Résoudre une équation différentielle avec Mathematica Solution générale, constante d’intégration, représentation d’une solution

, par  Bernard Vuilleumier , popularité : 3%


Problème 1

a) Donnez la solution générale de l’équation :

\frac{dy}{dx}=e^{-y} Cos^2(\pi x)

Résolvons l’équation par rapport à y(x) :

Examinons la solution pour x=0 :

b) Sachant qu’en x=0, y=ln(e), dessinez la solution pour  0\le x \le\pi.

Problème 2

a) Donnez la solution de l’équation :

y’=2x^2-\frac{y}{x}

satisfaisant la condition initiale y(1)=3.
b) Représentez graphiquement cette solution pour -4 \le x \le 4.

Résolvons l’équation par rapport à y(x) et représentons la :

Problème 3

a) Donnez la solution générale de l’équation :

 \ddot x + x = 0

Résolvons l’équation par rapport à x(t)

b) Déterminez la valeur des constantes d’intégration sachant qu’en t=0, x=1 et \dot x =2.

Examinons la solution pour t=0 :

Nous en déduisons que C[1] est égal à 1. Introduisons cette valeur dans la solution, dérivons la par rapport à t et remplaçons t par 0 :

Nous en déduisons que C[2] est égal à 2.

c) Dessinez la solution satisfaisant ces conditions pour t variant de 0 à 2\pi.

d) Dessinez, pour t variant de 0 à 2\pi, la solution correspondant aux valeurs aux limites x(0)=1 et x(\frac{\pi}{2})=0.

Résolvons l’équation en fixant les conditions aux limites et dessinons la solution particulière qui leur correspond :

Problème 4

a) Établissez l’équation du mouvement sans frottement d’un pendule à partir d’un schéma sur lequel vous indiquerez toutes les forces qui agissent. Donnez les lois et relations utilisées. Expliquez votre démarche.
b) Lorsque le pendule est soumis à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse angulaire \frac{d\theta}{dt} = \dot \theta , l’équation du mouvement est donnée par :

\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{d\theta}{dt}+sin(\theta) = 0

Résolvez numériquement cette équation sachant qu’en t=0, la vitesse angulaire \dot\theta du pendule est nulle et qu’il forme un angle \theta de \frac{\pi}{4} avec la verticale.
c) Dessinez la solution \theta(t) pour t variant de 0 à 10.

Problème 5