Itérations et transformations

Test sur les itérations et les transformations
jeudi 22 janvier 2009
par  Bernard Vuilleumier
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Question 1 (2 points)
Lorsqu’une fonction est composée n fois avec elle-même on dit qu’elle est itérée n fois. On utilise la notation suivante fn(x) pour signifier n compositions de f avec elle-même à partir de la valeur initiale x. Quelle est l’instruction qui permet d’obtenir :

  1. fn(x) ?
  2. la succession des valeur de x, f(x), f(f(x)),…, fn(x) ?

Question 2 (10 points)
Itérez 15 fois la fonction f(x)=rx(1 - x) lorsque r = 4 en partant de :

  1. x = 0.1, x = 0.11, x = 0.12 et x = 0.13.
  2. Présentez les résultats sur un même système d’axes
  3. Indiquez ce qui est reporté sur chaque axe.
  4. Si ce graphique donnait l’évolution temporelle d’une grandeur, par exemple l’effectif d’une population au cours du temps, permettrait-il de connaître le nombre d’individus au temps t = 14.5 unités et quelles conclusions pourrait-on en tirer ?

Question 3 (12 points)
En relativité restreinte, un événement e est caractérisé par des coordonnées d’espace et une coordonnée de temps e(x, y, z, t). Si on se restreint à une dimension d’espace, l’événement est donné par e(x, t). Un événement observé depuis différents systèmes de référence n’a pas les mêmes coordonnées. La transformation qui permet de relier les observations effectuées depuis deux systèmes Σ et Σ’ lorsque Σ’ se déplace à la vitesse β selon Ox est donnée par :

Transformation de Lorentz

  1. Écrivez cette transformation en notation Mathematica standard.
  2. Donnez les nombres a, b, c, d, e, f de cette transformation en considérant qu’il s’agit d’une transformation affine du plan.
  3. Appliquez cette transformation aux événements suivants lorsque β vaut 1/2 et donnez leurs coordonnées dans Σ’ : e1(0.191, 0.747), e2(0.102, 0.457)
  4. Dessinez les images des points ci-dessous obtenues par la transformation w(x, y) = (x’, y’) = (ax + by, cx + dy) où a, b, c et d sont donnés par la matrice :
    Matrice de Lorentz
    dans laquelle β vaut toujours 1/2.

    Indiquez clairement (à l’aide d’un numéro, d’une couleur ou par tout autre procédé de votre choix) quelle est l’image de chaque point.

Question 4 (12 points)
Un système de fonctions itérées est défini par les cinq transformations suivantes, données en notation Mathematica :

Dessinez l’attracteur de ce système en utilisant la technique qui consiste à tirer au hasard une des cinq transformations lors de chaque itération et en attribuant la probabilité suivante à chacune d’elles (dans l’ordre, de la première à la cinquième) :

  • 0.76
  • 0.71
  • 0.11
  • 0.12
  • 0.26

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