Modéliser des comportements

Modèles et évolutions
mercredi 3 mai 2006
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 4%


Problème 1

- Par quel élément de Stella (stock ou flux) représenteriez-vous les grandeurs suivantes :

GrandeurÉlément StellaGrandeurÉlément Stella
Population Vitesse
Intérêts annuels Fatigue
Distance parcourue Travail journalier
Décès mensuels Volume
Dette Débit

- Dessinez les cartes des modèles les plus simples possibles donnant lieu aux comportements ci-dessous et donnez les relations qui définissent les flux et les valeurs initiales pour chaque modèle.

PNG - 1.1 ko
Comportements génériques
Ces graphiques donnent le comportement d’une des grandeurs d’un modèle (un réservoir) en fonction du temps (axe horizontal). L’intersection des axes se trouve à l’origine.

- Construisez deux modèles - les plus simples possibles - l’un donnant l’évolution ci-dessous à gauche, l’autre l’évolution ci-dessous à droite et donnez une interprétation de chacun de ces modèles (en attribuant par exemple un nom significatif à chaque élément des modèles).

PNG - 1.1 ko
Différentes évolutions
Chaque graphique donne l’évolution d’une grandeur au cours du temps. L’intersection des axes est en (0, 0).

Problème 2

Vous lancez un ballon de 30 cm diamètre verticalement vers le haut à la vitesse de 20 m/s. La masse du ballon vaut 300 g et son coefficient de forme Cx 0.3. Il subit une force de frottement proportionnelle au carré de sa vitesse (masse volumique de l’air : 1.29 kg/m3).
- Quelle hauteur le ballon atteint-il ?
- Quel temps lui faut-il pour atteindre cette hauteur ?
- Combien de temps lui faut-il pour regagner son point de départ ?
d) Comment les réponses aux points 1, 2 et 3 sont-elles modifiées si le ballon ne subit aucune force de frottement ?


Problème 3

Un constructeur fournit les données suivantes pour une voiture :

Caractéristiques techniques
Puissance 325 chevaux
Vitesse maximale 275 km/h
Longueur 443 cm
Largeur 180 cm
Hauteur 131 cm
Cx 0.29
Poids 1650 kg

- Calculez le temps nécessaire à cette voiture pour :

  • atteindre la vitesse de 100 km/h
  • atteindre la vitesse de 160 km/h
  • franchir 400 m départ arrêté
  • franchir 1000 m départ arrêté.

Problème 4

Vous accrochez une masse m de 1 kg à un ressort de raideur k=9.87 N/m. La position initiale de la masse correspond à l’extrémité libre du ressort « à vide » qui coïncide avec l’origine de l’axe (x0=0). La vitesse initiale de la masse est nulle.
- Que vaut la période de cet oscillateur ?
- Que doit valoir x0 pour que la masse reste en équilibre ?
- Que doit valoir la longueur l d’un pendule pour qu’il ait la même période s’il oscille avec une amplitude de 30° ?

N. B. N’oubliez pas d’indiquer, pour chacun des problèmes, la méthode et le pas d’intégration utilisés.