L’oscillateur harmonique

Choix de l’origine et du sens de l’axe
mercredi 4 octobre 2006
par  Bernard Vuilleumier
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Un phénomène physique ne doit pas dépendre du système de référence inertiel retenu pour le décrire. Lorsqu’une masse accrochée à un ressort oscille, on choisit habituellement, pour repérer sa position, un axe vertical orienté vers le haut et on fait coïncider l’origine de l’axe avec la position d’équilibre de la masse. Ce choix simplifie le problème car il permet d’annuler le poids qui est compensé par la force de rappel lorsque la masse se trouve dans cette position. La seule force à considérer est alors celle exercée par le ressort sur la masse lorsqu’elle est écartée de cette position d’équilibre d’une quantité Δy. D’autres choix sont bien sûr possibles : axe orienté vers le bas, origine située au point d’attache ou à l’extrémité libre du ressort, ou n’importe où sur l’axe. Nous montrons ici que le phénomène physique ne dépend pas de ces choix.

Considérons une masse accrochée à un ressort :

Oscillateur harmonique
Animation réalisée avec Mathematica et tirée de VisualDSolve de Stan Wagon.

- Forces exercées sur la masse

Si nous négligeons les frottements, la masse ne subit que deux forces : une force d’attraction gravitationnelle P=mg et une force de rappel exercée par le ressort F=-kΔy. Δy donne l’écart entre la position instantanée de la masse et l’extrémité libre du ressort « à vide » : Δy=y-yryr est la position de l’extrémité libre du ressort. La grandeur des forces exercées sur la masse ne dépend ni du choix de l’origine ni du sens de l’axe Oy. La relation fondamentale de la dynamique ΣF=ma permet d’exprimer l’accélération de la masse et d’écrire l’équation différentielle de l’oscillateur.

N. B. Le code qui se trouve dans les cadres qui suivent peut être copié et collé dans Mathematica pour être exécuté.

Pour résoudre cette équation et obtenir l’horaire de la masse, nous devons spécifier les conditions initiales : position y0 et vitesse v0. Fixons les valeurs du champ de gravitation g, de la raideur k du ressort et de la masse m. Pour donner la position de l’extrémité libre du ressort yr et la position initiale y0 de la masse, nous devons choisir une origine. Faisons-la coïncider avec l’extrémité libre du ressort : yr=y0=0.

Position de la masse en fonction du temps

Position de la masse en fonction du temps : l’origine de l’axe coïncide avec l’extrémité libre du ressort.

 

- Comment simplifier la description ?

Lorsque la masse est dans sa position d’équilibre, la force résultante est nulle (la force de rappel du ressort compense la force gravitationnelle). La force résultante exercée sur la masse dans les autres positions peut s’exprimer par F=-kΔy, avec Δy=y-yéq. Δy est maintenant l’écart de la masse par rapport à sa position d’équilibre (et plus par rapport à l’extrémité libre du ressort « à vide » yr).

L’accélération de la pesanteur g ne figure plus dans l’équation qui s’écrit alors plus simplement :

En faisant coïncider l’origine avec la position d’équilibre de la masse (yéq=0), on translate l’horaire de Δy=yr-yéq vers le haut. La position initiale de la masse y0 est donnée par l’écart entre l’extrémité libre du ressort yr et la position d’équilibre yéq.

Horaire de la masse

Horaire de la masse : l’origine de l’axe coïncide avec la position d’équilibre de la masse. L’amplitude et la période d’oscillation ne dépendent pas du choix de l’origine.

Cet horaire aurait aussi pu être obtenu en posant g=0 et yr=yéq dans la première équation, en la résolvant et en utilisant les conditions initiales yéq=0 et y0=mg/k=98/2000.

En conclusion

En faisant coïncider l’origine de l’axe avec la position d’équilibre de la masse et en mesurant l’écart Δy depuis cette position d’équilibre (au lieu de le mesurer depuis l’extrémité libre du ressort), nous n’avons plus qu’une force de rappel proportionnelle à cet écart à considérer. La description de l’oscillation, l’équation du mouvement et sa solution s’en trouvent simplifiées.

Activités proposées

  1. Écrivez l’équation du mouvement d’un oscillateur harmonique en choisissant comme origine l’extrémité libre du ressort, puis la position d’équilibre de la masse.
  2. Résolvez chacune de ces équations pour le même système physique et donnez dans chaque cas l’horaire de la masse.
  3. Montrez que la solution de la 2e équation peut s’obtenir à partir de la 1e équation en opérant des substitutions.

Voir aussi :
- Forces exercées sur une masse accrochée à un ressort
- Énergie mécanique d’un oscillateur harmonique
- Oscillateur harmonique

From Wolfram Demonstrations Project :
- Harmonic Oscillation
- Superposition of Waves


Wolfram Demonstrations Project : mode d’emploi