Saut à l’élastique, cas général Équations différentielles et solutions générales

, par  Bernard Vuilleumier , popularité : 1%

Mathematica permet de résoudre symboliquement des équations différentielles et d’obtenir les solutions générales de ces équations. Nous utilisons ici Mathematica pour exprimer les solutions des deux équations qui gouvernent le saut à l’élastique : celle qui fournit l’équation du mouvement lorsque le sauteur n’est soumis qu’à son poids et à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse et celle qui tient compte de la force supplémentaire de rappel qui apparaît dès que l’élastique se tend.

On souhaite étudier un saut à l’élastique depuis le barrage-voûte hydroélectrique de Contra, haut de 220 m et situé dans le val Verzasca au Tessin. Un homme de masse m saute du haut du barrage. Il est soumis à la force de pesanteur et à une force de frottement proportionnelle à la vitesse Ffrott=-bv. On fixe l’origine z=0 de l’axe orienté vers le bas à la hauteur du tremplin. Une force de rappel Frappel=-k(z-z0)) commence à agir dès que l’élastique est tendu. z0 désigne la position du sauteur lorsque la force de rappel commence à agir.

Après une chute de 5 secondes, l’élastique est tendu et la force de rappel commence à agir. Sachant que le sauteur quitte le tremplin avec une vitesse initiale nulle :
- écrivez les équations régissant le mouvement :

  1. durant les 5 premières secondes
  2. après 5 secondes

- donnez les solutions générales de ces deux équations
- représentez l’horaire du sauteur pour t compris entre 0 et 40 s.

Données numériques : g=10 m/s2, m=70 kg, b=14 kg/s et k=70 N/m

Barrage de Contra des Forces Motrices de Verzasca (TI, Suisse)

Horaire du sauteur

Horaire du sauteur
En rouge horaire de la position du sauteur lorsque l’élastique est détendu (pas de force de rappel). En bleu horaire dès que la force de rappel intervient.