Résoudre une équation différentielle Résolution symbolique et numérique d’équations différentielles

, popularité : 1%

- Champ
- Documents autorisés : Ordinateur, logiciels, zone personnelle.
- Lundi 8 janvier 2007, 13h25, CECNB salle B1, 95 min.
- Moyenne de classe : 4.38
- Écart type : 0.90
- Effectif : N=16 (1 absent)


Problème 1

a) Donnez la solution générale de l’équation :

\frac{dy}{dx}=e^{-y} Cos^2(\pi x)

b) Sachant qu’en x=0, y=ln(e), dessinez la solution pour  0\le x \le\pi.


Problème 2

a) Donnez la solution de l’équation :

y’=2x^2-\frac{y}{x}

satisfaisant la condition initiale y(1)=3.

b) Représentez graphiquement cette solution pour -4 \le x \le 4.


Problème 3

a) Donnez la solution générale de l’équation :

 \ddot x + x = 0

b) Déterminez la valeur des constantes d’intégration sachant qu’en t=0, x=1 et \dot x =2.

c) Dessinez la solution satisfaisant ces conditions pour t variant de 0 à 2\pi.

d) Dessinez, pour t variant de 0 à 2\pi, la solution correspondant aux valeurs aux limites x(0)=1 et x(\frac{\pi}{2})=0.


Problème 4

a) Établissez l’équation du mouvement sans frottement d’un pendule à partir d’un schéma sur lequel vous indiquerez toutes les forces qui agissent. Donnez les lois et relations utilisées. Expliquez votre démarche.

b) Lorsque le pendule est soumis à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse angulaire \frac{d\theta}{dt} = \dot \theta , l’équation du mouvement est donnée par :

\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{d\theta}{dt}+sin(\theta) = 0

Résolvez numériquement cette équation sachant qu’en t=0, la vitesse angulaire \dot\theta du pendule est nulle et qu’il forme un angle \theta de \frac{\pi}{4} avec la verticale.

c) Dessinez la solution \theta(t) pour t variant de 0 à 10.


Problème 5

a) Résolvez numériquement le système d’équations :

\dot x=1+x^2y-3.5x

\dot y=2.5x-x^2y

avec les conditions initiales x(0)=0 et y(0)=0.

b) Dessinez la solution pour t variant de 0 et 10.

c) Faites varier x(0) de 0 à 3 par pas de 1 pour y(0)=0 et représentez toutes les solutions sur le même graphique.