Champs vectoriels à deux dimensions

Comment définir et dessiner un champ vectoriel
dimanche 26 février 2006
par  Bernard Vuilleumier
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Pour définir un champ vectoriel v(x, y) à deux dimensions, nous utilisons deux fonctions régulières m(x, y) et n(x, y) que nous plaçons dans une liste : v(x, y)={m(x, y), n(x, y)}. Lorsqu’elle est évaluée, la fonction v retourne, pour chaque point (x, y) du plan les composantes d’un vecteur. Elle définit donc un champ vectoriel à deux dimensions.

La notion de champ joue un rôle très important en sciences. Tout ce qui assigne une valeur à un point de l’espace donne lieu à un champ : champ de températures, champ de pressions, champ de vitesses et d’accélérations par exemple. Cette notion, qui a permis la synthèse de l’électromagnétisme et de l’optique, a été élaborée au cours du XIXe siècle pour rendre compte des forces électriques et magnétiques exercées sur un corps infinitésimal.

Activités
- Dessinez quelques vecteurs du champ v(x, y)={m(x, y), n(x, y)} défini par :

  • m(x, y)=0.4(y-1)
  • n(x, y)=0.1(x-1)

Domaine : xmin=-3, xmax=3, Δx=0.5. ymin=xmin, ymax=xmax, Δyx.

Vous devriez obtenir quelque chose qui a cette allure :

Champ vectoriel

- Modifiez la définition de ce champ pour obtenir les figures suivantes :

Champ vectoriel

Ce champ s’obtient en changeant un signe dans la définition du champ illustré dans la première figure.

Champ vectoriel

Ce champ s’obtient en changeant un signe dans la définition du champ illustré dans la première figure.

Champ vectoriel

Ce champ s’obtient en changeant deux signes dans la définition du champ illustré dans la première figure.

- Calculez le flux de ces champs à travers une courbe fermée.

Courbes fermées superposées au champ vectoriel

Courbes fermées superposées au champ vectoriel : pour certains champs, le flux à travers une courbe fermée prend des valeurs particulières !

- Donnez une interprétation physique de ces différents champs.