Itérations, bifurcations et chaos

À la découverte du chaos déterministe
jeudi 20 décembre 2007
par  Bernard Vuilleumier
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Les fonctions linéaires et affines ainsi que la parabole font partie du bagage mathématique de base. Ces fonctions et le processus d’itération permettent d’introduire d’une manière assez intuitive les notions de chaos déterministe et de sensibilité aux conditions initiales, notions qui ont un impact considérable dans de nombreux domaines scientifiques.

Question 1 (6 points)

- a) Définissez, dessinez puis itérez 10 fois la fonction « tente » donnée ci-dessous en partant des valeurs initiales x0 = 1/n pour 1 ≤ n ≤ 10 et reportez sur un diagramme les résultats obtenus en fonction de la valeur initiale.
- b) Cette application est-elle chaotique ? Pourquoi ?

Question 2 (6 points)

- a) Donnez les instructions complètes et exécutables dans Mathematica permettant de dessiner la construction géométrique correspondant à trois itérations de la fonction :

f(x) = 4x(1-x)

en partant de la valeur initiale x0= 0.4.
- b) Donnez la valeur exacte des trois itérés successifs de ce « système dynamique » lorsque x0= 1/10.
- c) Donnez les instructions permettant d’obtenir le diagramme de bifurcation de ce système.

Question 3 (6 points)
Soit la fonction f(x) = rx2sin(πx). Donnez les instructions permettant de :
- a) définir la fonction
- b) dessiner la fonction pour r = 2.5 et 0 ≤ x ≤ 1
- c) dessiner la fonction pour r variant de 1 à 4 par pas de 0.5
- d) calculer la valeur exacte de la première itération de la fonction pour r = 4 en partant de x0 = 0.1
- e) reporter les valeurs des 4 premières itérations en fonction du numéro de l’itération lorsque r = 2.5 et en partant de la valeur initiale x0 = 0.88.
N. B. x0 aura l’abscisse 0, x1 l’abscisse 1, etc.

Question 4 (6 points)
Donnez les instructions permettant de dessiner l’attracteur du système de transformations affines défini par :

Résultats

Corrigé

Question 1
- a) Il s’agissait de reporter les valeurs obtenues en itérant la fonction « tente » en partant de différentes valeurs initiales qui devaient figurer en abscisse sur le diagramme (valeur des itérés en fonction de x0=$\frac{1}{n}$).

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Itérés de la « tente » en fonction de la valeur initiale
Ce diagramme fait clairement apparaître des cycles de période 3 pour n = 7 et n = 9. La période 3 implique le chaos. N. B. Les valeurs reportées sont celles obtenues après 10 itérations.

- b) Cette application est chaotique car elle présente une période 3 (pour $x_0=\frac{1}{7}$ ou $x_0=\frac{1}{9}$ par exemple) et la période 3 implique le chaos.

N. B. Pour faire apparaître et utiliser une mini-application dans cette fenêtre, vous devez installer Wolfram CDF Player sur votre poste.

Question 2
- a) La fonction « Orbit » dessine l’itération graphique d’une fonction. Les arguments de cette fonction sont, dans l’ordre :

  • la fonction 4x(1 - x) (définie ici à l’aide d’une fonction pure)
  • la valeur initiale x0 = 0.4
  • le nombre d’itérations n = 3
  • l’itération à partir de laquelle le dessin commence (dès x0)
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Fonction « Orbit »
La fonction « Orbit » illustre le procédé d’itération graphique d’une fonction. Cette fonction ne fait pas partie du noyau et pour en disposer, il faut au préalable exécuter le code ci-dessous.

- b) Valeur initiale et itérés successifs exacts de ce « système dynamique » :

- c) Diagramme de bifurcation de ce système :

Questions 3
- e) Valeurs des 4 premiers itérés en fonction du numéro de l’itération avec r = 2.5 et en partant de la valeur initiale x0 = 0.88.

Questions 4

Attracteur du système de transformations affines :


Documents joints

Notebook Mathematica (.nbp))

Commentaires  forum ferme

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mardi 18 mars 2008 à 20h16 - par  Yannick Schlaeppi

Remarque sur l’exercice 3 :

La fonction $r x^2 \sin(\pi x)$, lorsqu’elle est itérée, donne des valeurs toujours plus petites (jusqu’à provoquer un overflow sur Mathematica).

Une autre fonction qui peut être plus intéressante à étudier dans le cadre d’un diagramme de bifurcations (entre autres) est la fonction $r x \cos(\pi x)$ pour r appartenant à $[0 ; 2.8]$ (au delà apparaît des valeurs négatives puis plus rien de notable) qui donne un diagramme du type de la suite logistique.