Résoudre un système d’équations différentielles

De l’accélération à la trajectoire
vendredi 20 janvier 2006
par  Bernard Vuilleumier
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La relation fondamentale de la dynamique permet, lorsqu’on connaît les forces qui agissent sur une particule, de trouver son accélération. En exprimant l’accélération en composantes selon Ox, Oy et Oz, on obtient trois équations différentielles qui fournissent par intégration les composantes du vecteur position de la particule.

Lorsqu’une particule de masse m et de charge q animée d’une vitesse $\vec v$ est soumise à l’action d’un champ électrique $\vec E$ et d’un champ magnétique $\vec B$ tous deux constants (voir figure) ainsi qu’à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse, la somme des forces qu’elle subit, qui est égale au produit de sa masse par son accélération, s’écrit :

$q(\vec E+\vec v \times \vec B)-k \vec v= m\vec a$

Champ électromagnétique

En exprimant cette équation vectorielle en composantes, on obtient les trois équations différentielles suivantes :
$\ddot{x}=-\frac{k}{m}\dot{x}$
$\ddot{y}=\frac{q}{m}\dot{z}B_x-\frac{k}{m}\dot{y}$
$\ddot{z}=\frac{q}{m}(E_z-\dot{y}B_x)-\frac{k}{m}\dot{z}$

Activité

- Résolvez ce système d’équations différentielles avec Mathematica puis représentez en 3 dimensions la trajectoire décrite par la particule pour différentes vitesses initiales.


Voir (from Wolfram Demonstrations Project) EquationTrekker


Wolfram Demonstrations Project : mode d’emploi