Transformations exprimées à l’aide de matrices De Galilée à Lorentz

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La transformation de Galilée et la transformation de Lorentz peuvent s’exprimer à l’aide de matrices. La transformation de Galilée s’obtient comme limite de la transformation de Lorentz lorsque la vitesse de la lumière tend vers l’infini. La transformation de Lorentz peut s’interpréter comme une « rotation » dans un espace hyperbolique.

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Quatre points ont les coordonnées :

(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)

dans un système de référence Σ. Dans un autre système de référence Σ’, ils ont les coordonnées :

(3^(1/2)/2,1/2), (-1/2,3^(1/2)/2), (-3^(1/2)/2,-1/2), (1/2,-3^(1/2)/2)

a) Vérifiez que la distance séparant ces points de l’origine est la même dans les deux systèmes de référence.
b) Donnez la matrice de transformation permettant de passer d’un système de référence à l’autre.
c) De quel angle Σ’ a-t-il tourné par rapport à Σ ?

Transformation de Galilée

Quatre événements ont les coordonnées :

(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)

dans un système de référence Σ. Dans un autre système Σ’, ils ont les coordonnées :

(1,0), (-2,1), (-1,0), (2,-1)

a) A quelle vitesse le système Σ’ se translate-t-il par rapport à Σ ?
b) Donnez la matrice de transformation permettant de passer d’un système de référence à l’autre.

Transformation de Lorentz

Quatre événements ont les coordonnées :

(3,0), (0,3), (-3,0), (0,-3)

dans un système de référence Σ. Dans un autre système Σ’, ils ont les coordonnées :

(5,-4), (-4,5), (-5,4), (4,-5)

a) Vérifiez que l’intervalle séparant ces points de l’origine est le même dans les deux systèmes de référence.
b) A quelle vitesse v le système Σ’ se translate-t-il par rapport à Σ ?
c) Donnez la matrice de transformation permettant de passer d’un système de référence à l’autre (celle qui fait explicitement apparaître v et c).
d) Montrez que lorsque c tend vers l’infini dans cette matrice, on retrouve la matrice de la transformation de Galilée.
e) Si on exprime la matrice de la transformation sous la forme :

\begin{pmatrix}{cosh\theta & -sinh\theta \cr -sinh\theta & cosh\theta}\end{pmatrix}

que vaut l’angle θ ?