Modèles et équations différentielles

Construire un modèle et résoudre une équation différentielle
jeudi 9 octobre 2008
par  Gaston Lagaffe
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Construction de modèles Stella
On lâche une bille d’une hauteur h et on considère les trois cas suivants :

  • la bille est lâchée dans l’air et ne subit qu’une seule force, son poids
  • la bille est lâchée dans l’air et subit, en plus de son poids, une force de frottement proportionnelle au carré de sa vitesse
  • la bille est lâchée dans un liquide visqueux et subit trois forces : son poids, la poussée d’Archimède et une force de frottement visqueux proportionnelle à sa vitesse.

- Construisez, pour chaque cas, un modèle Stella permettant d’obtenir la distance parcourue, la vitesse et l’accélération en fonction du temps.
- Donnez la définition de l’accélération que vous avez utilisée dans chaque modèle.
- Calculez, dans les trois cas (en précisant le pas et la méthode d’intégration utilisés) :

  • la vitesse de la bille après 1 s
  • la distance franchie en 1 s

- Relevez la valeur de la vitesse limite obtenue à l’aide de ces modèles.
- Après combien de temps la vitesse de la bille est-elle égale à la moitié de sa vitesse limite ?

Données numériques
position initiale de la bille : 0 m
vitesse initiale de la bille : 0 m/s
accélération due à la force pesante : 9.8 m/s2
rayon de la bille : 5 mm
masse volumique de la bille : 7.8 g/cm3
coefficient de forme (Cx) de la bille : 0.45

masse volumique de l’air 1.3 kg/m3
masse volumique du liquide : 1.3 kg/dm3
coefficient de viscosité (η) du liquide : 1.48 kg m-1 s-1

Équations différentielles
- Résolvez, avec Mathematica, l’équation correspondant à la chute de la bille dans un liquide visqueux et donnez l’instruction utilisée pour résoudre cette équation.
- Représentez graphiquement, avec Mathematica, la solution de cette équation différentielle et donnez l’instruction utilisée pour obtenir cette représentation.

N. B. Vous pouvez rendre vos réponses manuscrites sur une feuille, les écrire dans un article spip (auquel vous attribuerez votre nom comme titre) ou dans un fichier Mathematica joint à cet article.


Documents joints

Forces de frottement. Olivier Schneider