Équations différentielles

Épreuve d’applications des mathématiques.
mardi 1er avril 2008
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 1%


Problème 1
a) Écrivez l’équation différentielle permettant d’obtenir les courbes suivantes :

PNG - 12.5 ko
Comportements

b) Résolvez cette équation avec Mathematica et donnez sa solution générale.
c) Donnez la valeur des paramètres pour chaque courbe.
d) Donnez un exemple de phénomène qui pourrait être décrit par ce modèle.
e) Donnez la signification des paramètres dans cet exemple.


Problème 2
a) Donnez la solution générale de l’équation :
$\frac{dy}{dx}=e^{-y} Cos^2(\pi x)$
b) Sachant qu’en $x=0$, $y=ln(e)$, dessinez la solution pour $ 0\le x \le\pi$.


Problème 3
a) Donnez la solution de l’équation :
$y’=2x^2-\frac{y}{x}$
satisfaisant la condition initiale $y(1)=3$.
b) Représentez graphiquement cette solution pour -4 $\le x \le$ 4.


Problème 4
a) Donnez la solution générale de l’équation :
$ \ddot x + x = 0$
b) Déterminez la valeur des constantes d’intégration sachant qu’en $t=0$, $x=1$ et $\dot x =2$.
c) Dessinez la solution satisfaisant ces conditions pour $t$ variant de 0 à 2$\pi$.
d) Dessinez, pour $t$ variant de 0 à 2$\pi$, la solution correspondant aux valeurs aux limites $x(0)=1$ et $x(\frac{\pi}{2})=0$.


Problème 5
a) Résolvez numériquement le système d’équations :
$\dot x=1+x^2y-3.5x$
$\dot y=2.5x-x^2y$
avec les conditions initiales $x(0)=0$ et $y(0)=0$.
b) Dessinez la solution pour $t$ variant de 0 et 10.
c) Faites varier $x(0)$ de 0 à 3 par pas de 1 pour $y(0)=0$ et représentez toutes les solutions sur le même graphique.


Commentaires  forum ferme