Programme d’examen pour le niveau de compétence normal Directives 2003-2006

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L’École Polytechnique Fédérale de Lausanne a publié en mai 2006 une brochure intitulée « Savoir-faire en mathématiques pour bien commencer à l’EPFL » dont voici quelques extraits.

Algèbre
- Équations, inéquations et systèmes. Le candidat est capable de :

  • résoudre équations et systèmes d’équations du premier degré à une, deux ou trois inconnues et illustrer différentes méthodes de résolution
  • résoudre des inéquations à une inconnue
  • énoncer, démontrer et utiliser la formule de résolution d’une équation du deuxième degré
  • représenter graphiquement une fonction du deuxième degré
  • démontrer les formules de Viète et factoriser des polynômes du deuxième degré
  • résoudre des équations se ramenant à une équation du deuxième degré.

Analyse
- Fonctions usuelles. Le candidat est capable de :

  • décrire (domaine de définition, propriétés, représentation graphique) et utiliser les fonctions usuelles suivantes : constante, identité, linéaire, affine, puissance, racine, valeur absolue, sin(x), cos(x), tan(x), e^x, a^x, ln(x), log_a(x)

- Continuité, limites

  • présenter de manière intuitive les notions de limite et de continuité d’une fonction
  • calculer des limites de fonctions pour x\rightarrow a et x\rightarrow \infty, en particulier en levant des indéterminations des types \frac{0}{0} et \frac{\infty}{\infty}
  • définir et déterminer les asymptotes verticales et affines d’une fonction

- Dérivées

  • définir la dérivabilité d’une fonction en un point et dans un intervalle
  • interpréter graphiquement les éléments intervenant dans la définition de la dérivée
  • énoncer et démontrer les théorèmes relatifs à la dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient
  • calculer des dérivées à l’aide de la définition et des règles de dérivation (y compris celle concernant la dérivée d’une composée)
  • énoncer et utiliser le théorème reliant dérivée première et variation d’une fonction
  • utiliser la dérivée pour résoudre des problèmes d’optimisation
  • faire l’étude complète d’une fonction dérivable (domaine de définition, parité, périodicité, asymptotes, zéros, extrema et points d’inflexion) et la représenter graphiquement

- Primitives, intégrales

  • définir la notion de primitive d’une fonction, utiliser ses propriétés, calculer des primitives de fonctions usuelles
  • présenter de manière intuitive la notion d’intégrale comme une limite de sommes
  • utiliser des primitives pour le calcul d’intégrales
  • appliquer l’intégrale au calcul de l’aire de domaines limités par des graphes de fonctions.

Géométrie
- Trigonométrie. Le candidat est capable de :

  • interpréter sur le cercle trigonométrique le sinus et le cosinus d’un angle ou d’un nombre réel et en déduire la périodicité d’une fonction trigonométrique
  • énoncer et démontrer les relations fondamentales entre les fonctions trigonométriques d’un même arc, d’arcs complémentaires, supplémentaires et opposés
  • énoncer et démontrer les théorèmes d’addition
  • résoudre des équations trigonométriques simples du type sin(ax)=b
  • énoncer et démontrer les théorèmes du sinus et du cosinus
  • résoudre des triangles (rectangles ou quelconques)

- Géométrie vectorielle plane et de l’espace

  • présenter la notion de vecteur, les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire avec leurs propriétés, les notions de combinaison linéaire de vecteurs, de vecteurs colinéaires ou coplanaires
  • mettre en relation des bases de vecteurs et des repères du plan et de l’espace, en particulier des bases et des repères orthonormés
  • déterminer les coordonnées du milieu d’un segment, du centre de gravité d’un triangle et la norme d’un vecteur
  • définir le produit scalaire (expressions algébrique et trigonométrique) et utiliser ses propriétés
  • définir le produit vectoriel et utiliser ses propriétés
  • calculer la distance de deux points et l’angle de deux vecteurs
  • calculer l’aire d’un parallélogramme et celle d’un triangle

- Géométrie analytique plane

  • établir les équations paramétriques et cartésiennes de la droite et en déduire un vecteur directeur, un vecteur normal, la pente et l’ordonnée à l’origine
  • discuter les positions relatives de deux droites et, calculer leur intersection éventuelle
  • calculer l’angle de deux droites, la distance d’un point à une droite, l’équation des bissectrices de deux droites
  • établir l’équation cartésienne du cercle et les équations des tangentes.

Stochastique
- Statistique descriptive. Le candidat est capable de :

  • appliquer à des situations simples les notions de population, d’effectif et de fréquence
  • illustrer une distribution au moyen de diagrammes sectoriels ou en bâtons ou d’histogrammes
  • définir et interpréter les indices d’une distribution (moyenne, variance et écart-type)

- Probabilités

  • présenter les notions d’épreuve (expérience aléatoire), d’issue, d’événement, de probabilité d’un événement
  • définir les événements non-A, A ou B, A et B, des événements indépendants, incompatibles
  • énoncer et démontrer le théorème

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

  • appliquer la formule de la probabilité conditionnelle

P(AB) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}

  • utiliser un arbre stochastique
  • utiliser la loi binomiale