Apprendre en ligne

Écouter l'effet papillon

Bernard Chabloz, bernard.vuilleumier — 2006-12-12T13:10:28Z

Chaque fois que nous cherchons à visualiser des systèmes complexes, nous sommes confrontés au même problème : le nombre de paramètres de ces systèmes dépasse celui que les techniques standard de visualisation peuvent prendre en compte. Si nous considérons l'évolution d'un ensemble de données relatives à l'atmosphère par exemple, les paramètres typiques à représenter simultanément pourraient être la température, la pression et la vitesse. Dans une représentation à deux dimensions, la couleur peut être utilisée pour la température, des lignes de niveau pour la pression et des vecteurs pour la vitesse. Et l'évolution temporelle peut être rendue à l'aide d'une animation. Mais si nous souhaitons en plus faire figurer la composition de l'atmosphère sur l'image, ou obtenir une représentation en trois dimensions, les informations visuelles qu'il faudrait rajouter rendraient l'image confuse et n'élucideraient pas le problème. L'usage du son comme outil d'analyse complémentaire à la visualisation peut apporter une aide précieuse [1] [2].

Lorenz Attractor from the Wolfram Demonstrations Project by Rob Morris

Le modèle de Lorenz

Lorsqu'une couche horizontale de fluide d'extension infinie est chauffée dans sa partie inférieure, le fluide subit des mouvements convectifs et son comportement peut être décrit, après quelques hypothèses simplificatrices, par trois équations différentielles ordinaires, appelées équations de Lorenz :

$\frac{dx}{dt}=Pr(y-x)$
$\frac{dy}{dt}=rx-xz-y$
$\frac{dz}{dt}=xy-bz$

Paramètres

Pr est le nombre de Prandtl qui exprime le rapport de la viscosité cinématique à la diffusivité thermique. Lorsque Pr=1, le taux d'échange de quantité de mouvement par diffusion entre filets fluides est égal au taux d'échange de chaleur. r est directement lié à la différence de température appliquée au fluide en convection et constitue le paramètre de bifurcation. b est lié aux dimensions de la couche de fluide, plus précisément au rapport hauteur/largeur de la couche. De nombreux travaux ont été effectués avec les valeurs initialement adoptées par Lorenz, soit Pr=10, b=8/3 et r positif variable.

Nous avons réalisé avec Mathematica une animation donnant la trajectoire suivie par une particule décrivant l'attracteur de Lorenz. Le son, également généré avec Mathematica, renseigne sur la localisation de la particule - tonalité mineure lorsqu'elle se trouve sur l'aile gauche et majeure lorsqu'elle est sur l'aile droite. La « hauteur » de la « mélodie » renseigne sur la vitesse de la particule.

Données utilisées pour la simulation

{x0, y0, z0} = {-5.72, -9.86, 14.49}; tinit = 0; (* temps initial *)
tfinal = 19.4;(* durée de la simulation *)
Δt = 0.1;(* pas *)
b = 8/3;
Pr = 10;
r = 28.75;

Activités proposées
– Résolvez les équations de Lorenz.
– Dessinez la trajectoire correspondant à la solution.
– Réalisez une animation sur cette trajectoire.
– Construisez un son qui renseigne sur le mouvement obtenu.

Voir aussi : Lorenz Attractor from Wolfram Demonstrations Project.

Wolfram Demonstrations Project : mode d'emploi

[1] Bly, S. A., Presenting Information in Sound. Proceedings of the CHI'82 Conference on Human Factors in Computer Systems. pp. 371-375,1982.

[2] Merzich, J. J., Frysinger, S. and Slivjanowski, R., Dynamic Representation of Multivariate Time Series Data, Journal of the American Statistical Association, 79 (385), 1984, 34-40

Le problème de la brachistochrone

bernard.vuilleumier — 2006-06-19T21:35:41Z

Thibault Acolas qui réalise un travail sur les propriétés temporelles des cycloïdes m'a posé quelques questions. Cet article essaie d'apporter des éléments de réponse à ces questions.

– Les solutions apportées par de L'Hospital, Newton et Leibniz au problème de la brachistochrone sont-elles les mêmes que celles d'Euler Lagrange et de Jean Bernoulli ?

La solution du problème de la brachistochrone est unique. Il s'agit d'un arc de cycloïde dont l'extrémité « haute » possède une tangente verticale. Je n'ai pas vu les solutions apportées par les différents auteurs dans les textes originaux mais celles de de L'Hospital et Newton n'utilisent certainement pas la notation mathématique actuelle. Celle de Leibniz en revanche pourrait être plus proche de ce que nous connaissons aujourd'hui car, en 1686 déjà, il écrit l'équation de la cycloïde dans une notation voisine de la notation actuelle.

– Que fait au juste le calcul différentiel dans ce problème et qu'apporte le calcul des variations ?

Le calcul différentiel s'appuie sur des différences pour lesquelles Leibniz a inventé un langage universel et un symbolisme approprié. Partant de suites, Leibniz utilise x pour représenter l'ordre des termes et y la valeur de chacun des termes. L'idée fondamentale de ce calcul est d'obtenir un rapport de différences $\frac{dy}{dx}$ lorsque dx devient très petit. Le problème de la brachistochrone fait intervenir le calcul différentiel et intégral pour calculer un temps de parcours et un calcul des variations pour trouver la valeur minimale de l'intégrale qui donne ce temps de parcours.

– D'où vient l'équation d'Euler Lagrange ?

L'équation d'Euler Lagrange peut s'établir à partir du postulat de Hamilton qui affirme que le mouvement d'un système conservatif depuis l'instant $t_1$ jusqu'à l'instant $t_2$ est tel que la variation de l'intégrale de ligne $I=\int_{t_1}^{t_2}Ldt$ où L est le lagrangien du système, est égale à zéro. Le principe de Hamilton est à la fois une condition nécessaire et suffisante pour l'équation d'Euler Lagrange.

– Quelle est l'interprétation géométrique de l'angle $\theta$ dans les équations paramétriques de la cycloïde ?

L'angle $\theta$ s'interprète facilement si on considère la cycloïde comme la trajectoire d'un point d'un cercle de rayon r roulant sur un plan. En écrivant les équations horaires pour le mouvement du centre du cercle h₁(t) et pour la rotation du point autour de ce centre h₂(t), on obtient l'équation horaire du point h(t) qui est équivalente aux équations paramétriques de la cycloïde :

h1[t_] := {v*t, r} h2[t_] := r{Cos[omega*t + phi], Sin[omega*t + phi]} h[t_] := h1[t] + h2[t]

N. B. L'angle $\phi$ permet de fixer la position initiale du point suivi.

L'angle $\theta$ est l'angle formé par la rayon du cercle avec la verticale.

Cercle roulant sur un plan

Le point du cercle initialement en contact avec le plafond décrit une cycloïde lorsque le cercle roule. L'angle $\theta$ est l'angle entre le rayon du cercle aboutissant à ce point et la verticale. Dans cet exemple, $\phi$ vaut $\frac\pi2$ et $\theta$ varie de 0 à $\pi$

Instructions Mathematica permettant de réaliser une animation

r = 1; (* rayon d cercle *) d = 1; (* distance au centre du point suivi *) v = 1; (* vitesse linéaire du \ cercle *) omega = v/r; (* vitesse angulaire du cercle *) phi = Pi/2; (* angle initial du rayon reliant ce point *) tmin = 0; tmax = 2Pi; deltat = tmax/10; ps = 0.02; (* PointSize *) n = 8; (* facteur de PointSize pour le PlotRange *) r1 = 0.005; (* longueur des traits *) r2 = 0.02;(* longueur des blancs *) h1[t_] := {v*t, r} h2[t_] := d{Cos[omega*t + phi], Sin[omega*t + phi]} h[t_] := h1[t] + h2[t] traj = ParametricPlot[h[t], {t, tmin, tmax}, Axes -> None, PlotStyle -> \ Dashing[{r1, r2}], DisplayFunction -> Identity]; coord = Table[h[t], {t, tmin, tmax, deltat}]; pts = Map[Point, coord]; centres = Table[h1[t], {t, tmin, tmax, deltat}]; rayons = Table[r, {(tmax - tmin)/deltat + 1}]; cercles = MapThread[Circle, {centres, rayons}, 1]; Table[Show[ traj, Graphics[{PointSize[ps], {Hue[1], pts[[i]], Line[{coord[[i]], centres[[i]]}]}, cercles[[i]]}], AspectRatio -> Automatic, PlotRange -> {{0 - Max[d, r] - n*ps, v*tmax + Max[d, r] + n*ps}, {-Abs[d - r] - n*ps, Max[ 2d, 2r] + n*ps}}, DisplayFunction -> $DisplayFunction], {i, Length[ pts]}]

Pour en savoir plus
– Robert Ferréol, Courbe brachistochrone
– Paul Kunkel, The Brachistochrone
– Serge Mehl, Brachistochrone et calcul des variations

Voir en ligne : Le Pendule Cycloïdal

La gamme de Shepard

2005-09-29T21:28:19Z

Il existe en acoustique une illusion comparable à l'escalier d'Escher : c'est la gamme de Shepard. En l'écoutant, on perçoit une suite de notes dont la tonalité s'élève ou s'abaisse indéfiniment.

Etapes de construction de la gamme de Shepard
– Définir une fonction qui génère une note de fréquence $\nu_0$ lorsque l'argument vaut 0 et une note située une octave plus haut lorsqu'il vaut 1.
– Obtenir les notes de la gamme tempérée à partir de cette fonction.
– Ajouter à chaque note quatre harmoniques.
– Ajuster convenablement - c'est le secret de l'illusion - l'amplitude de ces harmoniques.
– Créer une boucle qui joue les notes et leurs harmoniques.

N. B. L'amplitude des harmoniques de chaque note est donnée sur les graphiques de l'animation ci-dessous en fonction de la fréquence qui est reportée en abscisse sur une échelle logarithmique. Pour une description plus détaillée voir la lettre n° 22 du Club Math.

Gamme de Shepard : amplitude des fréquences de chaque note en ordonnée en fonction de la fréquence en abscisse (échelle logarithmique).

Voir aussi : Shepard Tones from Wolfram Demonstrations Project

Wolfram Demonstrations Project : mode d'emploi

La découverte de l'effet papillon par Edward Lorenz

bernard.vuilleumier — 2005-09-14T13:09:01Z

« Au cours de notre travail, nous décidâmes d'examiner l'une des solutions de manière plus détaillée ; nous prîmes des données intermédiaires qui avaient été imprimées par l'ordinateur et les introduisîmes comme nouvelles données initiales. A notre retour, une heure plus tard, après que l'ordinateur eut simulé environ deux mois de temps, nous découvrîmes qu'il était en désaccord total avec la solution qu'il avait fournie antérieurement. Notre première réaction fut de suspecter une panne de machine, ce qui n'avait rien d'inhabituel, mais nous comprîmes rapidement que ces deux solutions n'émanaient pas de données identiques. L'ordinateur faisait les calculs avec six décimales mais n'en imprimait que trois, si bien que les nouvelles conditions initiales étaient égales aux anciennes, plus de petites perturbations. Ces perturbations s'amplifiaient exponentiellement, doublant tous les quatre « jours » du temps simulé, si bien qu'au bout de deux mois les solutions allaient chacune de leur côté. J'en conclus immédiatement que, si les véritables équations régissant l'atmosphère se comportaient comme ce modèle, il serait impossible de faire des prévisions météorologiques détaillées à long terme. »

Citation d'Edward Lorenz

Attracteur de Lorenz : évolution d'un même système pour des conditions initiales arbitrairement voisines.

Activité proposée
– Réaliser une animation illustrant la sensibilité aux conditions initiales.

Voir aussi : Lorenz Attractor from Wolfram Demonstrations Project.

Wolfram Demonstrations Project : mode d'emploi

Voir en ligne : voir l'article « Le moulin à eau de Lorenz » par Étienne Ghys et Jos Leys

Simuler le mouvement d'une bille

2005-09-04T10:21:48Z

Dégager la physique du problème

En admettant que la bille sur la trajectoire y = f(x) subit trois forces, son poids m, une force de soutien normale au plan et une force de frottement opposée à la vitesse , écrivez l'expression donnant son accélération tangentielle et son accélération normale .

Définir une trajectoire

Définissez quelques trajectoires permettant de tester :
a) le nombre de tours effectués sur une trajectoire de courbure constante (cercle)
b) le nombre de tours effectués lorsque la courbure de la trajectoire n'est pas constante
c) la conservation de l'énergie

Présenter les données spatiales

Établissez les graphiques donnant :
a) la vitesse du mobile en fonction de sa position sur l'axe x.
b) l'accélération tangentielle du mobile en fonction de sa position sur l'axe x.
c) l'accélération normale du mobile en fonction de sa position sur l'axe x.
d) la composante de l'accélération du mobile en fonction de sa position sur l'axe x.

Établir un lien entre l'espace et le temps

Écrivez l'équation différentielle qui établit le lien entre les données spatiales et temporelles.
Résolvez numériquement cette équation et établissez les graphiques donnant l'abscisse et l'ordonnée du mobile en fonction du temps.

Réaliser une simulation

Utilisez la solution de l'équation différentielle pour réaliser une simulation qui permet de visualiser le mouvement d'un corps solide (bille, cylindre, anneau) sur une trajectoire en laissant à l'utilisateur le choix de :
• la forme et l'étendue de la trajectoire y = f(x)
• l'intensité de la gravitation
• la position initiale du corps
• la grandeur et le sens de la vitesse initiale du corps
• le rayon r, la masse volumique ρ et le moment d'inertie I du corps
• la durée et le nombre d'images de l'animation.

Voir l'article Images

Simuler le mouvement d'un mobile sur une cycloïde

2005-09-04T08:57:16Z

Soit une courbe c - que nous supposerons sans boucle, continue et dérivable - donnée sous forme paramétrique : c(u) = e(u), f(u) = x, y. Cette courbe passe par les deux points
c() = e(), f() et c() = e(), f() que nous noterons plus brièvement (, ) et (, ). Dessinez la courbe c(u) = e(u), f(u) = u - sin(u), cos(u) - 1 pour 0 ≤ u ≤ π et les deux points extrêmes c(0) = (0, 0 )et c(π) = (π, -2).

Conservation de l'énergie mécanique

Considérons un mobile ponctuel de masse m glissant sans frottement sur cette courbe sous l'effet de la gravitation g. Établissez l'expression donnant la vitesse du mobile lorsqu'il se trouve en un point (, ) de la courbe si sa vitesse en (, ) est nulle et si <

Piste et trajectoire du centre de masse

Considérons une bille de rayon r roulant sans glisser sur cette courbe sous l'effet de la gravitation g. Donnez l'expression de la trajectoire du centre de masse de la bille et dessinez la « piste » ainsi que la trajectoire du centre de masse.

Les deux mobiles atteignent le fond de la cuvette en même temps, quels que soient leurs points de départ.

Simulez le mouvement sur cette piste sous l'effet de la gravitation g :
• d'une bille ponctuelle glissant sans frottement ;
• d'une bille de rayon r roulant sans glisser ;
• d'une bille de rayon r subissant différents types de frottements.
Comparez dans chaque cas les temps de descente pour différents points de départ.

Brachistochrone

Comparez les temps de descente sur différentes courbes passant par les deux points .

Voir l'article Le lièvre et la tortue