Immersion d’un cylindre d’axe horizontal

Evolution du niveau
dimanche 29 janvier 2006
par  Bernard Vuilleumier
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On immerge un cylindre d’axe horizontal dans un récipient parallélépipédique rempli d’eau. Comment le niveau du liquide varie-t-il en fonction de la profondeur d’immersion ?

On immerge un cylindre en position horizontale dans un récipient parallélépipédique rempli d’eau. Comment varie le niveau du liquide lors de l’immersion du cylindre ?

Le volume immergé est proportionnel à la surface de la section qui est elle-même immergée. Considérons la fonction qui définit un demi-cercle et cherchons sa primitive pour obtenir la variation de la surface comprise entre ce demi-cercle et l’axe Ox lorsqu’on parcourt ce dernier :

En multipliant cette primitive par 2, on obtient l’allure de la variation de la surface du cercle en fonction de x :

Cette variation est équivalente à la variation de la section immergée en fonction de la profondeur d’immersion. Translatons la fonction pour la faire débuter à l’origine et obtenir l’augmentation de niveau en fonction de la profondeur d’immersion :

Variation du niveau en fonction de la profondeur d’immersion : la partie immergée du cylindre correspond à la partie en bleu. La profondeur d’imersion se lit sur l’axe horizontal et la variation du niveau dans le récipient parallélépipédique sur l’axe vertical.

Variation du niveau en fonction de l’angle : on peut envisager la variation du niveau du liquide dans le récipient parallélépipédique lorsqu’on immerge le cylindre en fonction de l’angle défini par le centre d’une section du cylindre et les deux points du segment délimitant la séparation air-eau.


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