Modéliser des comportements Modèles et évolutions

, par  Bernard Vuilleumier , popularité : 1%

Problème 1

- Par quel élément de Stella (stock ou flux) représenteriez-vous les grandeurs suivantes :

GrandeurÉlément StellaGrandeurÉlément Stella
Population Vitesse
Intérêts annuels Fatigue
Distance parcourue Travail journalier
Décès mensuels Volume
Dette Débit

- Dessinez les cartes des modèles les plus simples possibles donnant lieu aux comportements ci-dessous et donnez les relations qui définissent les flux et les valeurs initiales pour chaque modèle.

Comportements génériques
Ces graphiques donnent le comportement d’une des grandeurs d’un modèle (un réservoir) en fonction du temps (axe horizontal). L’intersection des axes se trouve à l’origine.

- Construisez deux modèles - les plus simples possibles - l’un donnant l’évolution ci-dessous à gauche, l’autre l’évolution ci-dessous à droite et donnez une interprétation de chacun de ces modèles (en attribuant par exemple un nom significatif à chaque élément des modèles).

Différentes évolutions
Chaque graphique donne l’évolution d’une grandeur au cours du temps. L’intersection des axes est en (0, 0).

Problème 2

Vous lancez un ballon de 30 cm diamètre verticalement vers le haut à la vitesse de 20 m/s. La masse du ballon vaut 300 g et son coefficient de forme Cx 0.3. Il subit une force de frottement proportionnelle au carré de sa vitesse (masse volumique de l’air : 1.29 kg/m3).
- Quelle hauteur le ballon atteint-il ?
- Quel temps lui faut-il pour atteindre cette hauteur ?
- Combien de temps lui faut-il pour regagner son point de départ ?
d) Comment les réponses aux points 1, 2 et 3 sont-elles modifiées si le ballon ne subit aucune force de frottement ?


Problème 3

Un constructeur fournit les données suivantes pour une voiture :

Caractéristiques techniques
Puissance 325 chevaux
Vitesse maximale 275 km/h
Longueur 443 cm
Largeur 180 cm
Hauteur 131 cm
Cx 0.29
Poids 1650 kg

- Calculez le temps nécessaire à cette voiture pour :

  • atteindre la vitesse de 100 km/h
  • atteindre la vitesse de 160 km/h
  • franchir 400 m départ arrêté
  • franchir 1000 m départ arrêté.

Problème 4

Vous accrochez une masse m de 1 kg à un ressort de raideur k=9.87 N/m. La position initiale de la masse correspond à l’extrémité libre du ressort « à vide » qui coïncide avec l’origine de l’axe (x0=0). La vitesse initiale de la masse est nulle.
- Que vaut la période de cet oscillateur ?
- Que doit valoir x0 pour que la masse reste en équilibre ?
- Que doit valoir la longueur l d’un pendule pour qu’il ait la même période s’il oscille avec une amplitude de 30° ?

N. B. N’oubliez pas d’indiquer, pour chacun des problèmes, la méthode et le pas d’intégration utilisés.