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Réaction chimique oscillante

bernard.vuilleumier — 2017-02-07T15:00:00Z

Belousov découvrit en 1958 que l'oxydation de l'acide citrique par le bromate de potassium catalysé par des ions céreux-cériques pouvait donner lieu à une réaction chimique oscillante et Zhabotinski poursuivit cette étude [1]. La réaction de Belousov Zhabotinski s'étudie d'habitude à 25 °C et consiste en un mélange comportant du bromate de potassium, de l'acide malonique ou bromomalonique et du sulfate cérique dissous dans l'acide sulfurique. Elle peut donner lieu à une grande variété de phénomènes allant des oscillations d'une période de quelques dizaines de secondes à l'apparition de phénomènes ondulatoires. Modélisation de la réaction.

Idealized Belousov-Zhabotinsky Reaction from the Wolfram Demonstrations Project by Luca Zammataro

Le modèle

Notations

Nous proposons un modèle permettant de simuler l'évolution des concentrations des trois substances principales, concentrations que nous désignerons de la manière suivante :

X =[HBrO₂] Y =[Br^-] Z =2[Ce⁴⁺]

Écrivons encore :

A=B=[BrO₃^-]

Schéma réactionnel

Le mécanisme de Noyes [2] peut alors s'exprimer par les étapes suivantes :

A+Y$\rightarrow$X X+Y$\rightarrow$P B+X$\rightarrow$2X+Z 2X$\rightarrow$Q Z$\rightarrow$Y

Ce schéma réactionnel, appelé « Oregonateur », comporte un mécanisme de catalyse croisée : Y produit X, X produit Z qui en retour produit Y.

Équations différentielles correspondant au schéma réactionnel

En examinant où chaque substance apparaît ou disparaît dans le schéma réactionnel, en admettant une variation proportionnelle aux concentrations en présence et en posant A=B, on établit les équations différentielles :

$\frac{dX}{dt}=AY+AX-XY-X^2$ $\frac{dY}{dt}=Z-AY-XY$ $\frac{dZ}{dt}=AX-Z$

Diagramme Stella traduisant les équations différentielles

Les équations différentielles se traduisent aisément en un diagramme Stella qui met ici en évidence le mécanisme de catalyse croisée :

Oregonateur

Le diagramme Stella met bien en évidence le mécanisme de catalyse croisée : Y produit X, X produit Z qui produit Y.

Constantes cinétiques et paramètre d'ajustement

Pour simuler une réaction oscillante, nous introduisons les constantes cinétiques $k_i$ et un paramètre d'ajustement f dans les équations [3] :

$\frac{dX}{dt}=k_1AY-k_2XY+k_5AX-2k_6X^2$ $\frac{dY}{dt}=-k_1AY-k_2XY+fk_7Z$ $\frac{dZ}{dt}=k_5AX-k_7Z$

En résolvant ces équations et en reportant les concentrations X, Y et Z en fonction du temps, on fait alors clairement apparaître des oscillations :

Oscillation des concentrations en fonction du temps

Avec un choix judicieux des concentrations initiales X₀, Y₀, Z₀, des constantes cinétiques k_i et du paramètre d'ajustement f, on fait apparaître des oscillations.

Concentrations initiales, constantes cinétiques et paramètre f

INIT X = 0.25
flux_X = k1*A*Y+k5*A*X-k2*X*Y-2*k6*X^2 INIT Y = 2.1
flux_Y = f*k7*Z-k1*A*Y-k2*X*Y INIT Z = 0.83
fluy_Z = k5*A*X-k7*Z A = 1
f = 1
k1 = 0.05
k2 = 0.8
k5 = 1.58
k6 = 0.2
k7 = 0.4

Utiliser un simulateur de la réaction

Conclusion

Ce type de réaction illustre le fait que le comportement thermodynamique d'un système peut être très différent loin de l'équilibre et à l'opposé de celui prévu par le théorème de production minimale d'entropie établi par Prigogine [4]. Le non-équilibre peut être une source d'ordre.

Voir aussi (from Wolfram Demonstrations Project)
– Complex Dynamics in Chemical Self-Replication
– Idealized Belousov Zhabotinsky Reaction

Wolfram Demonstrations Project : mode d'emploi

Voir en ligne : réaction oscillante de Briggs-Rauscher (vidéo You Tube)

[1] voir Nicolis, G. et Prigogine, I., 1977, Self-organization in non-equilibrium systems, New-York, Wiley.

[2] Noyes, R. M. et Field, R. J.. 1974, Ann. Rev. Phys. Chem. 25, 95.

[3] J'ai reproduit les équations que Florian Metzger du Lycée Fabert de Metz m'a fournies en me demandant si je connaissais des conditions initiales et des valeurs des constantes k et du paramètre f qui permettent d'obtenir des oscillations.

[4] Prigogine, I. 1945, Ac. Roy. Belg., Bull. Cl. Sci. 31, 600.

Caractéristiques techniques d'un véhicule

Yannis Pieraggi — 2007-01-28T07:45:50Z

Dans cet article, je tâcherai de modéliser le comportement d'une voiture en mouvement, en prenant compte des caractéristiques du constructeur.

Avant de commencer, il faut choisir une voiture. J'ai utilisé les données techniques d'une BMW M3-E46 CSL, quitte a choisir une voiture, autant en prendre une qui soit prestigieuse.

Je commencerai par construire un modèle simple en deux dimensions, avec l'accélération de la voiture définie comme la somme des forces divisée par la masse. Après je rajouterai la force de frottement et je changerai la vitesse en kilomètres par heure au lieu des mètres par seconde.

les caractéristiques fournies par le constructeur

Cx = 0.33 Hauteur = 1.352 (m) Largeur = 1.78 (m) Masse = 1 395 (kg) Puissance (en chevaux) = 360 (cx)

Vitesse maxi : 250 km/h à 6 400 tr/min De 0 à 100 km/h : 4,8 secondes De 0 à 1.000 mètres : 23,8 secondes

Nous prendrons donc le cas d'une voiture, démarrant à l'arrêt, donc en position nulle, dont la vitesse et l'accélération sont nulle. Nous nous pencherons sur sa vitesse, son accélération ainsi que sa position au cours du temps. Les caractéristiques techniques de la voiture (dimensions, puissance, ...) nous sont fournies par le constructeur. Nous utiliseront l'intégrateur numérique STELLA pour construire un modèle et obtenir des sorties graphiques.

– Les conditions initiales de la voiture sont donc $v=0, a =0, x=0$

– Note : masse volumique de l'air $\rho=1.293kg/m^3$

Le modèle

Nous savons que l'accélération d'un objet (ici d'une voiture) dépend de la force résultante divisée par la masse. Pour l'instant le modèle ne comporte pas encore la force de frottement, je la rajouterai dans le modèle suivant. Il y a seulement la force de traction de la voiture.

$\vec{a}=\frac{\vec{F}_r_e_s}{masse}$

Pour définir l'accélération d'un mobile, on utilise la force de traction et la masse du véhicule. L'accélération est donc la somme des force (ici simplement la force de traction) divisée par la masse.

– Afin d'exprimer les chevaux en watt, il faut multiplier les chevaux par 736 (l'on passe des chevaux a la puissance) puis diviser cette puissance obtenue par la vitesse du véhicule plus 20, afin d'éviter que la force de traction soit nulle si la vitesse est égale à 0 (ici l'ont passe de la puissance à la force de traction).

$F_t_r_a_c_t_i_o_n=\frac{chevaux \times736}{vitesse+20}$

Il s'agit du modèle le plus simple, parce qu'il ne prend pas en compte la force de frottement. Mais sans la force de frottement l'accélération de la voiture est constante et n'arrête pas d'augmenter et tend vers l'infini, de même que la vitesse qui augmente sans fin, parce que la voiture n'est pas freinée pas la force de frottement.

Ajout de la force de frottement au modèle

Une fois ce modèle construit, on peut rajouter la force de frottement. Comme la force de traction est une force qui tire la voiture vers l'avant (le mot "traction" vient de tracter, d'ailleur cette BMW est une traction, bien que dans le cas des voitures à propulsion, on devrait logiquement appeller cela la force de propulsion) la force de frottement est une force qui freine la voiture, et qui se soustrait donc à la force de traction. Je rappelle juste que pour définir l'accélération. il s'agit de la résultante des forces, donc la force de traction moins la force de frottement, le tout divisé par la masse du véhicule.

$F_f_r_o_t_t_e_m_e_n_t=\frac{1}{2} \times C_x \times S \times rho \times v^2$

– La force de frottement dépend du coefficient de pénétration (Cx), du de la masse volumique du milieu (rho), de la section apparente (S), qui est la hauteur fois la largeur du véhicule, et du carré de la vitesse (v au carré).

Construisons donc ceci :

– Afin de passer des mètres par seconde au kilomètres par heure (qui reste quand même une unité plus pratique), il faut multiplier la vitesse par 3,6.

Et voila le modèle final !

Données techniques

Position_X(t) = Position_X(t - dt) + (Flux_vitesse) * dt INIT Position_X = 0 INFLOWS: Flux_vitesse = Vitesse Vitesse(t) = Vitesse(t - dt) + (Accélération) * dt INIT Vitesse = 0 INFLOWS: Accélération = (Traction-Force_de_frottement)/Masse Cx = 0.33 Force_de_frottement = 0.5*Cx*rho*S*Vitesse^2 Hauteur = 1.352 Largeur = 1.78 Masse = 1395 Puissance = Puissance_en_CV*736 Puissance_en_CV = 360 rho = 1.293 S = Largeur*Hauteur Traction = Puissance/(Vitesse+20) vitesse_en_kmh = Vitesse*3.6

Le résultat sous forme graphique

Performances de la BMW M3-E46 CSL selon STELLA

Cette voiture met 5.08 s pour passer de 0 à 100 km/h

Sa vitesse maximale est 266.62km/h et elle l'atteint au bout de 119.99 s soit 1 minute et 59.99 s

Elle met 23.27 s pour faire 1000m

données constructeur

Vitesse maxi : 250 km/h à 6 400 tr/min {{(limité)}} De 0 à 100 km/h : 4,8 secondes De 0 à 1.000 mètres : 23,8 secondes

En résumé

Nous pouvons donc dire que notre précision est bonne, sans être exceptionnelle. Notre manque de précision comparé aux données du constructeur est dû a certaines forces qui ont été simplifiées (comme prendre l'aire d'un rectangle pour la surface d'une face avant de voiture, ce n'est pas très précis), ou d'autres forces qui n'ont pas été prises en compte (telles que la force de frottement des pneus et de la route, etc ...) De plus sur le site ou figure les données constructeur, les mesures sont souvent revues à la hausse, afin de promouvoir les performances de la voiture.

Mais en fin de compte notre simulation est juste et la précision est acceptable.

Forces exercées sur une masse accrochée à un ressort

bernard.vuilleumier — 2006-09-30T14:38:37Z

Une masse accrochée à un ressort constitue un oscillateur harmonique. Dans ce système, la masse est soumise à deux forces : son poids et la force de rappel due au ressort. Par un choix judicieux de l'origine de l'axe qui repère la position de la masse, il est possible de « neutraliser » la contribution du poids. L'examen du système peut alors se faire en considérant uniquement la force de rappel exercée sur la masse par le ressort lorsqu'elle s'écarte de sa position d'équilibre.

Considérons un ressort accroché au plafond. Suspendons une masse à l'extrémité libre du ressort et lâchons-la. Nous avons un oscillateur harmonique.

Oscillateur harmonique

Animation réalisée avec Mathematica et tirée de VisualDSolve de Stan Wagon.

Repérons la position de la masse depuis deux systèmes de référence.

l'origine 0 du premier système coïncide avec l'extrémité libre du ressort « à vide » et l'axe Oy est vertical orienté vers le haut.
l'origine 0 de second système coïncide avec la position d'équilibre de la masse accrochée au ressort et l'axe Oh est vertical orienté vers le haut.

Repérage de la masse depuis deux systèmes de référence

À gauche, l'origine de l'axe coïncide avec l'extrémité libre du ressort. À droite, l'origine de l'axe coïncide avec la position d'équilibre de la masse.

Accélération de la masse

Dans le premier système, si on accroche la masse au ressort, son accélération vaudra -g-ky/m
Dans le deuxième, son accélération est donnée par -kh/m.

En faisant coïncider l'origine de l'axe qui repère la masse avec sa position d'équilibre, on annule les forces qui agissent sur elle lorsqu'elle se trouve dans cette position (le poids est compensé par la force de rappel). La force exercée sur la masse pour n'importe quelle autre position ne dépend alors plus que de l'écart par rapport à cette position d'équilibre.

Premier modèle

L'origine de l'axe qui repère la position de la masse oscillante coïncide avec l'extrémité libre du ressort.

Modèle simulant le mouvement d'un oscillateur harmonique

Équations du modèle

INIT v = 0 a = -g-k*y/m INIT y = 0 flux_y = v Ecin = m*v^2/2 Eelastique = k*y^2/2 Emec = Ecin+Eelastique+Epot Epot = m*g*y g = 9.8 k = 100 m = 0.5

Résultats

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse

La somme de l'énergie cinétique, élastique et potentielle est constante et correspond à l'énergie mécanique du système qui vaut ici 0 J.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse : la somme de l'énergie cinétique, élastique et potentielle est constante et correspond à l'énergie mécanique du système

Deuxième modèle

L'origine de l'axe qui repère la position de la masse oscillante coïncide avec sa position d'équilibre.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse

La somme de l'énergie cinétique de la masse et élastique du ressort est constante et est égale à l'énergie mécanique du système qui diffère de celle obtenue dans le premier modèle.

Équations du modèle

INIT v = 0 a = -k*h/m INIT h = 9.81*m/k flux_v = v Ecin = m*v^2/2 Eelastique = k*h^2/2 Emec = Ecin+Eelastique k = 100 m = 0.5

Résultats

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse

La somme de l'énergie cinétique de la masse et élastique du ressort est constante et est égale à l'énergie mécanique du système qui diffère de celle obtenue dans le premier modèle.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse : la somme de l'énergie cinétique de la masse et élastique du ressort est constante et est égale à l'énergie mécanique du système qui diffère de celle obtenue dans le premier modèle.

Pour les deux modèles

Run Spec: From: 0 To: 1 DT: 0.01 Integration Method: Runge-Kutta 4.

Conclusion

Les deux modèles permettent de vérifier que l'énergie mécanique du système est conservée. Le deuxième modèle, en faisant coïncider l'origine de l'axe avec la position d'équilibre de la masse permet de « neutraliser » la contribution du poids et simplifie le problème. La seule force qui agit alors sur la masse est une force de rappel proportionnelle à l'écart par rapport à cette position d'équilibre.

Voir aussi
– L'oscillateur harmonique
– Rotation et oscillation
– Oscillateur harmonique
– Le saut à l'élastique
– Saut à l'élastique, cas général
– Circuit électrique et oscillateur harmonique
– Oscillations
– Exercices sur les oscillations harmoniques

Tir avec frottement

bernard.vuilleumier — 2006-09-23T10:23:12Z

Lorsqu'on connaît les forces qui agissent sur un mobile, Stella permet d'obtenir, par intégration de l'accélération du mobile, sa vitesse et sa position en fonction du temps. Pour un projectile subissant, outre son poids, une force de frottement proportionnelle au carré de sa vitesse, il n'est pas possible d'exprimer l'horaire de la vitesse et de la position à l'aide de fonctions. Il faut intégrer numériquement la fonction donnant l'accélération pour obtenir ces horaires.

Le modèle

Modèle du tir avec frottement

L'accélération du mobile est définie à partir de ses composantes selon Ox et Oy. Un test sur le signe des composantes de la vitesse permet de fixer le signe des composantes de l'accélération due à la force de frottement, qui est toujours opposée à la vitesse.

Modèle du tir avec frottement. L'accélération du mobile est définie à partir de ses composantes selon Ox et Oy. Un test sur le signe des composantes de la vitesse permet de fixer le signe des composantes de l'accélération due à la force de frottement, qui est toujours opposée à la vitesse.

Définitions et valeurs numériques utilisées

INIT vx = v0*COS(alpha0) ax = IF vx >= 0 THEN -Fx/m ELSE Fx/m INIT vy = v0*SIN(alpha0) ay = IF vy >=0 THEN (-P-Fy)/m ELSE (-P+Fy)/m INIT x = 0 flux_vx = vx INIT y = 0 flux_vy = vy alpha0 = alpha0_en_degre/180*PI alpha0_en_degre = 38 C = 0.24 Fx = 0.5*rho*S*C*vx^2 Fy = 0.5*rho*S*C*vy^2 g = 9.81 m = 0.2 P = m*g r = 0.15 rho = 1.293 S = PI*r^2 v0 = 30

Résultats de la simulation

Points d'impact pour différents angles de tir

L'angle de tir varie de 36 à 40° par pas de 1°. Run specs : From : 0 To : 5 s. DT : 0.005 s. Integration Method : Runge-Kutta 4,

Points d'impact pour différents angles de tir. L'angle de tir varie de 36 à 40° par pas de 1°. Run specs : From : 0 To : 5 s. DT : 0.005 s. Integration Method : Runge-Kutta 4.

La portée maximale vaut environ 28.06 m pour un angle de tir de 38°.

Portée du tir

Angle de tir : 38°. Vitesse initiale : 30 m/s. Masse du ballon : 200 g. Rayon du ballon : 15 cm.

Portée du tir. Angle de tir : 38°. Vitesse initiale : 30 m/s. Masse du ballon : 200 g. Rayon du ballon : 15 cm.

Mouvement dans un référentiel tournant

bernard.vuilleumier — 2006-09-18T08:03:14Z

Pour rendre compte des mouvements observés dans un référentiel tournant, il faut modifier les lois de la mécanique car ce référentiel n'est pas galiléen. Il suffit d'introduire, en plus des forces réelles, des forces fictives, qu'on appelle forces d'inertie.

Observations
– Observez attentivement la séquence vidéo du carrousel
– Estimez le plus précisément possible les grandeurs suivantes :

dimensions et vitesse angulaire du carrousel
positions et vitesses initiales des différents mobiles sur le carrousel
distances parcourues par les mobiles et temps de parcours
positions finales.

– Dessinez quelques trajectoires observées dans le système lié au carrousel.

Questions
– Quelles sont les forces qui agissent sur le mobile ?
– Dessinez, pour quelques positions, ces différentes forces et leur résultante.
– Dessinez un système d'axes orthonormés Oxy attaché au carrousel.
– Exprimez les composantes de l'accélération du mobile selon Ox et Oy.

Construction d'un modèle
– Construisez la « carte » STELLA illustrant les relations entre les composantes des vecteurs accélération, vitesse et position.
– Définissez les relations entre les différents éléments de votre modèle :

en négligeant la force de frottement qui agit sur le mobile
en tenant compte d'une force de frottement proportionnelle à sa vitesse.

Simulation
– Introduisez les valeurs numériques estimées lors de l'observation.
– Simulez différents mouvements (sans et avec frottement).
– Comparez les résultats de vos simulations à vos observations.

N. B. Pour faire apparaître et utiliser une mini-application dans cette fenêtre, vous devez installer Wolfram CDF Player sur votre poste.

Forces de frottement

2006-03-21T21:06:32Z

Les problèmes de dynamique faisant intervenir des forces de frottement dues à l'air donnent lieu à des équations différentielles non linéaires qui doivent être résolues numériquement. Stella, qui est un intégrateur numérique, est particulièrement bien adapté à cette tâche.

Exercice 1

Un cycliste d'une masse totale de 80 kg roule sur une route horizontale à la vitesse v=15 m/s. Il arrête de pédaler. Il est alors soumis à une force de frottement due à l'air F_air=0.3 v² et à une force de frottement de contact F_contact égale à 2% de son poids.
– Etablissez les graphiques donnant la position, la vitesse et l'accélération du cycliste en fonction du temps.
– Quelle distance franchit-il sur la route horizontale avant de s'arrêter ?

Exercice 2

Un projectile de 80 kg est lancé en l'air verticalement vers le haut. Il est soumis à deux forces : son poids dirigé vers le bas et une force de frottement, due à l'air, opposée au sens de déplacement. Le coefficient de proportionnalité entre la force de frottement et le carré de la vitesse vaut 0.3 kg/m.
– Quelle altitude le projectile atteint-il ?
– Combien de temps met-il pour atteindre le point le plus haut ?
– Combien de temps met-il pour redescendre ?

Exercice 3

Un constructeur fournit les données suivantes pour une voiture :

Caractéristiques techniques
Puissance	325 chevaux
Longueur	443 cm
Largeur	180 cm
Hauteur	131 cm
Cx	0.29
Poids	1510 kg

– Calculez le temps nécessaire à cette voiture pour :

atteindre la vitesse de 100 km/h
atteindre la vitesse de 160 km/h
franchir 400 m départ arrêté
franchir 1000 m départ arrêté.

– Quelle est la vitesse maximale de cette voiture ?

Caractéristiques techniques d'un véhicule

2006-03-07T21:59:49Z

Les constructeurs d'automobiles fournissent des données techniques pour les véhicules qu'ils fabriquent. Ces données comportent en général la puissance et le couple maximum du moteur, les dimensions, le coefficient de forme et la masse du véhicule. Ces données permettent de calculer les performances du véhicule - temps nécessaire pour atteindre une certaine vitesse et pour franchir une certaine distance depuis l'arrêt, vitesse maximale. Il est intéressant de comparer les performances annoncées par le constructeur aux résultats obtenus à l'aide d'un modèle.

Exemple de caractéristiques techniques fournies par un constructeur :

Caractéristiques techniques
Puissance	200 chevaux à 6800 tr/min
Couple	245 Nm à 4000 tr/min
Longueur	488 cm
Largeur	182 cm
Hauteur	142 cm
Cx	0.32
Poids	1600 kg

Le constructeur donne, pour ces caractéristiques, les performances suivantes :

Performances
Vitesse max	228 km/h
0 à 100 km/h	9.3 s
0 à 160 km/h	21.8 s
400 mètres DA	17 s
1000 mètres DA	30.5 s

– Construisez un modèle permettant d'obtenir, en fonction du temps :

la distance parcourue par le véhicule
la vitesse du véhicule
l'accélération du véhicule.

– Comparez les résultats obtenus aux performances annoncées.
– L'accord entre ces résultats et les performances annoncées est-il bon ?
– Commentez les éventuelles différences que vous pourriez constater.

Rencontre d'un projectile et d'une cible mobile

Pascal Rebetez — 2006-03-04T18:35:14Z

Une cible initialement immobile dont l'abscisse x_0c peut être choisie se trouve à une certaine altitude. On souhaite l'atteindre depuis le sol à l'aide d'un projectile dont la position initiale coïncide avec l'origine du système d'axes Oxy. Sous quel angle et à quelle vitesse initiale v₀ faut-il lancer ce projectile pour atteindre la cible ?
N. B. Pour faire apparaître et utiliser une mini-application dans cette fenêtre, vous devez installer Wolfram CDF Player sur votre poste.

Parabolic Projectile Motion : Shooting a Harmless Tranquilizer Dart at a Falling Monkey from the Wolfram Demonstrations Project by Roberto Castilla-Meléndez

Il est possible de rendre compte de différentes manières du fait que, si la sarbacane vise la position initiale de la cible, le projectile l'atteint, quelle que soit sa vitesse initiale. Le modèle proposé ici permet une approche « expérimentale » de cette situation. L'utilisateur peut simuler le mouvement du projectile et de la cible (qui se rencontrent toujours) et obtenir les horaires des deux mobiles. Une fois qu'il a choisi un angle de tir, une vitesse initiale et éventuellement l'abscisse de la cible, le programme calcule son altitude. La simulation permet alors d'obtenir les horaires de la vitesse et de la position selon Ox et Oy des deux mobiles. Ces horaires peuvent être utilisés pour mettre en évidence les conditions nécessaires à une rencontre et illustrer les liens réciproques qui existent entre position, vitesse et accélération.

Pour atteindre la cible, il faut viser sa position initiale. La vitesse initiale du projectile est indifférente.

Le modèle

Modèle permettant d'obtenir les horaires du projectile et de la cible

L'utilisateur peut choisir la vitesse initiale du projectile, l'angle de tir et éventuellement l'abscisse de la cible. Le projectile atteint la cible dans tous les cas.

Ce modèle permet d'obtenir les horaires du projectile et de la cible.
L'utilisateur peut choisir la vitesse initiale du projectile, l'angle de tir et éventuellement l'abscisse de la cible. Le projectile atteint la cible dans tous les cas.

Exemples d'horaires

N. B. Pour tous les gaphiques qui suivent, l'axe horizontal est l'axe temporel.

Horaires de la position sur Ox du projectile (en bleu) et de la cible (en rouge)

L'horaire de la position du projectile (en bleu) sur Ox est une droite passant par l'origine. L'horaire de la position de la cible (en rouge) sur Ox est une constante. Lorsque le projectile et la cible se rencontrent, ils occupent la même position sur Ox.

Les horaires de la position du projectile (en bleu) et de la cible (en rouge) sur Oy sont des paraboles. Lorsque le projectile et la cible se rencontrent, ils occupent la même position sur Oy.

Horaires des vitesses selon Ox du projectile (en bleu) et de la cible (en rouge)

Ce graphique montre que l'accélération des mobiles selon Ox est nulle (pente des droites).

Horaires des vitesses selon Oy du projectile (en bleu) et de la cible (en rouge)

On peut remarquer sur ce graphique que les deux mobiles ont la même accélération (pente des droites).

On peut remarquer sur ce graphique que les deux mobiles ont la même accélération (pente des droites).

Utilisation du modèle avec des élèves

Si le projectile atteint la cible, alors x_p=x_c et y_p=y_c. Une utilisation possible du modèle avec des élèves pourrait par exemple consister à leur demander de :
– simuler plusieurs tirs en variant les conditions initiales
– vérifier à l'aide des horaires de position du projectile et de la cible qu'il existe bien, pour chaque tir, un t positif tel que :

x_p(t)=x_c(t) et
y_p(t)=y_c(t)

– examiner les aires comprises entre les horaires de la vitesse selon Oy et l'axe temporel pour ce temps t (en comptant positivement l'aire située au-dessus de l'axe et négativement celle située au-dessous).

Vitesse de la cible selon Oy

L'horaire de la vitesse de la cible selon Oy délimite, avec l'axe t, une aire qui correspond à un parcours. Ce graphique permet donc de trouver la position de la cible si on connaît sa position initiale.

L'horaire de la vitesse de la cible selon Oy délimite, avec l'axe t, une aire qui correspond à un parcours. Ce graphique permet donc de trouver la position de la cible si on connaît sa position initiale.

Vitesse du projectile selon Oy

L'horaire de la vitesse du projectile selon Oy délimite, avec l'axe t une aire qui donne la position du mobile.

L'horaire de la vitesse du projectile selon Oy délimite, avec l'axe t une aire qui donne la position du mobile.

– vérifier que l'aire située entre v_yp(t) et l'axe t est égale à la somme algébrique de h et de l'aire située entre v_yc(t) et l'axe t.

Equations du modèle

vxc(t) = vxc(t - dt) + (axc) * dt INIT vxc = 0
axc = 0
vxp(t) = vxp(t - dt) + (axp) * dt
INIT vxp = v0p*COS(alpha)
axp = 0
vyc(t) = vyc(t - dt) + (ayc) * dt
INIT vyc = 0
ayc = -9.8
vyp(t) = vyp(t - dt) + (ayp) * dt
INIT vyp = v0p*SIN(alpha)
ayp = -9.8
xc(t) = xc(t - dt) + (flux_xc) * dt<
INIT xc = x_projectile_cible
flux_xc = vxc
xp(t) = xp(t - dt) + (flux_xp) * dt
INIT xp = 0
flux_xp = vxp
yc(t) = yc(t - dt) + (flux_yc) * dt
INIT yc = x_projectile_cible*TAN(alpha)
flux_yc = vyc
yp(t) = yp(t - dt) + (flux_yp) * dt
INIT yp = 0
flux_yp = vyp
alpha = angle_en_°/180*PI
angle_en_° = 60
v0p = 40
x_cible = 50 Run Specifications
From 0
To 6
DT 0.01
Runge-Kutta 2

Caractéristiques d'un véhicule

2006-02-12T10:26:43Z

Les constructeurs d'automobiles fournissent très souvent les caractéristiques techniques suivantes : puissance et couple du moteur, dimensions, coefficient de forme et masse du véhicule. Ils indiquent aussi les performances du véhicule : temps pour accélérer de 0 à 100 km/h, pour franchir 400 m et 1000 m départ arrêté et vitesse maximale. Ces performances peuvent être déduites des caractéristiques techniques.

Le modèle permettant d'obtenir la vitesse d'un véhicule et sa position lorsqu'on sait exprimer son accélération (qui n'est pas constante) en fonction du temps est très simple :

Modèle permettant d'obtenir la vitesse et la position à partir de l'accélération

Pour un mouvement à une dimension, la vitesse s'obtient en intégrant l'accélération et la position en intégrant la vitesse.

Modèle permettant d'obtenir la vitesse et la position à partir de l'accélération. Pour un mouvement à une dimension, la vitesse s'obtient en intégrant l'accélération et la position en intégrant la vitesse.

La vitesse s'obtient en « intégrant » l'accélération. Cette opération est réalisée par le flux a connecté au réservoir v. STELLA considère que la valeur de l'accélération qui se trouve dans le flux ne se modifie pas durant un intervalle dt. Il multiplie cette valeur par dt et place le résultat dans le réservoir v. Il met à jour la valeur de l'accélération, puis répète le processus jusqu'au temps final. Cela revient à approximer la surface qui se trouve sous la courbe donnant l'accélération en fonction du temps par celle de petits rectangles de hauteurs constantes de base dt :

Intégrer revient à trouver l'aire comprise entre la fonction et l'axe Ox.

Pour trouver une approximation de l'aire comprise entre la ligne bleue et l'axe horizontal, on peut remplacer la ligne par un escalier, calculer la surface de chaque petit rectangle et additionner toutes ces surfaces.

Intégrer revient à trouver l'aire comprise entre la fonction et l'axe Ox. Pour trouver une approximation de l'aire comprise entre la ligne bleue et l'axe horizontal, on peut remplacer la ligne par un escalier, calculer la surface de chaque petit rectangle et additionner toutes ces surfaces.

En plaçant le résultat de cette première intégration dans un flux, et en répétant le processus on réalise une deuxième intégration et on obtient la position x du véhicule en fonction du temps.

Relation fondamentale de la dynamique

C'est la relation fondamentale de la dynamique :

$\Sigma \vec F=m\vec a$

où $\Sigma \vec F$ représente la somme des forces qui agissent sur le mobile de masse m qui permet d'exprimer son accélération $\vec a$. Dans le cas d'un véhicule roulant sur une route horizontale, cette somme des forces résulte de la force de traction $\vec T$ et de la force de frottement $\vec F_{frott}$. La puissance permet d'exprimer la force de traction. La force de frottement due à l'air dépend de la vitesse du véhicule :

Modèle permettant d'obtenir les horaires du véhicule

La relation fondamentale de la dynamique permet d'exprimer l'accélération d'un mobile de masse m lorsqu'on connaît la résultante F des forces qui s'exercent sur lui.

Modèle permettant d'obtenir les horaires du véhicule : la relation fondamentale de la dynamique permet d'exprimer l'accélération d'un mobile de masse m lorsqu'on connaît la résultante F des forces qui s'exercent sur lui.

Le modèle permet d'obtenir les horaires du véhicule :

Horaires du véhicule

Position x (en m), vitesse (en km/h) et accélération a (en m/s²) en fonction du temps (en s).

Horaires du véhicule : position x (en m), vitesse (en km/h) et accélération a (en m/s²) en fonction du temps (en s).

Les performances calculées sont en bon accord avec celles indiquées par le constructeur.

Equations du modèle

- v(t) = v(t - dt) + (a) * dt - INIT v = 0 - a = (T-Ffrott)/m - x(t) = x(t - dt) + (flux_x) * dt - INIT x = 0 - flux_x = v - Cx = 0.32 - Ffrott = 0.5*rho*S*Cx*v^2 - m = 1600 - P = P_en_CV*736 - P_en_CV = 200 - rho = 1.293 - S = 1.82*1.42 - T = P/(v+16) - v_en_kmh = v*3.6 Run Specifications - From 0 - To 120 - DT 0.5 - Euler's Method

Simulation de l'expérience e/m

2006-02-06T22:16:38Z

L'expérience e/m permet de trouver le rapport charge/masse de l'électron à partir de la mesure du rayon de la trajectoire décrite par des électrons animés d'une vitesse v dans un champ magnétique B. Cette simulation donne le rayon de la trajectoire à partir des grandeurs mesurées et du rapport e/m.

Carte STELLA

Le modèle permet de simuler le mouvement des électrons accélérés par une tension U dans un champ magnétique B créé par des bobines de Helmholtz.

Le modèle permet de simuler le mouvement de particules chargées animées d'une vitesse verticale dans un champ magnétique horizontal et d'observer la projection de leur trajectoire dans le plan yz.

Attention Il faut adapter le temps de simulation et le pas à la situation !

Les équations du modèle

- vx(t) = vx(t - dt) + (ax) * dt - INIT vx = 0 - ax = 0 - x(t) = x(t - dt) + (flux_x) * dt - INIT x = 0 - flux_x = vx - vy(t) = vy(t - dt) + (ay) * dt - INIT vy = 0 - ay = q/m*vz*Bx - y(t) = y(t - dt) + (flux_y) * dt - INIT y = 0 - flux_y = vy - vz(t) = vz(t - dt) + (az) * dt - INIT vz = -v0z - az = -q/m*vy*Bx - z(t) = z(t - dt) + (flux_z) * dt - INIT z = 0 - flux_z = vz - Bx = 8*mu0*n*i/(5*SQRT(5)*Rbobine) Grandeur du champ magnetique au centre des bobines de Helmholtz (selon Ox) - i = 2.2 Intensite du courant dans les bobines de Helmholtz - m = 0.911*10^-30 Masse de la particule acceleree - mu0 = 4*PI*10^-7 Permeabilite du vide - n = 70 Nombre de spires par bobine - q = -1.6*10^-19 Charge de la particule acceleree (avec son signe) - Rbobine = 0.15 Rayon des bobines de Helmholtz - U = 250 Tension d'acceleration - v0z = (2*U*ABS(q)/m)^(1/2) Grandeur de la vitesse de la particule (selon Oz) Run Specifications - From 0 - To 1e-07 - DT 5e-10 - Runge-Kutta 4

Apprendre en ligne

Réaction chimique oscillante

Le modèle

Caractéristiques techniques d'un véhicule

les caractéristiques fournies par le constructeur

Le modèle

Ajout de la force de frottement au modèle

Données techniques

Performances de la BMW M3-E46 CSL selon STELLA

En résumé

Forces exercées sur une masse accrochée à un ressort

Repérage de la masse depuis deux systèmes de référence À gauche, l'origine de l'axe coïncide avec l'extrémité libre du ressort. À droite, l'origine de l'axe coïncide avec la position d'équilibre de la masse.

Modèle simulant le mouvement d'un oscillateur harmonique

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse La somme de l'énergie cinétique, élastique et potentielle est constante et correspond à l'énergie mécanique du système qui vaut ici 0 J.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse La somme de l'énergie cinétique de la masse et élastique du ressort est constante et est égale à l'énergie mécanique du système qui diffère de celle obtenue dans le premier modèle.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse La somme de l'énergie cinétique de la masse et élastique du ressort est constante et est égale à l'énergie mécanique du système qui diffère de celle obtenue dans le premier modèle.

Tir avec frottement

Modèle du tir avec frottement L'accélération du mobile est définie à partir de ses composantes selon Ox et Oy. Un test sur le signe des composantes de la vitesse permet de fixer le signe des composantes de l'accélération due à la force de frottement, qui est toujours opposée à la vitesse.

Points d'impact pour différents angles de tir L'angle de tir varie de 36 à 40° par pas de 1°. Run specs : From : 0 To : 5 s. DT : 0.005 s. Integration Method : Runge-Kutta 4,

Portée du tir Angle de tir : 38°. Vitesse initiale : 30 m/s. Masse du ballon : 200 g. Rayon du ballon : 15 cm.

Mouvement dans un référentiel tournant

Forces de frottement

Caractéristiques techniques d'un véhicule

Rencontre d'un projectile et d'une cible mobile

Horaires des vitesses selon Ox du projectile (en bleu) et de la cible (en rouge)

Horaires des vitesses selon Oy du projectile (en bleu) et de la cible (en rouge) On peut remarquer sur ce graphique que les deux mobiles ont la même accélération (pente des droites).

Vitesse de la cible selon Oy L'horaire de la vitesse de la cible selon Oy délimite, avec l'axe t, une aire qui correspond à un parcours. Ce graphique permet donc de trouver la position de la cible si on connaît sa position initiale.

Vitesse du projectile selon Oy L'horaire de la vitesse du projectile selon Oy délimite, avec l'axe t une aire qui donne la position du mobile.

Caractéristiques d'un véhicule

Modèle permettant d'obtenir la vitesse et la position à partir de l'accélération Pour un mouvement à une dimension, la vitesse s'obtient en intégrant l'accélération et la position en intégrant la vitesse.

Intégrer revient à trouver l'aire comprise entre la fonction et l'axe Ox. Pour trouver une approximation de l'aire comprise entre la ligne bleue et l'axe horizontal, on peut remplacer la ligne par un escalier, calculer la surface de chaque petit rectangle et additionner toutes ces surfaces.

$\Sigma \vec F=m\vec a$

Modèle permettant d'obtenir les horaires du véhicule La relation fondamentale de la dynamique permet d'exprimer l'accélération d'un mobile de masse m lorsqu'on connaît la résultante F des forces qui s'exercent sur lui.

Horaires du véhicule Position x (en m), vitesse (en km/h) et accélération a (en m/s2) en fonction du temps (en s).

Simulation de l'expérience e/m

Repérage de la masse depuis deux systèmes de référence

À gauche, l'origine de l'axe coïncide avec l'extrémité libre du ressort. À droite, l'origine de l'axe coïncide avec la position d'équilibre de la masse.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse

La somme de l'énergie cinétique, élastique et potentielle est constante et correspond à l'énergie mécanique du système qui vaut ici 0 J.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse

La somme de l'énergie cinétique de la masse et élastique du ressort est constante et est égale à l'énergie mécanique du système qui diffère de celle obtenue dans le premier modèle.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse

La somme de l'énergie cinétique de la masse et élastique du ressort est constante et est égale à l'énergie mécanique du système qui diffère de celle obtenue dans le premier modèle.

Points d'impact pour différents angles de tir

L'angle de tir varie de 36 à 40° par pas de 1°. Run specs : From : 0 To : 5 s. DT : 0.005 s. Integration Method : Runge-Kutta 4,

Portée du tir

Angle de tir : 38°. Vitesse initiale : 30 m/s. Masse du ballon : 200 g. Rayon du ballon : 15 cm.

Horaires des vitesses selon Oy du projectile (en bleu) et de la cible (en rouge)

On peut remarquer sur ce graphique que les deux mobiles ont la même accélération (pente des droites).

Vitesse de la cible selon Oy

L'horaire de la vitesse de la cible selon Oy délimite, avec l'axe t, une aire qui correspond à un parcours. Ce graphique permet donc de trouver la position de la cible si on connaît sa position initiale.

Vitesse du projectile selon Oy

L'horaire de la vitesse du projectile selon Oy délimite, avec l'axe t une aire qui donne la position du mobile.

Modèle permettant d'obtenir la vitesse et la position à partir de l'accélération

Pour un mouvement à une dimension, la vitesse s'obtient en intégrant l'accélération et la position en intégrant la vitesse.

Intégrer revient à trouver l'aire comprise entre la fonction et l'axe Ox.

Pour trouver une approximation de l'aire comprise entre la ligne bleue et l'axe horizontal, on peut remplacer la ligne par un escalier, calculer la surface de chaque petit rectangle et additionner toutes ces surfaces.

Modèle permettant d'obtenir les horaires du véhicule

La relation fondamentale de la dynamique permet d'exprimer l'accélération d'un mobile de masse m lorsqu'on connaît la résultante F des forces qui s'exercent sur lui.

Horaires du véhicule

Position x (en m), vitesse (en km/h) et accélération a (en m/s²) en fonction du temps (en s).