Équations différentielles ordinaires
Résoudre une équation différentielle avec Mathematica
Solution générale, constante d’intégration, représentation d’une solution

Solution générale, constante d’intégration, conditions initiales et conditions aux limites. Solution particulière et représentation d’une solution d’une équation ou d’un système d’équations différentielles ordinaires.

Article mis en ligne le 18 janvier 2007
dernière modification le 10 janvier 2017

par Bernard Vuilleumier


Problème 1

a) Donnez la solution générale de l’équation :

\frac{dy}{dx}=e^{-y} Cos^2(\pi x)

Résolvons l’équation par rapport à y(x) :

Examinons la solution pour x=0 :

b) Sachant qu’en x=0, y=ln(e), dessinez la solution pour 0\le x \le\pi.

Problème 2

a) Donnez la solution de l’équation :

y’=2x^2-\frac{y}{x}

satisfaisant la condition initiale y(1)=3.
b) Représentez graphiquement cette solution pour -4 \le x \le 4.

Résolvons l’équation par rapport à y(x) et représentons la :

Problème 3

a) Donnez la solution générale de l’équation :

\ddot x + x = 0

Résolvons l’équation par rapport à x(t)

b) Déterminez la valeur des constantes d’intégration sachant qu’en t=0, x=1 et \dot x =2.

Examinons la solution pour t=0 :

Nous en déduisons que C[1] est égal à 1. Introduisons cette valeur dans la solution, dérivons la par rapport à t et remplaçons t par 0 :

Nous en déduisons que C[2] est égal à 2.

c) Dessinez la solution satisfaisant ces conditions pour t variant de 0 à 2\pi.

d) Dessinez, pour t variant de 0 à 2\pi, la solution correspondant aux valeurs aux limites x(0)=1 et x(\frac{\pi}{2})=0.

Résolvons l’équation en fixant les conditions aux limites et dessinons la solution particulière qui leur correspond :

Problème 4

a) Établissez l’équation du mouvement sans frottement d’un pendule à partir d’un schéma sur lequel vous indiquerez toutes les forces qui agissent. Donnez les lois et relations utilisées. Expliquez votre démarche.
b) Lorsque le pendule est soumis à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse angulaire \frac{d\theta}{dt} = \dot \theta , l’équation du mouvement est donnée par :

\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{d\theta}{dt}+sin(\theta) = 0

Résolvez numériquement cette équation sachant qu’en t=0, la vitesse angulaire \dot\theta du pendule est nulle et qu’il forme un angle \theta de \frac{\pi}{4} avec la verticale.
c) Dessinez la solution \theta(t) pour t variant de 0 à 10.

Problème 5