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Albert Flocon et le théorème de Desargues

bernard.vuilleumier, Vinciane Vuilleumier — 2025-08-20T09:50:42Z

Albert Flocon, graveur amoureux de la ligne, de la perspective et de ses variations, souhaite vérifier par des expérimentations pratiques, le théorème de Girard Desargues sur la sphère. Nous proposons dans cet article d'illustrer cette vérification. La lecture des images utilisées ne nécessite aucune connaissance mathématique et la vérification se fait uniquement en examinant des intersections de lignes.

Illustration du théorème de Desargues projectif.

Que dit le théorème

Les deux triangles (non plats) ABC et A'B'C' ont leurs sommets deux à deux distincts, A de A', B de B' et C de C', sur trois droites distinctes passant respectivement par A et A', B et B', C et C' :

si les trois droites sont concourantes en un même point P, alors les trois points Q, R et S sont alignés
si les trois points Q, R et S sont alignés, alors les trois droites sont concourantes en un même point P.

Les points Q, R et S sont à l'intersection des droites passant respectivement par A, B et A', B' ; B, C et B', C' ; A, C et A', C'.

Comment passer du plan à la sphère

En construisant une configuration de Desargues dans un plan
En la projetant (projection centrale) sur la sphère

Exemples de projections : les points sur la sphère sont obtenus en reliant son centre aux sommets du triangle.

Configuration de Desargues dans le plan

Le triangle bleu A'B'C' est la projection du triangle rouge ABC depuis le point P (perspecteur). Les points S, Q et R sont alignés sur la perspectrice verte (droite de Desargues)

Illustration du théorème sur la sphère
En projetant la configuration de Desargues sur la sphère, on obtient :

Configuration de Desargues sur la sphère.

La question que se posait Flocon
Dans un carnet de 1981, Flocon écrit « Vérifier si le théorème de Desargues est vrai sur une sphère ! C'est-à-dire s'il y a six grands cercles qui se coupent deux à deux sur un septième si leurs intersections sont sur trois grands cercles concourants. » [1]
Les droites projetées sur la sphère deviennent des grands cercles. Chaque triangle donne lieu à trois grands cercles (seuls les arcs de ces grands cercles correspondant aux côtés des triangles sont dessinés pour faciliter la lecture de l'image). Ces six grands cercles se coupent deux à deux aux points S, Q, R situés sur un grand cercle (en vert. N.B. il faut prolonger les arcs AC et A'C' pour atteindre R). Et chacune de ces intersections est bien sur trois grands cercles concourants (un vert, un rouge et un bleu ) [2]

[1] FLN 1981 carnet 47.12, consulté par Vinciane Vuilleumier dans le cadre de son travail « Lineal und Zirkel. Die gestochenen Räume von Albert Flocon ». Masterarbeit vorgelegt der Philosophisch-Historischen Fakultät der Universität Basel im Fach Kunstgeschichte (Theorie der Bildwissenschaft).

[2] Des grands cercles sont dits concourants s'ils partagent deux points d'intersection diamétralement opposés.

Introduction to differential equations

2022-01-22T11:09:44Z

A comprehensive introduction to fundamental concepts and solution methods for differential equations, including video lessons and interactive notebooks. Follow along with the examples in the Wolfram Cloud and use the material to prepare for courses in natural science, engineering, economics and other fields. The course starts with a discussion of direction fields and methods for solving first-order differential equations, followed by the study of second-order equations and their applications, and then moves on to solving systems of differential equations. Problem sessions, exercises and quizzes are provided for self-paced assessment. Earn a certificate by watching all lesson and problem session videos and completing the quizzes with a passing grade. Level I certification in Differential Equations is awarded to those who meet the completion requirements and also pass the course final exam.

Voir en ligne : Introduction to differential equations

Exploring Pandemic Data

2020-04-05T16:22:09Z

Voir en ligne : Exploring Pandemic Data

Résoudre une équation différentiellle avec Mathematica

bernard.vuilleumier — 2015-09-30T08:15:06Z

Problèmes 1 à 4

Problème 5

a) Résolvez numériquement le système d'équations :

$\dot x=1+x^2y-3.5x$
$\dot y=2.5x-x^2y$

avec les conditions initiales $x(0)=0$ et $y(0)=0$.

Résolvons numériquement le système d'équations avec les conditions initiales données :

Remove[x]
Remove[y]
sol=NDSolve[{x'[t]==1+x[t]^2 y[t]-3.5x[t], y'[t]==2.5x[t]-x[t]^2 y[t], x[0]==0,y[0]==0},{x,y},{t,0,10}]

b) Dessinez la solution pour $t$ variant de 0 et 10.

x[t_] := sol[[1, 1, 2]][t]
y[t_] := sol[[1, 2, 2]][t]
ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, 0, 10}, AspectRatio -> Automatic]

c) Faites varier $x(0)$ de 0 à 3 par pas de 1 pour $y(0)=0$ et représentez toutes les solutions sur le même graphique.

Résolvons le système pour chacune des conditions initiales :

Remove[x]
Remove[y]
sol = Table[ NDSolve[{x'[t] == 1 + x[t]^2 y[t] - 3.5x[t], y'[t] == 2.5x[t] - x[t]^2 y[t], x[0] == x0, y[0] == 0}, {x, y}, {t, 0, 10}], {x0, 0, 3}]

Dessinons les différentes solutions :

Table[ParametricPlot[{Evaluate[sol[[i, 1, 1, 2]]][t], Evaluate[sol[[i, 1, 2, 2]]][t]}, {t, 0, 10}, AspectRatio -> 1, PlotRange -> {{0, 3}, {0, 4}}, DisplayFunction -> Identity], {i, 4}]
Show[%, DisplayFunction -> $DisplayFunction]

401AMos. Épreuve du 19 février : corrigé

bernard.vuilleumier — 2010-03-05T07:51:55Z

Découvrir π dans l'ensemble de Mandelbrot
Pour tester le nombre d'itérations nécessaires pour que le module de z devienne supérieur à 2, vous pouviez utiliser la fonction suivante :

mandelbrotC = Compile[{x, y, lim}, Module[{z,n = 0}, z = x + I y; While[Abs[z] < 2.0 && n <= lim, z = z^2 + (x + I y); ++n ]; n+1 (* pour avoir le nombre d'itérations nécessaires pour que le module de z devienne supérieur à 2 *) ]];

Vous pouviez ensuite obtenir les tableaux avec :

Table[{10.^-e,n=mandelbrotC[-0.75,10^-e,320000], n 10.^-e},{e,1,5}]//TableForm

et :

Table[{10.^-e,n=mandelbrotC[0.25+10^-e,0,32000], n Sqrt[10.^-e]},{e,1,8}]//TableForm

Valeur exacte
Les valeurs exactes de la fonction f(x)=rx(1-x) lorsque r=4 pour les valeurs proposées s'obtenaient avec :

f[x_] := 4 x (1 - x) f[1/5] f[16/25] f[576/625]

ou plus brièvement par :

NestList[4 # (1 - #) &, 1/5, 3]

Fonction quadratique à un paramètre
Les conditions fixées impliquent c=0. On obtient a et b avec :

f[x_] := a x^2 + b x Solve[{f[1/2] == y, f[0] == 0, f[1] == 0}, {a, b}] f[x] /. % % /. y -> r/4

Nombre d'élèves dans le collège et numéro de l'élève
La solution était en ligne !

Diagramme de bifurcation
Vous pouviez trouver les réponses dans vos notes

Période 3
On trouve un cycle de période 3 pour une valeur du paramètre r comprise entre 3.83 et 3.84. Examinons les valeurs de l'état final pour r = 3.83 :

r=3.83; NumberForm[NestList[r#(1-#)&,Nest[r#(1-#)&,.16,1000],12],5] {0.50467,0.95742,0.15615,0.50467,0.95742,0.15615,0.50467,0.95742,0.15615,0.\ 50467,0.95742,0.15615,0.50467} (* Comparons ces valeurs à celles obtenues avec un petit nombre d'itérations (ici 25) *) NumberForm[Nest[r#(1-#)&,.16,25],5] NumberForm[Nest[r#(1-#)&,.16,26],5] NumberForm[Nest[r#(1-#)&,.16,27],5] 0.50468 0.95742 0.15615 (* On constate que ces valeurs ne correspondent pas à celles de l'état final. Augmentons le nombre d'itérations de 1 jusq'au moment où les valeurs correspondent à celles de l'état final. Le nombre d'itérations est alors celui demandé (ici 26) *) NumberForm[Nest[r#(1-#)&,.16,26],5] NumberForm[Nest[r#(1-#)&,.16,27],5] NumberForm[Nest[r#(1-#)&,.16,28],5] 0.95742 0.15615 0.50467 (* On répète les mêmes opérations pour r = 3.84 et on obtient une fourchette pour le nombre d'itérations. J'ai modifié la question pour qu'elle accepte toutes les valeurs comprises dans cet intervalle (de 26 à 197) *) r=3.84; NumberForm[NestList[r#(1-#)&,Nest[r#(1-#)&,.16,1000],12],5] {0.488,0.95945,0.14941,0.488,0.95945,0.14941,0.488,0.95945,0.14941,0.488,0.\ 95945,0.14941,0.488} (* Comparons ces valeurs à celles obtenues avec un petit nombre d'itérations (ici 196) : *) Table[NumberForm[Nest[r#(1-#)&,.16,i],5],{i,196,300,3}] {0.48801,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.\ 488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.\ 488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488,0.488} NumberForm[Nest[r#(1-#)&,.16,196],5] NumberForm[Nest[r#(1-#)&,.16,197],5] NumberForm[Nest[r#(1-#)&,.16,198],5] 0.48801 0.95945 0.14941 (* On constate que ces valeurs ne correspondent pas à celles de l'état final. Augmentons le nombre d'itérations de 1 jusq'au moment où les valeurs correspondent à celles de l'état final. Le nombre d'itérations est alors celui demandé (ici 197) *) NumberForm[Nest[r#(1-#)&,.16,197],5] NumberForm[Nest[r#(1-#)&,.16,198],5] NumberForm[Nest[r#(1-#)&,.16,199],5]

Orbites
Regardez l'exercice du même type qui avait été donné en devoirs la semaine précédant l'épreuve.

Orbite complexe
Sachant qu'un nombre complexe peut être représenté par un point du plan, vous pouviez lire les coordonnées des trois sommets du triangle sur la figure. Le nombre complexe qui a le plus petit module est celui qui se trouve le plus près de l'origine (le module d'un nombre complexe correspond à la norme du vecteur qui relie l'origine au point qui représente ce nombre).

Combien d'élèves dans le collège ?

2010-02-18T13:31:23Z

Hubert est dans un collège de 25 classes dont les effectifs varient entre 25 et 30 élèves par classe. Tous les élèves sont classés par ordre alphabétique et à chaque nom est associé un numéro. Huber a remarqué que son numéro est formé de trois chiffres consécutifs et que si on avait fait la liste à l'envers, il aurait comme numéro le nombre formé avec les mêmes chiffres que le premier mais écrit dans l'ordre inverse (ex : 789 et 987).
– Combien y a-t-il d'élèves dans le collège d'Hubert ?
– Quel numéro Hubert porte-t-il ?

Solution

(* nombre d'élèves *) sol=Solve[{100x+10y+z==m,100z+10y+x==n,m+n-1==e},e]; sol/.{x->Range[0,9],y->Range[0,9],z->Range[0,9]} (* numéro d'Hubert *) sol=Solve[{100x+10y+z+100z+10y+x-1==665},x]; sol/.{y->Range[0,9],z->Range[0,9]} sol=Solve[{100x+10y+z+100z+10y+x-1==665},y]; sol/.{x->Range[0,9],z->Range[0,9]} sol=Solve[{100x+10y+z+100z+10y+x-1==665},z]; sol/.{x->Range[0,9],y->Range[0,9]}

Itérations, diagramme de bifurcation et orbites

bernard.vuilleumier — 2010-01-21T10:10:10Z

Dans une expression comme f[x], le nom de la fonction f est lui-même une expression. La possibilité de traiter les noms des fonctions comme n'importe quelle sorte d'expression est une richesse du langage symbolique de programmation de Mathematica. Cela rend possible la programmation fonctionnelle.

Dans Mathematica, les fonctions sont définies par des règles qui agissent sur des motifs. Lorsque vous écrivez :

f[x_]:=r*x(1-x)

f[x_]
est un motif dans lequel :
x_
peut être n'importe quelle expression, que nous représentons, dans le membre de droite, par le nom x. Cette règle dit : si f agit sur x, il faut remplacer x par r*x(1-x). Et tout ce que vous saisissez dans Mathematica est traité comme une expression : les formules mathématiques, les listes, les graphiques, etc.

Voici quelques exemples de programmation fonctionnelle :

bifurcation[x0_, i_, rmin_, rmax_, dr_, n_, opts___] := ListPlot[Table[ Union[Transpose[{Table[r, {i + 1}], NestList[r # (1 - #) &, Nest[r # (1 - #) &, x0, n], i]}]], {r, rmin, rmax, dr}], opts];

orbit[f_, x0_, debutdessin_, longueurdessin_, xmin_: 0, xmax_: 1] := Module[{depart, traj, graphe, lignes}, depart = Nest[f, N[x0], debutdessin]; traj = NestList[f, depart, longueurdessin]; graphe = Plot[f[x], {x, xmin, xmax}, DisplayFunction -> Identity]; lignes = Line[Partition[ Flatten[Transpose[{traj, traj}]], 2, 1]]; Show[graphe, Graphics[{{Thickness[.001], PointSize[.02], lignes, Point[{depart, depart}], Line[{{xmin, xmin}, {xmax, xmax}}]}}], AxesOrigin -> {xmin, xmin}, DisplayFunction -> $DisplayFunction, PlotRange -> {{xmin, xmax}, {xmin, xmax}}]]

Orbite

orbitComplex[c_, n_] := Show[Graphics[{Thickness[0.001], Line[Map[{Re[#], Im[#]} &, NestList[#^2 + c &, 0, n]]]}], PlotRange -> All, Axes -> Automatic]

sawtooth[x_] := If[IntegerQ[x], 0, x - IntegerPart[x] - 1/2] dsum[h_, k_] := Module[{tmp, i}, tmp = 0; Do[tmp = tmp + (i/k)*sawtooth[(h*i)/k], {i, k - 1}]; tmp] dsum2[h_, k_] := If[k < 50, dsum[h, k], If[h < k, (h/k + k/h + 1/(h*k) - 3)/12 - dsum2[k, h], dsum2[x /. Solve[h*x == 1 && Modulus == k, x][[1]], k]]]

Tâches à effectuer
– Précisez la signification de chaque argument des fonctions
– Utilisez les fonctions pour explorer le résultat des itérations
– Donnez toutes les étapes de la construction des sorties (en français)
– Écrivez et exécutez les instructions correspondant à chaque étape
– Commentez chacune de ces instructions.

Résoudre une équation différentielle avec Mathematica

bernard.vuilleumier — 2007-01-18T13:57:20Z

Visualizing the Solution of Two Linear Differential Equations from the Wolfram Demonstrations Project by Mikhail Dimitrov Mikhailov

Problème 1

a) Donnez la solution générale de l'équation :

$\frac{dy}{dx}=e^{-y} Cos^2(\pi x)$

Résolvons l'équation par rapport à $y(x)$ :

sol=DSolve[{y'[x]==Exp[-y[x]]Cos[Pi x]^2},y[x],x]

Examinons la solution pour $x=0$ :

sol/.x->0

b) Sachant qu'en $x=0$, $y=ln(e)$, dessinez la solution pour $ 0\le x \le\pi$.

Plot[sol[[1, 1, 2]] /. C[1] -> E, {x, 0, Pi}]

Problème 2

a) Donnez la solution de l'équation :

$y'=2x^2-\frac{y}{x}$

satisfaisant la condition initiale $y(1)=3$.
b) Représentez graphiquement cette solution pour -4 $\le x \le$ 4.

Résolvons l'équation par rapport à $y(x)$ et représentons la :

DSolve[{y'[x]==2x^2-y[x]/x,y[1]==3},y[x],x]
Plot[%[[1,1,2]],{x,-4,4}]

Problème 3

a) Donnez la solution générale de l'équation :

$ \ddot x + x = 0$

Résolvons l'équation par rapport à $x(t)$

sol = DSolve[x''[t] + x[t] == 0, x[t], t]

b) Déterminez la valeur des constantes d'intégration sachant qu'en $t=0$, $x=1$ et $\dot x =2$.

Examinons la solution pour$ t=0$ :

sol /. t -> 0

Nous en déduisons que $C[1]$ est égal à 1. Introduisons cette valeur dans la solution, dérivons la par rapport à $t$ et remplaçons $t$ par 0 :

D[sol[[1, 1, 2]] /. C[1] -> 1, t] /. t -> 0

Nous en déduisons que $C[2]$ est égal à 2.

c) Dessinez la solution satisfaisant ces conditions pour $t$ variant de 0 à 2$\pi$.

Plot[sol[[1, 1, 2]] /. {C[1] -> 1, C[2] -> 2}, {t, 0, 2Pi}]

d) Dessinez, pour $t$ variant de 0 à 2$\pi$, la solution correspondant aux valeurs aux limites $x(0)=1$ et $x(\frac{\pi}{2})=0$.

Résolvons l'équation en fixant les conditions aux limites et dessinons la solution particulière qui leur correspond :

sol = DSolve[{x''[t] + x[t] == 0, x[0] == 1, x[Pi/2] == 0}, x[t], t]
Plot[sol[[1, 1, 2]], {t, 0, 2Pi}]

Problème 4

a) Établissez l'équation du mouvement sans frottement d'un pendule à partir d'un schéma sur lequel vous indiquerez toutes les forces qui agissent. Donnez les lois et relations utilisées. Expliquez votre démarche.
b) Lorsque le pendule est soumis à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse angulaire $\frac{d\theta}{dt} = \dot \theta $, l'équation du mouvement est donnée par :

$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{d\theta}{dt}+sin(\theta) = 0$

Résolvez numériquement cette équation sachant qu'en $t$=0, la vitesse angulaire $\dot\theta $ du pendule est nulle et qu'il forme un angle $\theta$ de $\frac{\pi}{4}$ avec la verticale.
c) Dessinez la solution $\theta(t)$ pour $t$ variant de 0 à 10.

Remove [x]
sol = NDSolve[{x''[t] + x'[t] + Sin[x[t]] == 0, x'[0] == 0, x[0] == Pi/4}, x, {t, 0, 10}]
x[t_] := sol[[1, 1, 2]][t]
Plot[x[t], {t, 0, 10}]

Problème 5

L'oscillateur harmonique

bernard.vuilleumier — 2006-10-04T07:33:41Z

Un phénomène physique ne doit pas dépendre du système de référence inertiel retenu pour le décrire. Lorsqu'une masse accrochée à un ressort oscille, on choisit habituellement, pour repérer sa position, un axe vertical orienté vers le haut et on fait coïncider l'origine de l'axe avec la position d'équilibre de la masse. Ce choix simplifie le problème car il permet d'annuler le poids qui est compensé par la force de rappel lorsque la masse se trouve dans cette position. La seule force à considérer est alors celle exercée par le ressort sur la masse lorsqu'elle est écartée de cette position d'équilibre d'une quantité Δy. D'autres choix sont bien sûr possibles : axe orienté vers le bas, origine située au point d'attache ou à l'extrémité libre du ressort, ou n'importe où sur l'axe. Nous montrons ici que le phénomène physique ne dépend pas de ces choix.

Considérons une masse accrochée à un ressort :

Oscillateur harmonique

Animation réalisée avec Mathematica et tirée de VisualDSolve de Stan Wagon.

– Forces exercées sur la masse

Si nous négligeons les frottements, la masse ne subit que deux forces : une force d'attraction gravitationnelle P=mg et une force de rappel exercée par le ressort F=-kΔy. Δy donne l'écart entre la position instantanée de la masse et l'extrémité libre du ressort « à vide » : Δy=y-y_r où y_r est la position de l'extrémité libre du ressort. La grandeur des forces exercées sur la masse ne dépend ni du choix de l'origine ni du sens de l'axe Oy. La relation fondamentale de la dynamique ΣF=ma permet d'exprimer l'accélération de la masse et d'écrire l'équation différentielle de l'oscillateur.

N. B. Le code qui se trouve dans les cadres qui suivent peut être copié et collé dans Mathematica pour être exécuté.

eq = {y''[t] == -g - k/m(y[t] - yr), y[0] == y0, y'[0] == v0}
sol = DSolve[eq, y[t], t]

Pour résoudre cette équation et obtenir l'horaire de la masse, nous devons spécifier les conditions initiales : position y₀ et vitesse v₀. Fixons les valeurs du champ de gravitation g, de la raideur k du ressort et de la masse m. Pour donner la position de l'extrémité libre du ressort y_r et la position initiale y₀ de la masse, nous devons choisir une origine. Faisons-la coïncider avec l'extrémité libre du ressort : y_r=y₀=0.

data = {g -> 98/10, k -> 100, m -> 1/2, yr -> 0, y0 -> 0, v0 -> 0};
tinitial = 0;
tfinal = 1;
Plot[y[t] /. sol /. data, {t, tinitial, tfinal}];

Position de la masse en fonction du temps

L'origine de l'axe coïncide avec l'extrémité libre du ressort.

Position de la masse en fonction du temps : l'origine de l'axe coïncide avec l'extrémité libre du ressort.

– Comment simplifier la description ?

Lorsque la masse est dans sa position d'équilibre, la force résultante est nulle (la force de rappel du ressort compense la force gravitationnelle). La force résultante exercée sur la masse dans les autres positions peut s'exprimer par F=-kΔy, avec Δy=y-y_éq. Δy est maintenant l'écart de la masse par rapport à sa position d'équilibre (et plus par rapport à l'extrémité libre du ressort « à vide » y_r).

L'accélération de la pesanteur g ne figure plus dans l'équation qui s'écrit alors plus simplement :

eq2 = {y''[t] == -k/m(y[t] - yeq), y[0] == y0, y'[0] == v0}
sol2 = DSolve[eq2, y[t], t] // Simplify

En faisant coïncider l'origine avec la position d'équilibre de la masse (y_éq=0), on translate l'horaire de Δy=y_r-y_éq vers le haut. La position initiale de la masse y₀ est donnée par l'écart entre l'extrémité libre du ressort y_r et la position d'équilibre y_éq.

data = {k -> 100, m -> 1/2, yeq -> 0, y0 -> 98/2000, v0 -> 0};
tinitial = 0;
tfinal = 1;
Plot[y[t] /. sol2 /. data, {t, tinitial, tfinal}]

Horaire de la masse

L'origine de l'axe coïncide avec la position d'équilibre de la masse. L'amplitude et la période d'oscillation ne dépendent pas du choix de l'origine.

Horaire de la masse : l'origine de l'axe coïncide avec la position d'équilibre de la masse. L'amplitude et la période d'oscillation ne dépendent pas du choix de l'origine.

Cet horaire aurait aussi pu être obtenu en posant g=0 et y_r=y_éq dans la première équation, en la résolvant et en utilisant les conditions initiales y_éq=0 et y₀=mg/k=98/2000.

eq3 = eq /. {g -> 0, yr -> yeq}
sol = DSolve[eq3, y[t], t]
data = {k -> 100, m -> 1/2, yeq -> 0, y0 -> 98/2000, v0 -> 0};
tinitial = 0;
tfinal = 1;
Plot[y[t] /. sol /. data, {t, tinitial, tfinal}]

En conclusion

En faisant coïncider l'origine de l'axe avec la position d'équilibre de la masse et en mesurant l'écart Δy depuis cette position d'équilibre (au lieu de le mesurer depuis l'extrémité libre du ressort), nous n'avons plus qu'une force de rappel proportionnelle à cet écart à considérer. La description de l'oscillation, l'équation du mouvement et sa solution s'en trouvent simplifiées.

Activités proposées

Écrivez l'équation du mouvement d'un oscillateur harmonique en choisissant comme origine l'extrémité libre du ressort, puis la position d'équilibre de la masse.
Résolvez chacune de ces équations pour le même système physique et donnez dans chaque cas l'horaire de la masse.
Montrez que la solution de la 2^e équation peut s'obtenir à partir de la 1^e équation en opérant des substitutions.

Voir aussi :
– Forces exercées sur une masse accrochée à un ressort
– Énergie mécanique d'un oscillateur harmonique
– Oscillateur harmonique

From Wolfram Demonstrations Project :
– Harmonic Oscillation
– Superposition of Waves

Wolfram Demonstrations Project : mode d'emploi

Portée d'un tir

bernard.vuilleumier — 2006-09-19T17:14:34Z

Les équations paramétriques de la trajectoire d'un tir parabolique (sans frottement) permettent de trouver assez facilement l'angle de tir qui donne la plus grande portée. Lorsque le projectile est soumis au frottement de l'air, la portée n'est plus maximale pour un angle de 45° et trouver l'angle qui donne la plus grande portée est plus délicat. Nous examinons ici comment trouver numériquement cet angle.

Trajectoires pour différents angles de tir

La portée maximale n'est pas atteinte pour un angle de 45° lorsque le projectile est soumis au frottement de l'air.

Trajectoires pour différents angles de tir : la portée maximale n'est pas atteinte pour un angle de 45° lorsque le projectile est soumis au frottement de l'air.

Points d'impact pour différents angles de tir. Caractéristiques du projectile et du milieu

Rayon du ballon r=0.15 m. Coefficient de forme du ballon C=0.24. Masse du ballon m=0.2 kg.
Masse volumique du milieu ρ=1.293 kg/m³.
Vitesse initiale v₀=30 m/s.

Points d'impact pour différents angles de tir.

Caractéristiques du projectile et du milieu :
– Rayon du ballon r=0.15 m. Coefficient de forme du ballon C=0.24.
– Masse du ballon m=0.2 kg.
– Masse volumique du milieu ρ=1.293 kg/m³.
– Vitesse initiale v₀=30 m/s.

Même problème traité avec Stella.