Orbite et évolution temporelle

Fonctions quadratiques
lundi 24 octobre 2005
par  Bernard Vuilleumier
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L’animation donne une interprétation géométrique de la composition réitérée d’une fonction quadratique avec elle-même. Elle met en parallèle l’orbite décrite par les valeurs de la fonction itérée et l’évolution temporelle de ces valeurs. Ici, le temps est donc discret et correspond au nombre d’itérations.

Orbite et évolution temporelle
Le paramètre r vaut 4 et la valeur initiale 0.24.

 

Illustration de la sensibilité aux conditions initiales
Le paramètre r vaut 4 et la valeur initiale 0.241. La valeur obtenue après 12 itérations diffère beaucoup de la valeur finale de l’animation précédente.

Activités proposées

Lorsqu’une fonction est composée n fois avec elle-même on dit qu’elle est itérée n fois. La parabole qui coupe l’axe Ox en 0 et en 1 et dont l’ordonnée du sommet est également comprise entre 0 et 1 selon la valeur du paramètre r, est définie par la fonction f(x) = rx(1-x). En composant n fois cette fonction avec elle-même, on obtient, en plus de la valeur initiale x, n valeurs qui décrivent une « orbite ». Si on associe un temps discret au nombre d’itérations, on obtient l’évolution temporelle de ces valeurs en les reportant en fonction du nombre d’itérations.
- Réalisez une animation permettant d’obtenir l’orbite et l’évolution temporelle des valeurs de la fonction quadratique f(x) = rx(1-x) lorsqu’elle est itérée n fois.
- Illustrez la sensibilité aux conditions initiales à l’aide de deux animations.