Transformations affines du plan

Test sur les transformations affines et les systèmes de fonctions itérées
lundi 19 janvier 2009
par  Bernard Vuilleumier
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Problème 1 (12 points)
Représentez graphiquement sur un même système d’axes le résultat de la composition de cos avec lui-même en fonction du nombre de compositions (20). Vous choisirez les valeurs initiales suivantes x=0.1, x=0.5 et x=0.7. Chaque axe de votre graphique comportera un label.
Ce graphique permet-il de lire la valeur reportée en ordonnée lorsque l’abscisse vaut 3.5 ? Et lorsqu’elle vaut 17.5 ?

Problème 2 (12 points)
On donne une figure et son image lorsqu’elle a subi une transformation affine :

Donnez les six nombres qui caractérisent cette transformation et écrivez-là en notation matricielle.

Problème 3 (12 points)
Une transformation w est donnée par w(x, y) = (x’, y’) = (ax + by + e, cx + dy + f).
Les nombres a, b, c, d, e et f prennent les valeurs suivantes :

  • a = -1
  • b = 1
  • c = 0
  • d = 0.9
  • e = 0
  • f = 0

Dessinez l’image de la figure suivante [1] lorsqu’elle subit cette transformation :

Problème 4 (12 points)
Un système de fonctions itérées est défini par les trois transformations suivantes, données en notation Mathematica :

Dessinez l’attracteur de ce système en utilisant la technique qui consiste à tirer au hasard une des trois transformations lors de chaque itération.


[1Les coordonnées des points qui définissent la figure sont les suivantes :