Histoire des sciences
Le modèle de Kepler
Polyèdres platoniciens et orbites des planètes

Modèle géométrique d’inspiration pythagoricienne conçu par Kepler pour rendre compte des distances relatives séparant les planètes du Soleil.

Article mis en ligne le 12 mai 2006
dernière modification le 22 juillet 2010

par Bernard Vuilleumier

En 1596, Johannes Kepler qui a 25 ans publie un ouvrage intitulé Mystères Cosmographiques. Il y propose un modèle héliocentrique, comme celui de Copernic, mais dans lequel il associe aux planètes du système solaire les polyèdres platoniciens : le cube à Saturne, le tétraèdre à Jupiter, le dodécaèdre à Mars, l’icosaèdre à la Terre et l’octaèdre à Vénus. La sphère circonscrite au cube fournit le rayon de l’orbite de Saturne et la sphère inscrite au cube le rayon de Jupiter. Les polyèdres imposent les rayons des sphères qui sont, selon Kepler, dans un rapport égal aux rayons des orbites des planètes.

Le modèle de Kepler {PNG}

Le modèle de Kepler : les planètes sont associées aux polyèdres convexes réguliers : le cube à Saturne, le tétraèdre à Jupiter etc. La sphère circonscrite au cube fournit le rayon de l’orbite de Saturne et la sphère inscrite au cube le rayon de Jupiter. Les polyèdres imposent les rayons des sphères qui sont, selon Kepler, dans un rapport égal aux rayons des orbites des planètes.

Orbites des planètes selon le modèle de Kepler {PNG}

Orbites des planètes selon le modèle de Kepler. A gauche : orbites des planètes internes. Le rayon de l’orbite de la Terre est donné par le rayon de la sphère circonscrite à l’icosaèdre. En inscrivant une sphère dans l’icosaèdre, on obtient l’orbite de Vénus. En inscrivant un octaèdre dans cette sphère, puis une sphère dans cet octaèdre, on obtient l’orbite de Mercure. A droite : orbites des planètes externes. En circonscrivant un dodécaèdre à la sphère donnant l’orbite terrestre, puis en circonscrivant une sphère à ce dodécaèdre, on obtient l’orbite de Mars. En répétant le procédé avec un tétraèdre puis un cube, on obtient les orbites de Jupiter et Saturne.

Activités
- Dessinez les cinq polyèdres convexes réguliers.
- Inscrivez une sphère dans chacun de ces polyèdres.
- Circonscrivez une sphère à chacun d’eux.
- En adoptant un rayon unité pour la sphère qui décrit l’orbite terrestre dans le modèle de Kepler, calculez, à l’aide de ce modèle, les rayons des sphères donnant les orbites des autres planètes.
- Comparez les valeurs obtenues aux valeurs des tables.