Champs vectoriels. Approche visuelle
Flux et circulation d’un champ vectoriel
Comment estimer le flux et la circulation d’un champ vectoriel

Estimation visuelle du flux et de la circulation d’un champ vectoriel à deux dimensions.

Article mis en ligne le 26 février 2006
dernière modification le 8 mai 2007

Une estimation visuelle du flux d’un champ vectoriel à deux dimensions à travers une courbe fermée et de sa circulation le long de cette courbe permet bien souvent de répondre aux deux questions suivantes : 1° le flux net est-il entrant ou sortant ? 2° Dans quel sens la circulation s’effectue-t-elle ?

Les notions de flux et de circulation sont des notions très générales qui s’appliquent à n’importe quel champ vectoriel.

En électromagnétisme
- Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la somme algébrique des charges électriques situées à l’intérieur de cette surface (loi de Gauss), tandis que le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est toujours nul, ce qui exprime le fait que le champ magnétique ne possède ni source ni puits et que ses lignes sont toujours fermées.
- Dans une onde électromagnétique (E, B), le flux du vecteur S=(ExB) à travers une surface fermée est proportionnel à l’énergie transportée par l’onde.
- La circulation du champ électrique le long d’une courbe donne la tension le long de cette courbe.
- La vitesse de variation du flux du champ magnétique à travers une courbe fermée est proportionnelle à la tension relative à cette courbe.

En hydrodynamique
- La vitesse d’écoulement d’un fluide donne une bonne idée de la notion de champ vectoriel. Le flux de ce champ à travers une courbe (en dimension 2) ou une surface (en dimension 3) mesure le débit de fluide à travers la courbe ou la surface. On rencontre aussi, en théorie des fluides, des flux de volume, de masse, d’énergie, d’entropie.

En mécanique
- Le travail de la force s’exerçant sur une particule de masse m qui suit une certaine trajectoire dans un champ de gravitation illustre la notion de circulation d’un champ vectoriel le long d’une courbe.

En optique
- Le flux lumineux est égal au produit de l’éclairement reçu par une surface. Ce flux est égal à la puissance transportée, mesurée en watts (flux d’énergie).

Activités
- Dessinez quelques vecteurs des champs v(x, y) définis par :

  1. m(x, y)=x-1.2 et n(x, y)=y
  2. m(x, y)=y-1 et n(x, y)=y+x
  3. m(x, y)=0.25x+y-1 et n(x, y)=0.5(x+y^2)

dans le domaine -1<x<1 et -1<y<1

- Faites figurez sur chaque graphique, la courbe donnée par :

  • x(t)=1.5 cos(t)-0.5
  • y(t)=sin(t) en faisant varier le paramètre t de 0 à 2Pi.

- Pour chacun de ces champs :

  • Donnez la nature du flux net à travers cette courbe.
  • Donnez le sens de la circulation le long de cette courbe.

Courbe fermée dans un champ vectoriel : le flux net de ce champ à travers la courbe fermée est « sortant » :

Examen visuel du flux à travers la courbe : en ne dessinant que des vecteurs du champ dont l’origine se trouve sur la courbe, on met encore mieux en évidence la nature du flux net :

La même courbe fermée dans un autre champ : la nature du flux net de ce champ à travers la courbe n’est pas aussi évidente que dans le cas précédent :

Les vecteurs du champ dont l’origine se trouve sur la courbe font apparaître un flux net « sortant » :

La même courbe fermée dans un autre champ. Il est difficile, à partir de cette seule image, de tirer une conclusion :

Dans certains cas, l’examen visuel ne permet pas de conclure avec certitude. Pour affiner l’examen visuel d’un flux à travers une courbe fermée, il peut être utile de ne dessiner que les composantes normales à la courbe :

En ne dessinant que les composantes normales à la courbe, on peut conclure qu’il s’agit d’un flux « sortant ».

Les composantes du champ tangentes à la courbe définissent la « circulation » du champ le long de la courbe (appelée aussi parfois flux du champ sur la courbe). Cette circulation se fait ici dans le sens des aiguilles d’une montre.