La cycloïde, Hélène des mathématiciens

La cycloïde et le paradoxe d’Aristote
lundi 3 octobre 2005
par  Bernard Vuilleumier
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Hélène, qui était la fille de Léda et de Tyndare, était d’une grande beauté. Elle fût enlevée par Pâris qui était follement amoureux d’elle, ce qui provoqua la guerre de Troie. Il n’y a pas eu de guerre à propos de la cycloïde, mais son histoire est riche d’événements et elle a exercé un attrait manifeste sur les grands penseurs du XVII^e siècle.
D’un point de vue cinématique, la cycloïde ou « roulette » comme l’appelait Pascal, est la courbe décrite par un point d’une roue qui roule sur un plan sans glisser. L’étude de cette courbe aux propriétés remarquables remonte au paradoxe d’Aristote : pourquoi deux cercles concentriques, l’un ayant un diamètre inférieur à l’autre, parcourent-ils une distance égale s’ils sont tournés selon un cercle, et pourquoi une fois séparés, parcourent-ils des distances proportionnelles à leurs diamètres ? En 1634, Gille Personne (Roberval) parvint à déterminer la forme de cette courbe, et entre 1634 et 1637, il trouva la quadrature et le volume engendrés par la rotation d’un arc de la courbe autour de sa base. Il expliqua en outre la façon de la construire par points. En 1638, Descartes et Fermat donnèrent leur propres solutions à la quadrature d’une arche de la cycloïde et ils trouvèrent une méthode algébrique pour déterminer la tangente à la roulette. En 1658, Pascal, dans une lettre circulaire anonyme, lance un défi aux mathématiciens :

« Nous étant occupé il y a quelques mois de diverses questions touchant la cycloïde et son centre de gravité, plusieurs problèmes vinrent se présenter à notre esprit. Nous en demandons instamment la solution aux géomètres les plus illustres de l’univers »

En décembre de la même année, il publie un recueil contenant ses méthodes et ses résultats au sujet de la détermination des centres de gravité, des surfaces et des volumes liés à la cycloïde.
En 1659, Huygens découvre les propriétés isochrones du pendule cycloïdal et en 1697, Jacques et Jean Bernoulli montrent que la courbe de descente la plus rapide pour un point pesant, dite courbe brachistochrone, est une cycloïde.

Objectifs

• prise de vue sur l’histoire de la cycloïde ;
• être capable de construire « cinématiquement » une cycloïde
• savoir réaliser quelques animations pertinentes à propos de la cycloïde.

Activités

1. Le paradoxe d’Aristote
a) Dessinez deux cercles concentriques, l’un ayant un diamètre inférieur à l’autre.
b) Faites rouler ces cercles :
• sur un plan horizontal tangent au plus grand cercle ;
• sur un plan horizontal tangent au plus petit cercle.
Énoncez, à partir de cette animation, le paradoxe d’Aristote.

2. Horaires
Rappel : un horaire donne la position d’un mobile en fonction du temps.
a) Donnez l’horaire Overscript[r_c, →](t) du centre C d’un cercle de rayon r qui roule sur un plan horizontal à vitesse Overscript[v, →].
b) Donnez l’horaire Overscript[r_p, →](t) d’un point P décrivant une trajectoire circulaire de rayon r à vitesse
angulaire ω constante.
c) Donnez l’horaire Overscript[r, →](t) d’un point P situé à une distance d du centre d’un cercle de rayon r roulant sans glisser sur un plan horizontal.

3. Cycloïdes
Construisez une animation permettant de faire rouler sans glissement une roue de rayon r sur un plan et d’obtenir la trajectoire d’un point solidaire de la roue et situé à une distance d du centre.

Pour en savoir plus

 Jean-Luc Verley. Autour de la cycloïde (à rechercher sur le web).
Réponses à quelques questions sur la cycloïde

Lorsque le point observé se trouve au-delà du plan de roulement, sa vitesse peut être opposée à celle du centre du cercle.


Voir aussi (from Wolfram Demonstrations Project) Cycloid Curve Animation


Wolfram Demonstrations Project : mode d’emploi


Documents joints

Notebook Mathematica