Épreuve. Option complémentaire : introduction à la modélisation. 4e année

Comment obtenir la trajectoire d’un mobile à partir des forces qu’il subit ?
mercredi 11 octobre 2006
par  Bernard Vuilleumier
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Lorsque la force résultante qui agit sur un mobile durant son déplacement est connue, il est possible d’obtenir sa vitesse, puis sa position au cours du temps. Stella, en intégrant les composantes de l’accélération du mobile permet d’obtenir les composantes de sa vitesse qui peuvent à leur tour être intégrées pour donner les coordonnées de la position du mobile. Pour effectuer ces opérations, Stella doit bien sûr connaître la valeur initiale des composantes de la vitesse et de la position.

Épreuve

- Champ : Tir, sans et avec frottement (à 1 et à 2 dimensions).
- Documents autorisés : Ordinateur, logiciel Stella.
- Date, lieu et durée : 11 octobre 2006, CECNB, M3-M4, 95 min.

- Moyenne de classe : 3.53
- Écart type : 0.92
- Effectif : N=20


Problème 1

Un mobile de masse m=300 g qui se déplace dans un plan vertical subit une force résultante dont les composantes sont données par :

- Fx= 0
- Fy=-3 N.

a) Dessinez la carte Stella, puis définissez toutes les relations nécessaires pour obtenir un modèle permettant de simuler le mouvement de ce mobile.

b) Dessinez l’horaire et la trajectoire du mobile puis donnez son « temps de vol » pour chacune des conditions initiales suivantes. Au temps t=0 :

  1. la vitesse du mobile est nulle et il se trouve en y=125 m.
  2. vx=0 m/s, vy=20 m/s, x=0 m et y=0 m.
  3. vx=10 m/s, vy=0 m/s, x=0 m et y=20 m.
  4. vx=24 m/s, vy=45 m/s, x=0 m et y=0 m.

Problème 2

Une voiture de 1200 kg se déplace sur une route horizontale. Elle subit une force de traction constante parallèle et de même sens que son déplacement. La grandeur de cette force vaut Ftraction=4000 N. La voiture subit d’autre part une force de frottement due à l’air qui est opposée au sens de déplacement. Cette force dépend de la masse volumique de l’air ρ, de la section apparente S de la voiture, de son coefficient de forme Cx et de sa vitesse. La grandeur de cette force est donnée par :
- Ffrott=0.5 ρ S Cx v2.
- Valeurs numériques : ρ=1.293 kg/m3, S=2.5 m2, Cx=0.6.

a) Dessinez la carte Stella, puis définissez toutes les relations nécessaires pour obtenir un modèle permettant de simuler le mouvement de cette voiture.

b) Au temps t=0, la voiture est arrêtée et elle se touve à l’origine du système de référence. Donnez l’évolution au cours du temps de :

  1. la position ;
  2. la vitesse ;
  3. l’accélération de la voiture.

c) Quelle est la vitesse maximale atteinte par cette voiture et après combien de temps atteint-elle cette vitesse ? Quelle distance a-t-elle alors franchie ?


Problème 3

L’accélération d’un mobile est donnée par :

- ax=-0.15 y m/s2
- ay= 0.1 x m/s2.

a) Dessinez la carte Stella, puis définissez toutes les relations nécessaires pour obtenir un modèle permettant de simuler le mouvement de ce mobile.

b) Au temps t=0, la vitesse du mobile est donnée par vx=3 m/s et vy=4 m/s et il se trouve en x=0 m et y=0 m.

  1. Dessinez sa trajectoire pour 0 ≤ t ≤ 9 s.
  2. En quels lieux (x, y) sa vitesse est-elle parallèle à Ox ? Et à Oy ?
  3. Donnez l’évolution de la grandeur de la vitesse au cours du temps.
  4. Que vaut la grandeur de sa vitesse au temps t=4.5 s.