiquez par des liens les relations qu’entretiennent ces grandeurs.

Modélisation
- Attribuez des valeurs et définissez les relations permettant d’obtenir les comportements suivants (avec les mêmes étendues pour les axes) :

1. Propagation d’une rumeur

2. Refroidissement d’une tasse de thé

3. Décharge d’un condensateur

4. Augmentation d’un capital

5. Occupation d’une niche écologique [1]

6. Amplitude et période d’oscillation d’un pendule

Déterminez, à l’aide d’une simulation, la période d’un pendule de longueur l=1 m et dont la vitesse initiale est nulle, pour les amplitudes initiales suivantes :

Amplitude en °Période T en s
10
 
30
50
70
90

N. B. Pour tous vos modèles, vous donnerez les équations ainsi que les conditions de la simulation (durée, pas et méthode d’intégration).

Corrigé
Résultats


[1Les paramètres de ce modèle peuvent être manipulés avec une interface interactive disponible dans l’article Manipuler les paramètres d’un modèle.


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