Transformation de Lorentz exprimée à l’aide de fonctions hyperboliques

« Rotation » dans un espace hyperbolique
jeudi 3 novembre 2005
popularité : 1%

La transformation de Lorentz est une transformation linéaire qui peut s’exprimer à l’aide d’une matrice qui laisse invariant l’intervalle. On peut la comparer à une matrice de rotation qui conserve la distance entre deux points.

En consultant la page « Fonctions hyperboliques » de l’ouvrage Formulaires et Tables CRM, vous trouvez, entre autres, les relations suivantes :

sinh x = ( tanh x)/(1 - tanh^2x)^(1/2) et cosh x = 1/(1 - tanh^2x)^(1/2)

En posant tanh x = β, vous obtenez :

sinh x = ?/(1 - ?^2)^(1/2) et cosh x = 1/(1 - ?^2)^(1/2)

Les matrices suivantes sont alors équivalentes :

[Graphics:HTMLFiles/311_5.gif]

[Graphics:HTMLFiles/311_6.gif]

En remplaçant x par θ vous obtenez tanh θ = β, et :

[Graphics:HTMLFiles/311_7.gif]

cqfd.