Vecteur position et vecteur vitesse

Utilisation d’un horaire et de sa dérivée
mardi 13 septembre 2005
par  Bernard Vuilleumier
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Un point matériel a l’horaire suivant :
Overscript[r, →]= Overscript[v, →] _0 t + Overscript[a, →] _0 t^2 avec Overscript[v, →] _0= (4 m/s, 0 m/s) et Overscript[a, →] _0= (-2 m/s^2, m/s^2)
a) A quel instant sa vitesse est-elle parallèle aux axes de coordonnées ?
b) A quel instant sa vitesse a-t-elle une grandeur de 2 m/s ?

Réponses

La vitesse est parallèle à x lorsque sa composante v_y est nulle.
Elle est parallèle à y lorsque sa composante v_x est nulle.
Calculons les coordonnées x, y du vecteur position de t_min= -3 (s) à t_max= 3 (s) avec Δt=1 (s) :

[Graphics:HTMLFiles/51_13.gif]

Calculons ensuite les composantes v_x=Δx/Δt et v_y=Δy/Δt du vecteur vitesse :

[Graphics:HTMLFiles/51_16.gif]

Puis la grandeur du vecteur vitesse de seconde en seconde :

[Graphics:HTMLFiles/51_17.gif]

N. B. Ces grandeurs correspondent à des vitesses moyennes sur un intervalle de temps Δt = 1 (s). Représentons graphiquement ces grandeurs en fonction du temps :

[Graphics:HTMLFiles/51_18.gif]

Conclusion : le vecteur donnant la vitesse moyenne de seconde en seconde n’est jamais parallèle aux axes et sa grandeur est toujours supérieure à 2 (m/s).

Activité proposée

Traiter l’exercice en utilisant la dérivée de l’horaire pour calculer la vitesse instantanée du mobile.

Voir
- The Definition of the Derivative
- Instantaneous Rate of Change