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Etablir le graphe d'un site à l'aide d'un robot

bernard.vuilleumier — 2015-01-09T22:22:17Z

Un « webcrawler » est un robot qui permet d'établir les relations existant entre les pages d'un site et qui fournit les adresses associées à ces liens. Il permet d'explorer la structure du site à différentes profondeurs.

Réseau d'amis sur facebook

Les relations entre diverses entités peuvent être représentées par un graphe. Si vous établissez votre rapport facebook avec WolframAlpha par exemple, vous obtenez le réseau de vos amis sous forme d'un graphe.

Réseau d'amis sur facebook

La version pro de WolframAlpha qui autorise l'interactivité vous permet de visualiser l'ensemble de vos amis, vos amis masculins, féminins, plus jeunes ou plus âgés que vous, qui habitent votre ville ou encore ceux qui résident où vous avez vécu. Il est aussi possible de colorier les points qui les représentent selon la notoriété, l'âge, le genre, le nombre de commentaires ou de relations de vos amis.

Nombre d'amis de chaque relation

Ces représentations fournissent des informations aisément interprétables et sont utilisées, on peut s'en douter, par de nombreux services de renseignement.

Graphe des pages d'un site

Les liens entre les pages d'un site définissent un réseau, tout comme vos amis sur facebook. Le langage Wolfram permet de réaliser un robot (webcrawler) capable d'explorer un site à la profondeur souhaitée :

webcrawler[rooturl_, depth_] := Flatten[Rest[ NestList[ Union[Flatten[ Thread[# -> Import[#, "Hyperlinks"]] & /@ Last /@ #]] &, {"" -> rooturl}, depth]]]

Cette fonction accepte deux arguments, l'URL du site à explorer et la profondeur de recherche. Pour obtenir les liens du site http://i-les.ch/pages/index à la profondeur 1 par exemple on écrit :

webcrawler["http://i-les.ch/pages/index", 1]

La fonction retourne une liste de règles de la forme :

{"http://i-les.ch/pages/index" -> "http://i-les.ch/pages/EchangesCourriels.html", "http://i-les.ch/pages/index" -> "http://i-les.ch/pages/Historique_Projet.html", "http://i-les.ch/pages/index" -> "http://www.wolfram.com/language/"}

Le membre de gauche de chaque règle est l'URL de la page de départ (racine) et le membre de droite l'adresse d'une page qui lui est liée. Le langage Wolfram permet de représenter de telles listes sous forme de graphes. La présentation peut être choisie avec des options :

Graph[webcrawler["http://i-les.ch/moodle", 2], VertexStyle -> White, VertexShapeFunction -> "Point", EdgeStyle -> Directive[Opacity[.5], Hue[.15, .5, .8]], Background -> Black, EdgeShapeFunction -> (Line[#1] &)]

Voici le graphe du site www.i-les.ch

Graphe du site i-LES.ch

Adresses des pages dans des infobulles

L'option « VertexLabel » permet d'obtenir les adresses des pages dans des infobulles (Tooltips) associées aux points du graphe :

Graph[webcrawler["http://i-les.ch/moodle", 2], VertexStyle -> White, VertexShapeFunction -> "Point", EdgeStyle -> Directive[Opacity[.5], Hue[.15, .5, .8]], Background -> Black, EdgeShapeFunction -> (Line[#1] &), VertexLabels -> Placed["Name", Tooltip]]

Infobulles et hyperliens associés aux points d'un graphe

En numérotant les points d'un graphe et en associant des hyperliens aux numéros, on offre la possibilité d'accéder aux adresses figurant dans les infobulles. Le survol d'un point donne l'adresse de la page et un clic sur le numéro permet d'y accéder. Exemple.

Vecteur position, vecteur vitesse et vecteur accélération

bernard.vuilleumier — 2006-09-12T16:09:45Z

Exercice extrait de J.-A. Monard, Mécanique.

Un mobile se déplace selon l'horaire :

En dérivant l'horaire donnant le vecteur position par rapport au temps, on obtient l'horaire donnant le vecteur vitesse :

Et en dérivant l'horaire donnant le vecteur vitesse par rapport au temps, on obtient l'horaire donnant le vecteur accélération :

Chacune de ces égalités vectorielles peut s'écrire en composantes :

– x(t) = 0.1 t³ - 0.4 t
– y(t) = 0.8 t

– v_x(t) = 0.3 t² - 0.4
– v_y(t) = 0.8

– a_x(t) = 0.6 t
– a_y(t) = 0

Définissons l'horaire r(t) dans Mathematica et calculons les composantes du vecteur position. Les composantes du vecteur vitesse s'obtiennent en dérivant une fois cet horaire par rapport au temps v(t) = r'(t) et les composantes du vecteur accélération en le dérivant deux fois a(t) = r''(t).

N. B. Le code qui se trouve dans les cadres ci-dessous peut être copié collé dans Mathematica pour être exécuté.

A = {0.1, 0};
B = {-0.4, 0.8};
r[t_] := A*t^3 + B*t
tinit = -3;
tfinal = 3;
deltat = 1;
rxy = Table[r[t], {t, tinit, tfinal, deltat}];
vxy = Table[r'[t], {t, tinit, tfinal, deltat}];
axy = Table[r''[t], {t, tinit, tfinal, deltat}];
TableForm[ Transpose[{{Range[tinit, tfinal, deltat]}, {rxy}, {vxy}, {axy}}], TableHeadings -> {None, {"t", "rxy", "vxy", "axy"}}]

En copiant-collant le code ci-dessus dans Mathematica et en l'exécutant, on obtient le tableau qui donne les composantes de chaque vecteur en fonction du temps.

Vecteur position. vecteur vitesse et vecteur accélération

En bleu, vecteur position, en vert, vecteur vitesse et en rouge vecteur accélération du mobile.

Vecteur position. vecteur vitesse et vecteur accélération : en bleu, vecteur position, en vert, vecteur vitesse et en rouge vecteur accélération du mobile.

Dessiner avec Mathematica

bernard.vuilleumier — 2006-03-09T14:33:55Z

Mathematica met à votre disposition de nombreuses possibilités d'obtenir des représentations graphiques en deux et en trois dimensions. Des modules tels que « GraphicsShapes » et « GraphicsPolyhedra » permettent d'obtenir facilement des formes géométriques variées. Ces deux modules utilisent des « primitives graphiques » qui sont les formes élémentaires à partir desquelles des images plus complexes peuvent être construites.

Dessiner des points
– Dessinez un point.

Point dans un plan

La primitive graphique Point permet de dessiner des « points ».

La primitive graphique « Point » permet de dessiner des points.

– Dessinez une collection de points du plan de taille et de couleur différentes.

Collection de points

Il est possible d'attribuer une taille et une couleur à chaque point.

Il est possible d'attribuer une taille et une couleur à chaque point.

– Dessinez une collection de points dans l'espace.

Points dans l'espace

La primitive graphique Point permet aussi de dessiner des points dans l'espace.

La primitive graphique « Point » permet aussi de dessiner des points dans l'espace.

Dessiner des lignes
– Dessinez un segment reliant deux points

Ligne reliant deux points

La primitive graphique Line permet de dessiner des segments.

La primitive graphique « Line » permet de dessiner des segments.

– Dessinez une ligne reliant une collection de points du plan

Ligne reliant des points du plan

La primitive graphique Line permet de relier des points du plan.

La primitive graphique « Line » permet de relier des points du plan.

– Dessinez une ligne reliant des points de l'espace

Ligne reliant des points dans l'espace

La primitive graphique Line permet aussi de relier des points dans l'espace.

La primitive graphique « Line » permet aussi de relier des points dans l'espace.

Dessiner des polygones
– Dessinez un polygone dans un espace à deux dimensions

– Dessinez un polygone dans un espace à trois dimensions.

Polygones

La primitive graphique Polygon peut être utilisée pour dessiner des polygones dans un espace à 2 ou à 3 dimensions.

La primitive graphique « Polygon » peut être utilisée pour dessiner des polygones dans un espace à 2 ou à 3 dimensions.

Ces primitives graphiques sont les « briques » élémentaires à partir desquelles des figures plus complexes peuvent être construites.

Tore

Ce tore est construit à partir des primitives graphiques Line et Polygon.

Ce tore est construit à partir des primitives graphiques « Line » et « Polygon ».

La commande « Table »

bernard.vuilleumier — 2006-02-17T08:23:33Z

La commande « Table » permet de créer une grande variété de listes. La structure de ces listes peut prendre différentes formes.

Listes
– Donnez les instructions Mathematica permettant d'obtenir la liste :

des 10 premiers entiers naturels
des entiers relatifs de -5 à 5
des nombre rationnels 1/q pour q variant de 1 à 10
des 10 premiers nombres premiers
contenant 10 fois l'expression a*x+b
des expression de a*x+b pour a variant de 1 à 10
des expression de a*x+b pour a variant de 5 à 10
des expression de a*x+b pour a variant de 5 à 10 par pas de 2
des expression de a*x+b pour a et b variant de 1 à 5.
des expression de a*x+b pour a variant de 1 à 5 et b de 1 à 3
des expression de a*x+b pour a variant de - 2 à 2 et b de 0 à 6 par pas de 3
{{{{1, 1}, {1, 2}}, {{2, 1}, {2, 2}}, {{3, 1}, {3, 2}}}
{{{1, 1}}, {{2, 1}, {2, 2}}, {{3, 1}, {3, 2}, {3, 3}}}
{{1}, {1, 1}, {1, 2, 1}, {1, 3, 3, 1}, {1, 4, 6, 4, 1}}

– Quelle est la structure de chacune de ces listes et combien d'éléments chacune d'elles comporte-t-elle ?

Nombres exacts et nombres réels approchés

bernard.vuilleumier — 2006-02-13T17:58:44Z

La précision des calculs numériques effectués par Mathematica est par défaut celle de la machine sur laquelle ils sont effectués. Mais il est possible d'augmenter cette précision jusqu'à l'infini ! En d'autres termes, Mathematica est capable de calculer de manière exacte.

– Calculez, de manière exacte :

$\frac{(3+5)^2}{3^3+2^{10}}$
$^5\sqrt{6436.343}$
${1.8}^8 $
${2.5}^{10} \times 3$
${2}^{(10 \times 3.14)}$
$20 !$
$\frac{1.9+3.6}{3}$
$^3\sqrt{2.7}$
$2.5^5$

– Exprimez les résultats à l'aide de nombres réels approchés.
– Quelle est la précision des résultats ?
– Affichez les résultats à la précision obtenue.
– Donnez les résultats avec une précision de 20.

Sensibilité aux conditions initiales

bernard.vuilleumier — 2005-10-23T21:16:46Z

L'animation donne une interprétation géométrique de la composition réitérée d'une fonction quadratique avec elle-même. Elle met en parallèle deux évolutions partant de conditions initiales très voisines et aboutissant à des points très éloignés.

Comparaison de deux évolutions

L'orbite obtenue par itération d'une fonction quadratique est sensible aux conditions initiales.

Activités proposées

La parabole qui coupe l'axe Ox en 0 et en 1 et dont l'ordonnée du sommet est également comprise entre 0 et 1 selon la valeur du paramètre r, est définie par la fonction f(x) = rx(1-x). Lorsqu'une fonction est composée n fois avec elle-même on dit qu'elle est itérée n fois.
– Observez attentivement l'animation et expliquez comment on peut composer graphiquement la parabole avec elle-même plusieurs fois de suite.
– Combien de fois la parabole est-elle itérée dans l'animation ?
– Calculez la suite des valeurs obtenues lorsque r = 4 en partant de :

x = 0.24
x = 0.241

– Établissez les graphiques donnant ces valeurs en fonction de n.

Vitesse moyenne et vitesse instantanée

bernard.vuilleumier — 2005-09-22T08:47:35Z

Utilisation des fonctions Apply, Map, Partition, Subtract, Transpose.

Un mobile a pour horaire = + t où = (2 m/, 0)
et = (-1 m/s, 1 m/s). Calculez :
1) sa vitesse moyenne entre t = 2 s et t = 2.1 s
2) sa vitesse moyenne entre t = 2 s et t = 2.01 s
3) sa vitesse instantanée en t = 2 s

Activité proposée

Définissez une fonction donnant l'horaire = + t
Utilisez cette fonction pour calculer les coordonnées du vecteur position et les coordonnées du vecteur vitesse moyenne.
Dérivez cette fonction pour calculer les coordonnées du vecteur vitesse instantanée.

Equations horaires de deux mobiles

bernard.vuilleumier — 2005-09-21T15:39:46Z

Deux mobiles ont respectivement les horaires suivants :

= + t avec = (20 m, -5 m) et = (-1 m/s, 5 m/s)
= + t avec = (8 m, 15 m) et = (2 m/s, 0 m/s)

Ces mobiles entreront-ils en collision ? Si oui, dites après combien de temps et indiquez où la collision se produit.

Si les mobiles se rencontrent, ils se trouvent au même endroit en même temps. Si on obtient une solution en égalant les deux horaires et en résolvant cette équation par rapport à t, alors les mobiles se rencontrent. On peut ensuite trouver où ils se rencontrent en introduisant la valeur obtenue pour t dans l'un ou l'autre des horaires.

On trouve t = 4 (s) en résolvant l'équation, et x = 16 m, y = 15 m en introduisant ce temps dans les horaires.

Développement en série

bernard.vuilleumier — 2005-09-17T20:45:26Z

Taylor Series from the Wolfram Demonstrations Project by Michael Ford

Une fonction y = f(x) dont les dérivées existent jusqu'au ordre inclus dans un certain voisinage du point x = a admet, dans ce voisinage, un développement en série et peut être exprimée par un polynôme y = (x) de degré non supérieur à n, dont la valeur au point x = a est égale à la valeur de la fonction en ce point, et dont les valeurs au point x = a des dérivées successives jusqu'à l'ordre n inclus sont respectivement égales aux valeurs en ce point des dérivées correspondantes de la fonction f(x). Mathematica permet d'obtenir ce développement.

Soit la fonction cos(x). Cherchons son développement en série au voisinage du point x = 0 jusqu'à l'ordre 2 :

Au voisinage du point x = 0, le polynôme obtenu par le développement en série est très voisin de la fonction.

Application

Nous avons calculé les temps de vol de deux avions, l'un effectuant un trajet aller-retour dans la direction du vent, l'autre un trajet aller-retour de même longueur mais perpendiculairement au vent. Rappelons les résultats obtenus :

Le temps de parcours est donné par . S'il n'y a pas de vent, on obtient le même temps à l'aller et au retour. Désignons par c la vitesse de l'avion, par L/2 la distance AB et exprimons le temps pour effectuer le parcours ABA :

= = =

a) La durée de l'aller et retour ABA est plus grande dans ces conditions que dans l'air calme car si la vitesse du vent v tend vers celle de l'avion c, le temps de parcours tend vers l'infini.
Exprimons le temps pour un parcours contre et avec un vent soufflant à la vitesse v :

= = =

b) La durée de l'aller et retour ACA est plus petite que celle de l'aller et retour ABA.
Exprimons le temps pour un parcours de travers avec un vent soufflant à la vitesse v :

= = =

Exemple numérique
Calculons le coefficient par lequel est multiplié lorsque v =
dans le cas a)

Dans le cas b)

Nous avons donc bien : > >

c) Formons la différence des deux coefficients et développons en série jusqu'à l'ordre 2 :

La différence de temps entre b) et c) vaut donc approximativement, lorsque v << c :

– = Δt ≈

d) La distance L parcourue, la vitesse c de l'avion et l'écart de temps Δt entre l'arrivée du premier et du dernier avion étant connus, nous pouvons résoudre l'équation et calculer la vitesse du vent v (en mètre par seconde) :

La direction du vent est perpendiculaire au trajet de l'avion qui a mis le moins de temps pour effectuer l'aller et retour.

Vecteur position et vecteur vitesse

bernard.vuilleumier — 2005-09-13T14:07:53Z

Un point matériel a l'horaire suivant :
= t + avec = (4 m/s, 0 m/s) et = (-2 m/, 1 m/)
a) A quel instant sa vitesse est-elle parallèle aux axes de coordonnées ?
b) A quel instant sa vitesse a-t-elle une grandeur de 2 m/s ?

Réponses

La vitesse est parallèle à x lorsque sa composante est nulle.
Elle est parallèle à y lorsque sa composante est nulle.
Calculons les coordonnées x, y du vecteur position de = -3 (s) à = 3 (s) avec Δt=1 (s) :

Calculons ensuite les composantes =Δx/Δt et =Δy/Δt du vecteur vitesse :

Puis la grandeur du vecteur vitesse de seconde en seconde :

N. B. Ces grandeurs correspondent à des vitesses moyennes sur un intervalle de temps Δt = 1 (s). Représentons graphiquement ces grandeurs en fonction du temps :

Conclusion : le vecteur donnant la vitesse moyenne de seconde en seconde n'est jamais parallèle aux axes et sa grandeur est toujours supérieure à 2 (m/s).

Activité proposée

Traiter l'exercice en utilisant la dérivée de l'horaire pour calculer la vitesse instantanée du mobile.

Voir
– The Definition of the Derivative
– Instantaneous Rate of Change

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Etablir le graphe d'un site à l'aide d'un robot

Réseau d'amis sur facebook

Graphe des pages d'un site

Adresses des pages dans des infobulles

Infobulles et hyperliens associés aux points d'un graphe

Vecteur position, vecteur vitesse et vecteur accélération

Dessiner avec Mathematica

Point dans un plan La primitive graphique Point permet de dessiner des « points ».

Collection de points Il est possible d'attribuer une taille et une couleur à chaque point.

Points dans l'espace La primitive graphique Point permet aussi de dessiner des points dans l'espace.

Ligne reliant deux points La primitive graphique Line permet de dessiner des segments.

Ligne reliant des points du plan La primitive graphique Line permet de relier des points du plan.

Ligne reliant des points dans l'espace La primitive graphique Line permet aussi de relier des points dans l'espace.

Polygones La primitive graphique Polygon peut être utilisée pour dessiner des polygones dans un espace à 2 ou à 3 dimensions.

Tore Ce tore est construit à partir des primitives graphiques Line et Polygon.

La commande « Table »

Nombres exacts et nombres réels approchés

Sensibilité aux conditions initiales

Vitesse moyenne et vitesse instantanée

Equations horaires de deux mobiles

Développement en série

Vecteur position et vecteur vitesse

Point dans un plan

La primitive graphique Point permet de dessiner des « points ».

Collection de points

Il est possible d'attribuer une taille et une couleur à chaque point.

Points dans l'espace

La primitive graphique Point permet aussi de dessiner des points dans l'espace.

Ligne reliant deux points

La primitive graphique Line permet de dessiner des segments.

Ligne reliant des points du plan

La primitive graphique Line permet de relier des points du plan.

Ligne reliant des points dans l'espace

La primitive graphique Line permet aussi de relier des points dans l'espace.

Polygones

La primitive graphique Polygon peut être utilisée pour dessiner des polygones dans un espace à 2 ou à 3 dimensions.

Tore

Ce tore est construit à partir des primitives graphiques Line et Polygon.