Flux et circulation d’un champ vectoriel

Comment estimer le flux et la circulation d’un champ vectoriel
dimanche 26 février 2006
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Une estimation visuelle du flux d’un champ vectoriel à deux dimensions à travers une courbe fermée et de sa circulation le long de cette courbe permet bien souvent de répondre aux deux questions suivantes : 1° le flux net est-il entrant ou sortant ? 2° Dans quel sens la circulation s’effectue-t-elle ?

Les notions de flux et de circulation sont des notions très générales qui s’appliquent à n’importe quel champ vectoriel.

En électromagnétisme
- Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la somme algébrique des charges électriques situées à l’intérieur de cette surface (loi de Gauss), tandis que le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est toujours nul, ce qui exprime le fait que le champ magnétique ne possède ni source ni puits et que ses lignes sont toujours fermées.
- Dans une onde électromagnétique (E, B), le flux du vecteur S=(ExB) à travers une surface fermée est proportionnel à l’énergie transportée par l’onde.
- La circulation du champ électrique le long d’une courbe donne la tension le long de cette courbe.
- La vitesse de variation du flux du champ magnétique à travers une courbe fermée est proportionnelle à la tension relative à cette courbe.

En hydrodynamique
- La vitesse d’écoulement d’un fluide donne une bonne idée de la notion de champ vectoriel. Le flux de ce champ à travers une courbe (en dimension 2) ou une surface (en dimension 3) mesure le débit de fluide à travers la courbe ou la surface. On rencontre aussi, en théorie des fluides, des flux de volume, de masse, d’énergie, d’entropie.

En mécanique
- Le travail de la force s’exerçant sur une particule de masse m qui suit une certaine trajectoire dans un champ de gravitation illustre la notion de circulation d’un champ vectoriel le long d’une courbe.

En optique
- Le flux lumineux est égal au produit de l’éclairement reçu par une surface. Ce flux est égal à la puissance transportée, mesurée en watts (flux d’énergie).

Activités
- Dessinez quelques vecteurs des champs v(x, y) définis par :

  1. m(x, y)=x-1.2 et n(x, y)=y
  2. m(x, y)=y-1 et n(x, y)=y+x
  3. m(x, y)=0.25x+y-1 et n(x, y)=0.5(x+y^2)

dans le domaine -1<x<1 et -1<y<1

- Faites figurez sur chaque graphique, la courbe donnée par :

  • x(t)=1.5 cos(t)-0.5
  • y(t)=sin(t) en faisant varier le paramètre t de 0 à 2Pi.

- Pour chacun de ces champs :

  • Donnez la nature du flux net à travers cette courbe.
  • Donnez le sens de la circulation le long de cette courbe.

Courbe fermée dans un champ vectoriel : le flux net de ce champ à travers la courbe fermée est « sortant » :

Examen visuel du flux à travers la courbe : en ne dessinant que des vecteurs du champ dont l’origine se trouve sur la courbe, on met encore mieux en évidence la nature du flux net :

La même courbe fermée dans un autre champ : la nature du flux net de ce champ à travers la courbe n’est pas aussi évidente que dans le cas précédent :

Les vecteurs du champ dont l’origine se trouve sur la courbe font apparaître un flux net « sortant » :

La même courbe fermée dans un autre champ. Il est difficile, à partir de cette seule image, de tirer une conclusion :

Dans certains cas, l’examen visuel ne permet pas de conclure avec certitude. Pour affiner l’examen visuel d’un flux à travers une courbe fermée, il peut être utile de ne dessiner que les composantes normales à la courbe :

En ne dessinant que les composantes normales à la courbe, on peut conclure qu’il s’agit d’un flux « sortant ».

Les composantes du champ tangentes à la courbe définissent la « circulation » du champ le long de la courbe (appelée aussi parfois flux du champ sur la courbe). Cette circulation se fait ici dans le sens des aiguilles d’une montre.