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Toulouse

2010-05-30T15:41:00Z

Détermination d'un moment d'inertie

Alessia Bouchet, Stephan Duong — 2009-03-10T21:34:26Z

BUT :

– Déterminer expérimentalement le moment d'inertie d'un cylindre.
– Comparer la valeur expérimentale à la valeur théorique. Les mesures doivent nous permettre d'obtenir la grandeur a de l'accélération des cylindres à partir de laquelle nous déterminerons leurs moments d'inertie.

METHODES :

– A l'aide d'un montage contenant un plan incliné et deux cylindres, nous avons :

pris les dimensions des deux cylindres pour calculer la masse volumique.
mesuré la distance entre les deux cellules photoélectriques, l'inclinaison du plan puis le temps moyen de roulement.
calculé les accélérations des cylindres pour les différents angles
calculé les moments d'inertie des cylindres.

MANIPULATIONS ET MESURES :

– Nous avons pesé les deux cylindres et mesuré leurs dimensions. Nous obtenons les mesures suivantes :

-	Cylindre en aluminium plein	Cylindre en laiton évidé	Incertitude
Masse en kg	1.0612	1.0619	±0.0001
Rayon extérieur en m	0.025	0.025	±0.001
Rayon intérieur en m	-	0.0205	±0.001
Longueur en m	0.20	0.20	±0.001

– Ensuite nous avons mesuré l'inclinaison du plan et la distance séparant les deux cellules photoélectriques, se trouvant sur le plan, qui permettaient de mesurer le temps que le cylindre prend pour passer d'une cellule photoélectrique à l'autre. Nous obtenons une distance de 0.25 m ± 0.001m.

– Nous avons relevé le temps que met chaque cylindre pour franchir la distance entre les deux cellules photoélectriques pour différentes inclinaisons.
Nous obtenons les résultats suivants :

Cylindre en aluminium plein
(Temps en s)

Inclinaison	Temps 1	Temps 2	Temps 3	Temps moyen
2°	1.4262	1.4338	1.4330	1.4310
2,5°	1.2592	1.2721	1.2523	1.2612
3°	1.1684	1.2181	1.2187	1.2017
3,5°	1.1179	1.1150	1.1094	1.1141
4°	1.0236	1.0320	1.0435	1.0330

Incertitude = ± 0.0001 s

Cylindre en laiton évidé
(Temps en s)

Inclinaison	Temps 1	Temps 2	Temps 3	Temps moyen
2°	1.6282	1.6175	1.6256	1.6237
2,5°	1.4325	1.4373	1.4372	1.4357
3°	1.3310	1.3118	1.3146	1.3191
3,5°	1.2439	1.2414	1.2403	1.2419
4°	1.1737	1.1847	1.1602	1.1729

Incertitude = ± 0.0001 s

CALCULS ET GRAPHIQUES :

Masse Volumique

– Nous avons ensuite calculé le volume des différents cylindres pour trouver leurs masses volumiques. Grâce aux formules :
$V_{cyl.plein}=\pi r^2h$
$V_{cyl.évidé}=V_{ext}-V_{int}$
$\rho=\frac{m}{V}$

– Nous obtenons ces résultats ci-dessous :

x	Cylindre en aluminium plein	Cylindre en laiton évidé
Volume en m³	0.0003927	0.000128648
Masse volumique en kg/m³	2702.3	8254.3

– Calcul d'incertitude :

Cylindre en aluminium :

$\frac{\rho_{max}-\rho_{min}}{2}$
$=\frac{2947.22-2485.79}{2}$
$= ± 230,715 kg/m^3$

Cylindre en laiton :

$\frac{\rho_{max}-\rho_{min}}{2}$
$=\frac{8678.00-7866.67}{2}$
$= ± 405.665 kg/m^3$

– Remarques : On peut constater que nos incertitudes sont assez grandes mais cela est probablement dû aux outils de mesures (surtout la règle) qui ne possédaient pas une grande précision.
On peut aussi constater que nos masses volumiques $\rho$ sont plus ou moins proches des valeurs données par la Table CRM qui est de 2700 kg/m³ pour l'aluminium et entre 7300-8800 kg/m³ pour le laiton.

Temps et Accélérations

– Après avoir relevé 3 temps de passage pour 5 inclinaisons différentes, nous calculons le temps moyen pour chaque inclinaison.

– Puis nous calculons les accélérations avec la formule :

$x=\frac{1}{2}at^2$
$a=\frac{2x}{t^2}$
d'où x correspond à la longeur entre les deux photoélectriques et t à notre Temps moyen.

– Pour le calcul d'incertitude nous utilisons :

$a_{min}= \frac{2x_{min}}{t^2}$
$a_{max}=\frac{2x_{max}}{t^2}$
puis : $\frac{a_{max}-a_{min}}{2}$

– Voici les résultats que nous obtenons :

Cylindre en aluminium plein

inclinaison	Temps en s	Accélération en m/s²	Incertitude
2°	1.4310	0.1953	±0.000977
2.5°	1.2612	0.2515	±0.001257
3°	1.2017	0.2770	±0.001385
3.5	1.1141	0.3223	±0.001611
4°	1.0330	0.3749	±0.001874

Cylindre en laiton évidé

inclinaison	Temps en s	Accélération en m/s²	Incertitude
2°	1.6237	0.1517	±0.000759
2.5°	1.4357	0.1941	±0.000970
3°	1.3191	0.2299	±0.001149
3.5	1.2419	0.2594	±0.001297
4°	1.1729	0.2908	±0.001454

Graphiques

– Nous avons ensuite reporter graphiquement l'accélération en fonction du sinus de l'angle d'inclinaison. Nous obtenons les graphiques suivants :

Le cylindre en aluminium

Graphique du cylindre en alu

Pente : 5.36 m/s²

Le cylindre en laiton évidé

Graphique du cylindre en laiton

Pente : 4.15 m/s²

Moments d'Inertie

– Nous avons calculé ensuite le moment d'inertie des cylindres et l'incertitude à l'aide des pentes des droites obtenues sachant que a est égale à la pente.
Nous utiliserons les formules suivantes

$I=\frac {mr^2(g-a)}{a}$
Et pour l'incertitude :
$I=\frac{I_{max}-I_{min}}{2}}$

Pour le cylindre en aluminium :

$I=\frac {1.0612*0.025^2*(9.81-5.36)}{5.36}$

$=5.51*10^{-4}$ $kg*m^2$

$±0.000044 kg*m^2$

Pour le cylindre en laiton :

$I=\frac {1.0619*0.025^2*(9.81-4.15)}{4.15}$

– $=9.05*10^{-4}$ $kg*m^2$

$±0.000072329 kg*m^2$

Théorie

– En théorie, nous utilisons la formule $I=\frac {1}{2}mr^2$ pour trouver le moment d'inertie d'un cylindre en aluminium.

Nous obtenons pour le cylindre en aluminium :

$I=\frac {1}{2}*1.0612*0.025^2=3.31625*10^{-4} kg*m^2$

– En théorie, nous utilisons la formule $I=mr^2$ pour trouver le moment d'inertie d'un cylindre évidé en laiton.

Nous obtenons pour le cylindre en laiton évidé :

$I=1.0619*0.025^2=6.63688*10^{-4} kg*m^2$

Les moments d'inertie que nous avons optenus expérimentalement sont supérieurs à ceux obtenus par la théorie d'après la Table CRM

CONCLUSION :

– A l'aide de cette expérience, nous avons pu déterminer expérimentalement le moment d'inertie d'un cylindre en utilisant l'accélération des deux cylindres.
– De plus, nous remarquons que la masse volumique trouvée à l'aide de notre expérience est proche de la valeur donnée dans la théorie.
– Bien évidemment il reste quand même une certaine marche d'erreur car on remarque que certaine de nos incertitudes sont élevés, mais cela est dû aux instruments de mesure utilisés qui ne possédaient pas une grande précision, notamment la règle avec ± 0.001m

TIR

Alessia Bouchet, Stephan Duong — 2008-12-12T10:43:11Z

But :

Etudier une bille se déplaçant sur un plan incliné et déterminer sa vitesse initiale, son accélération et sa vitesse finale.

Méthode :

– Choisir deux distances de départ différentes.

– Mesurer six fois le temps de la descente de la bille à chaque distance.

– Déterminer sa vitesse initiale, son accélération et sa vitesse finale.

Manipulations et mesures :

– A l'aide d'une installation munie d'un chronomètre, nous avons pu mesurer 6 fois le temps de la descente de la bille pour deux différents départs. La bille roule sur une rampe, enclenche le chronomètre lorsqu'elle passe la porte, et roule sur un papier calque qui permet de tracer sa trajectoire. Puis le chronomètre s'arrête quand la bille touche la plaque d'arrivée.

– Nous obtenons donc :

point de départ	t1 en s	t2 en s	t3 en s	t4 en s	t5 en s	t6 en s	tm en s
1	0.7	0.68	0.7	0.7	0.68	0.7	0.69
2	0.69	0.69	0.65	0.66	0.68	0.68	0.675

– Nous avons relevé la trajectoire de nos deux tirs.

– Pour calculer la vitesse initiale de la bille, son accélération et sa vitesse finale, il faut d'abord décomposer la mouvement selon x et y :

1) En x, il s'agit d'un MRU, donc l'accélération est nulle et la vitesse constante. Pour calculer la vitesse initiale, il faut utiliser la formule : $v_{0x}=\frac{d_{0x}}{t_{m}}$
Donc :

Tir n°1 : $v_{0x}=\frac{0.197}{0.7}=0.28\frac{m}{s}$
Tir n°2 : $v_{0x}=\frac{0.28}{0.7}=0.4\frac{m}{s}$

2) En y, il s'agit d'un MRUA, donc l'accélération est constante et la vitesse augmente linéairement. Pour calculer l'accélération, il faut utiliser la formule : $d_{0y}=\frac{1}{2}at^2$
soit $a=\frac{2d_{0y}}{t^2}$

Sachant que l'accélération est la même pour nos deux Tirs, nous obtenons :
$a=\frac{2*0.315}{0.7^2}=1.29\frac{m}{s^2}$

3) Pour calculer la vitesse finale de la bille, il faut faire la résultante de la vitesse en x et y à l'aide du théorême de Pythagore :

$v_{x}=v_{0x}$
soit 0.28 m/s pour le Tir n°1 et 0.4 m/s pour le Tir n°2
$v_{y}=at=1.29*0.7=0.903\frac{m}{s}$
Alors : $v_{f}=\sqrt{v_{x}^2+v_{y}^2}$
Nous obtenons donc 0.95m/s pour le Tir n°1 et 0.99m/s pour le Tir n°2.

– A l'aide du calque, nous avons ensuite mesuré les cordonnées (x ;y) de 6 points sur chacune des trajectoires obtenues en fixant l'origine du système d'axes au point de lancement et nous avons calculé avec Mathematica l'équation de chaque trajectoire à partir des points relevés.

Tir n°1

x en cm	y en cm
7.3	5
10	9
12.5	13.5
15	19
16.7	23.5
18	27

y= 0.0832497 $ x^2 $

Tir n°2

x en cm	y en cm
10.6	5
14.5	9
18	13.5
21.6	19
24.1	23.5
25.9	27

y= 0.0412524 $ x^2 $

Questions :

– Nous devons reformuler la question par : Quelle est la portée du tir de la bille d'après son angle de tir α et sa vitesse initiale $v_{i}$ ?
Pour cela il faut connaître α et $v_{i}$.

– D'après le Protocole, l'accélération de la bille dépend de la force qui est parallèle au plan incliné. Et cette même force dépend de la force de soutient et de l'accélération terrestre.

– La vitesse initiale d'une bille lancée en l'air ou sur un plan incliné ne modifie pas son accélération. La vitesse est une constante et ne change pas l'accélération du mobile.

– Le mouvement d'une bille lancée en l'air et celui d'une bille lancée sur un plan incliné sont comparables parce que leur trajectoire décrit une parabole, et la force exercée sur la bille, c'est-à-dire son poids, conserve la même direction et reste dans le plan de la trajectoire. (Si on néglige la force de frottement)

Conclusion :

Nous avons pu étudier une bille se déplaçant sur un plan incliné et déterminer sa vitesse initiale, son accélération et sa vitesse finale. Grâce à cette expérience, nous avons pu conclure que le temps de chute ne varie pas en fonction de la vitesse initiale et est proche de 0.7 seconde. Donc l'accélération ne dépend pas de la vitesse initiale. De plus, si on regarde le mouvement d'une bille lancée en l'air et celui d'une bille lancée sur un plan incliné on remarque qu'ils sont comparables.

Résistance de l'air

Alessia Bouchet, Stephan Duong — 2008-11-22T10:19:42Z

But :
– Etudier l'effet du frottement de l'air sur la vitesse d'un objet en chute verticale.
– Etudier la relation entre la masse et la vitesse limite d'un objet en chute verticale.
– Comparer les résultats expérimentaux à deux modèles différents décrivant la force de frottement fluide.

Méthode :
A l'aide d'un détecteur de mouvement, enregistrer l'horaire d'un cône en papier en chute verticale.

Manipulation et mesures :
– Nous avons pesé un cône en papier.
– Nous l'avons placé en-dessous d'un dédecteur de mouvement puis nous l'avons laissé tomber.
– A l'aide du logiciel Logger Pro qui était relié au détecteur, nous avons pu obtenir une droite de régression linéaire ainsi que la vitesse à l'aide de la pente.
– Nous avons répété cette expérience en empilant au fur et à mesure plusieurs cônes.
– Nous obtenons le tableau suivant :

nombres de cônes	masse m en kg	vitesse v en m/s	vitesse au carré v² en m/s²
1	0.00190	1.310	1.716
2	0.00381	2.019	4.076
3	0.00573	2.313	5.350
4	0.00763	2.580	6.656
5	0.00947	2.816	7.930
6	0.01085	2.829	8.003
7	0.01231	3.251	10.569
8	0.01375	3.222	10.381
9	0.01519	3.224	10.394
10	0.01664	3.395	11.526

Analyse des résultats :

– D'après la 1ère loi de Newton, la résultante des forces que subit l'objet, après avoir atteint sa vitesse limite (constante), est nulle. Si on suppose que les forces qui s'exercent sur cet objet durant sa chute sont sa force de pesanteur $F_{p}$ et sa force de frottement $F_{frott}$, alors elles ont la même intensité : $F_{p}=F_{frott}$

– On peut donc exprimer la relation entre la vitesse limite et la masse de l'objet.

A faible vitesse, $-bv=mg$ où $v=v_{lim}$.
D'où : $v_{lim}\propto m$
A vitesse élevée, $-cv^2=mg$ où $v=v_{lim}$.
D'où $v_{lim}^2\propto m$

– Pour déterminer laquelle de ces deux lois décrit le mieux nos données expérimentales, nous les avons représentés graphiquement :

$v_{lim}\propto m$
$v_{lim}^2\propto m$

On constate que dans le premier graphique les points sont plus éloignés de la droite moyenne et sont moins précis, alors que dans le deuxième graphique les points sont plus proches de la droite et sont plus précis ce qui correspond le mieux à nos données expérimentales. Nous utiliserons donc la deuxième loi : $v_{lim}^2\propto m$

– Pour trouver la valeur numérique du coefficient de proportionnalité dans cette loi, il faut partir de l'égalité suivante : $F_{p}=F_{frott}$
Donc : $-cv^2=mg$
Alors : $c=-\frac {mg}{v^2}$
D'où : $c=-\frac {0.00947*-9.81}{7.930}=0.011715\frac{kg}{m}$

Questions :
– Si on compare l'évolution de la vitesse au cours du temps d'un cône en papier et d'une balle de golf en chute verticale dont la résistance de l'air est nulle, on constatera que leur accélération est la même, soit l'accélération terrestre. On aura donc le même graphique qualitatif pour les deux objets :

– Schéma du cône à l'instant de sa chute avant d'avoir atteint sa vitesse limite :

Schéma du cône à l'instant de sa chute avant d'avoir atteint sa vitesse limite

On remarque que la force de frottement est plus petite que la force de pensenteur.

– Schéma du cône à l'instant de sa chute ayant atteint sa vitesse limite :

Schéma du cône à l'instant de sa chute ayant atteint sa vitesse limite

On remarque que la force de frottement est égale à la force de pensenteur.

– Pour trouver l'expression algébrique du temps de chute en fonction de sa masse d'après la relation $-bv=mg$, il faut remplacer $v$ en utilisant la formule : $v=\frac{d}{t}$
Donc : $-b\frac{d}{t}=mg$
Alors : $-bd=mgt$
D'où : $t=\frac{bd}{mg}$

– Pour trouver l'expression algébrique du temps de chute en fonction de sa masse d'après la relation $-cv^2=mg$, il faut remplacer $v$ en utilisant la formule : $v=\frac{d}{t}$
Donc : $-c\frac{d^2}{t^2}=mg$
Alors : $-cd^2=mgt^2$
D'où : $t=\sqrt{\frac{cd^2}{mg}}$
– Graphique de la chute d'un parachutiste :

Graphique de la chute d'un parachutiste

Conclusion

Nous avons étudié l'effet du frottement de l'air sur la vitesse d'un objet en chute verticale, d'où nous avons pu conclure que la force de frottement de l'air freine la chute de l'objet et lui impose une vitesse limite.
On remarque aussi que la vitesse limite varie selon la masse de l'objet, c'est-à-dire que plus la masse de notre objet de chute est grande plus la vitesse limite sera grande.
À l'aide de nos résultats expérimentaux, nous avons conclu que le modèle de la vitesse au carré $v_{lim}^2\propto m$ était plus précis et correspondait mieux à nos résultats que le modèle de la vitesse $v_{lim}\propto m$.