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Estimation de l'incertitude

bernard.vuilleumier — 2020-08-14T09:32:23Z

Le but du calcul d'erreur est d'évaluer l'incertitude sur un résultat à partir des incertitudes sur les grandeurs mesurées. Le résultat d'une expérience est en général lié par une fonction aux grandeurs mesurées. Si les incertitudes sont petites, l'accroissement total de la fonction peut être remplacé par sa différentielle totale, ce qui simplifie le calcul d'erreur.

Fonction avec sa différentielle pour un accroissement delta x

La différentielle de la fonction pour un accroissement delta x est donnée par delta u (en vert). En remplaçant la variation de la fonction par sa différentielle, on commet une erreur donnée par le petit segment rouge.

Fonction avec sa différentielle pour un accroissement Δx. La différentielle de la fonction pour un accroissement Δx est donnée par Δu (en vert). En remplaçant la variation de la fonction par sa différentielle, on commet une erreur donnée par le petit segment rouge.

Rotation d'une bille sur un rail

bernard.vuilleumier — 2014-01-25T11:38:10Z

Théorie

Une bille roulant sur un rail incliné subit trois forces : son poids $m\vec g$, une force de frottement $\vec F$ et une force de soutien $\vec N$ normale au plan. En projetant ces forces sur un axe parallèle au plan et en faisant usage de la relation fondamentale de la dynamique :

$\Sigma\vec F=m\vec a$

on obtient la grandeur de l'accélération du centre de masse (équation 1) :

$a=gsin\theta-\frac{F}{m}$

L'accélération angulaire $\alpha=\frac{a}{r}$ de la bille s'obtient à partir de la relation fondamentale de la dynamique appliquée aux corps solides en rotation :

$\Sigma M=I\alpha$

où $\Sigma M$ est la somme des moments de force qui agissent sur la bille et $I$ le moment d'inertie de la bille. La seule force dont le moment n'est pas nul est $\vec F.$ La relation ci-dessus s'écrit donc (équation 2) :

$Fr=I\alpha$

En éliminant la force de frottement entre l'équation 1 et l'équation 2, on peut exprimer l'accélération a de la bille en fonction de son rayon r, de son moment d'inertie I, de l'accélération du lieu g et de l'angle d'inclinaison θ du rail :

$a=\frac{mr^2gsin\theta}{mr^2+I}$

Cette expression se simplifie par m. L'accélération de la bille ne dépend pas de sa masse.

$a=\frac{r^2gsin\theta}{r^2+\frac{2}{5}R^2}$

Électrostatique : théorie

Laurence Muriset — 2014-01-03T11:27:46Z

Structure de la matière

Quiconque a déjà vécu l'expérience désagréable d'une « décharge électrique » lors d'un contact avec un corps étranger connaît un effet électrostatique. Une autre manifestation de l'électricité statique consiste en l'attraction de petits corps légers (bouts de papier par ex.) avec des corps frottés (règles, pour continuer sur le même ex.). Ce type de phénomène est même rapporté par Thalès de Milet, aux alentours de 600 av. J.-C. : il avait observé l'attraction de brindilles de paille par de l'ambre jaune frotté... Le mot électricité, qui désigne l'ensemble de ces manifestations, provient de « elektron », qui signifie ambre en grec.

La vision moderne de la matière décrit celle-ci comme étant constituée d'atomes.
Ceux-ci sont eux-mêmes constitués d'un noyau (découvert en 1911 par Rutherford) autour duquel « gravite » une sorte de nuage composé de particules chargées …................................ appelés …............................ . Le noyau lui est composé de particules appelées nucléons et compose l'essentiel de la masse. Il existe 2 types de nucléons : des particules neutres appelées …........................... et des particules …................................... appelées …...........................................
Entre le noyau et les électrons il y a …....................................

La composition des atomes est donnée par le tableau périodique éléments.

Exemple un atome de carbone se note ⁶₁₂C : il comporte ainsi 6 électrons

Un atome dans l'état fondamental est neutre ainsi il comportera alors ….................….. protons.

Le carbone possède 12 nucléons, nous pouvons en déduire qu'il possède....................................... neutrons.

Taille d'un atome : Charge d'un corps : Q = n e unité, le coulomb C

Taille d'un noyau : n : nb de particules chargées e : charge d'une particule

Nom de la particule	masse en kg	charge en C
électron	0.911 10^-30	-1,602 10^-19
proton	1.672 10^-27	1.602 10^-19
neutron	1.675 10^-27	0

Expériences électrostatiques

Observation : des objets frottés exercent les uns sur les autres des forces d'attraction ou de répulsion. Ils sont électrisés et on dit qu'il possède une charge électrique, notée Q.

Les charges de même signe............................................
Les charges de signe opposé..........................................

1) Lorsqu'on frotte une paille avec un morceau de papier ménage, la paille ................................. des
électrons au papier ménage et devient chargée ..........................................................
Ainsi, deux pailles chargées exerceront une force ....................................................

2) Lorsqu'on frotte une barre de verre avec un morceau de papier ménage, le verre ..........................
des électrons au papier ménage et devient chargé .............................................................
Ainsi, les 2 objets exerceront une force ....................................................

Des phénomènes s se produisent lorsqu'on approche un bâton électrisé de morceaux de papier ou d'un filet d'eau ou encore lorsqu'on frotte un ballon sur sa tête et qu'il se colle ensuite à un mur. Le ballon arrache des électrons aux cheveux et se charge négativement. Le mur quant à lui est neutre, il est composé de charges positives et négatives en nombre égal. Mais lorsqu'on approche le ballon du mur, les charges positives attirées par les charges négatives du ballon seront en moyenne plus proche de la surface tandis que les charges négatives repoussées par celles du ballon seront en moyenne plus éloignées de la surface. Un force attractive se produit alors entre le ballon et le mur.

Le générateur de Van der Graaff
Un générateur de Van der Graaff est une machine électrostatique inventée par Robert Van der Graaff au début des années 1930. Une courroie en latex, qui tourne sur 2 poulies, permet d'acheminer des charges positives sur une sphère creuse. L'accumulation de charges positives sur la sphère permet d'atteindre des tensions continues très élevées, mais des courants de faible intensité, avec des différences de potentiel de l'ordre de 5 à 10 mégavolts sur les générateurs industriels modernes.

De l'autre côté, la courroie achemine des charges négatives sur une électrode inférieure destinée à les collecter. Ainsi lorsqu'on approche un objet chargé négativement de la sphère les électrons vont vouloir passer sur la sphère dû à la grande différence de potentiel. Mais l'air qui est un isolant empêche ce passage jusqu'au moment où la différence de potentielle devient si grande que les charges créent un canal dans l'air, échauffe l'air et crée une étincelle.

La foudre est une immense décharge électrique qui se produit de la même manière entre la partie inférieure du nuage chargé négativement et le sol.

Si tu touches la boule et si tes pieds se trouvent sur une surface qui t'isole du sol, les charges s'accumulent dans ton corps et tes cheveux. Les cheveux sont charges positivement et se repoussent. Les charges ont toujours tendance a s'accumuler sur les extrémités. Le corps humain est conducteur et laisser circuler les charges. Si tu es en contact avec le sol, les charges au lieu de s'accumuler circulent vers le sol et tu ressens une décharge, un courant électrique. Le générateur se décharge et un courant électrique traverse ton corps. C'est ce qui arrive aussi si une personne met ses doigts dans la prise... les charges circulent dans son corps pour arriver jusqu'au sol. Cela peut être mortel.

La force de Coulomb :
Le noyau exerce des forces d'attraction électrique sur les électrons. Cette force les maintient liés au noyau dans leurs mouvements orbitaux, comme la force de gravitation maintient les planètes liées au Soleil.
La force électrique entre deux corps, dont les charges respectives sont q₁ et q₂ et séparés par une distance d, s'écrit :

ε₀ est la permittivité du vide. ε₀=8.85 10^-12 F m^-1

L'unité de base d'une force est le Newton N et que celle de la charge est le coulomb C.

Le sens de la force dépend du signe des charges.
Charges de même signe entraîne répulsion :

Charges de signe opposé entraîne attraction :

A remarquer : l'analogie avec la force de Gravitation :

Le principe de superposition :
Si plus de deux charges sont en présence, la force ressentie par une charge est égale à la somme vectorielle de toutes les forces exercées par les autres charges.
Exemple :

La charge q₃ subit deux forces :
– Une force attractive F_3,2 due la charge q₂.
– Une force répulsive F_3,1 due la charge q₁ et cela malgré la présence de q₂ entre elles.

Inspiré librement des sources suivantes :
www.wikipedia.com
http://www.espace-sciences.org/archives/science/17069.html
http://physique.haplosciences.net/electricite.html
http://www.juggling.ch/gisin/coursphys3eme/1c_electrostat.pdf
http://ipag.osug.fr/ ferreira/enseignement/elec_complet.pdf

Symétries de l'espace et du temps et lois de conservation

Pascal Rebetez — 2013-09-07T22:42:23Z

La notion de symétrie est au coeur de la physique

Après une introduction concernant les symétries et les lois de conservation, nous rappelons les concepts de base et les postulats de la mécanique classique non relativiste et démontrons les conséquences de ces derniers sur les propriétés de symétrie de l'espace et du temps. Nous précisons ensuite le statut de l'énergie potentielle et certaines de ses propriétés. Nous démontrons finalement que les lois de conservation de la quantité de mouvement, du moment cinétique et de l'énergie découlent directement de l'homogénéité et de l'isotropie de l'espace ainsi que de l'uniformité du temps.

Dans la littérature, ces trois profondes implications sont le plus souvent démontrées dans le cadre de la formulation lagrangienne de la mécanique classique. Dans cet article, nous effectuons ces démonstrations en n'ayant recours qu'aux notions de quantité de mouvement et d'énergie potentielle, définies à partir des entités fondamentales que sont l'espace et le temps. Cet article est donc à la portée d'étudiants de niveau gymnasial.

Cliquer sur l'icône ci-dessous pour obtenir cet article.

Symétries de l'espace et du temps et lois de conservation

Choc élastique et référentiel du centre de masse

Pascal Rebetez — 2011-09-17T22:23:26Z

Étude d'un choc élastique dans différents référentiels
N. B. Pour faire apparaître et utiliser une mini-application dans cette fenêtre, vous devez installer Wolfram CDF Player sur votre poste.

Elastic Collisions of Two Spheres from the Wolfram Demonstrations Project by S. M. Blinder

Changement de référentiel

Cet article complète et s'appuie sur certains résultats obtenus dans l'article Choc élastique en 2 dimensions.
Nous considérons dans cet article le choc élastique de deux disques et étudions les conditions que doivent satisfaire les vitesses et positions initiales des disques dans le référentiel du laboratoire, pour que le choc soit frontal dans le référentiel du centre de masse des deux disques. À l'aide des méthodes géométriques employées pour déterminer ces conditions, nous cherchons la vitesse et la position du centre de masse relativement au référentiel du laboratoire. Finalement, nous nous intéressons à la position et à l'orientation du repère de la ligne d'impact relativement au repère des trajectoires initiales, ces deux repères étant liés au référentiel du laboratoire.

Choc élastique et référentiel du centre de masse

Saut à l'élastique et accélération

Pascal Rebetez — 2010-01-29T08:14:59Z

But
Étudier l'accélération d'un corps accroché à un élastique lors d'une chute suivie d'oscillations.

Méthode
– Accrocher un corps à un élastique, le lâcher puis enregistrer son mouvement à l'aide d'un détecteur.
– À l'aide du logiciel LoggerPro, analyser l'accélération du corps lors de ce mouvement.

protocole saut à l'élastique et accélération

Référentiel, repère et système de coordonnées

Pascal Rebetez — 2010-01-26T23:50:19Z

N. B. Pour faire apparaître et utiliser une mini-application dans cette fenêtre, vous devez installer Wolfram CDF Player sur votre poste.

Spherical Coordinates from the Wolfram Demonstrations Project by Jeff Bryant

système de coordonnées sphériques

Les notions de référentiel, de repère et de système de coordonnées sont souvent confondues. Ces trois concepts sont non seulement distincts mais indispensables pour décrire le lieu d'un événement.
Cet article se base sur deux ouvrages pour clarifier ces notions ; La relativité d'Albert Einstein [1] et Mécanique Générale de Christian Gruber [2].

Cliquer sur la vignette ci-dessous pour obtenir l'article.

Référentiel, repère et système de coordonnées

[1] Albert Einstein, La relativité, Petite Bibliothèque Payot (1964), traduit de l'allemand par Maurice Solovine

[2] Christian Gruber, Mécanique Générale, Presses polytechniques romandes (1988)

Exercices sur le moment cinétique

bernard.vuilleumier — 2009-05-04T20:31:12Z

Spinning Ice Skater from the Wolfram Demonstrations Project by Enrique Zeleny

Exercices extraits de l'ouvrage « Mécanique » de J.-A. Monard. Editeur : centrale d'achats de la ville de Bienne, Rennweg 62, 2501 Bienne, 1977.

Exercice 1
Une comète passe dans le champ de gravitation du Soleil en décrivant une branche d'hyperbole dont les demi-axes valent a = 4×10¹⁰m et b = 3×10¹⁰m. Calculez sa vitesse lorsqu'elle est très loin du Soleil. Calculez sa distance minimale au soleil et sa vitesse lorsqu'elle est à son périhélie.

Exercice 2
Un satellite décrit une trajectoire elliptique autour de la Terre. Lorsqu'il se trouve à son périgée, sa vitesse vaut 9 km/s et son altitude au-dessus de la terre 600 km. Calculez sa vitesse et son altitude lorsqu'il est à son apogée. Calculez les demi-axes de l'ellipse et la vitesse aux extrémités du petit axe.

Exercice 3
Un projectile est lancé obliquement depuis la surface de la Terre. Sa vitesse initiale a une grandeur de 10 km/s et forme un angle de 40° avec l'horizontale. Calculez les demi-axes de l'ellipse qu'il décrit. On suppose connue la vitesse de libération : u = 11,2 km/s.

Exercice 4
Une planète décrit autour du soleil une ellipse de demi-axes a et b. Calculez ses vitesses maximale et minimale, et la distance au Soleil lorsque ces situations se réalisent. Application numérique : (valeurs correspondant à Mercure)
a = 5.79×10¹⁰m, b = 5,66×10¹⁰m.

Exercice 5
Calculez l'énergie mécanique d'un satellite de masse m qui décrit une trajectoire elliptique de demi-axes a et b autour d'un astre de masse M.

Conservation de l'énergie

Occam Razor — 2009-02-24T15:41:49Z

Variation de l'énergie mécanique
Si un mobile n'est sollicité que par des forces conservatives, son énergie mécanique est conservée. L'énergie mécanique enlevée à un mobile par le le travail des forces de frottement, est intégralement transformée en énergie thermique. La physique postule que l'énergie se conserve. Elle peut se transformer ou être transférée d'un objet à un autre, mais elle ne se crée ni se perd. C'est le principe de conservation de l'énergie.

Exemple (tiré d'une épreuve de M. Didier Roulet)
Une météorite de 500 kg, en fer, voyage à travers l'espace à la température de -270 °C. Elle passe au voisinage de la Terre et, sous l'influence du champ de gravitation, tombe vers la surface. Parvenue à 120 km d'altitude, sa vitesse est de 5 km/s. Sous l'effet du frottement de l'air, toute la masse s'échauffe et en plus, 100 kg de fer fondent. On admet que 35 % de l'énergie thermique produite par le frottement de l'air sur la météorite partent immédiatement dans l'air ambiant.
– Calculez la vitesse de la météorite lorsqu'elle arrive au sol.

Première approche (accélération g supposée constante)
– sans frottement
S'il n'y a pas de frottement, nous pouvons appliquer la loi de conservation de l'énergie mécanique. Si nous appelons (1) la position élevée et (2) la position basse de la météorite, et si nous plaçons le niveau de référence de l'énergie potentielle au niveau du sol, cela donne :

$E_{méc}(1)=E_{méc}(2)$
$mgh_1+\frac{mv_1^2}{2}=\frac{mv_2^2}{2}$

N. B. Cette équation se simplifie par m : s'il n'y a pas de frottement, la vitesse finale est donc indépendante de la masse.
En résolvant cette équation par rapport à $v_2$, nous obtenons la vitesse de la météorite à l'arrivée sur Terre. Rép. $5.23\times 10^3$ m/s

– avec frottement
Si la météorite subit une force de frottement, une partie de son énergie mécanique va être transformée en chaleur. 35 % de la perte d'énergie mécanique chaufferont l'atmosphère, et 65 % de cette perte serviront à élever la température de la météorite et à faire fondre une certaine masse de fer. Le principe de conservation de l'énergie permet d'écrire :

$E_{mec}(1)-E_{mec}(2)=\text{Energie thermique}$
$\frac{65}{100}(mgh_1+\frac{m}{2}(v_1^2-v_2^2))=mc\Delta\theta+m_fL_f$

En résolvant cette équation par rapport à $v_2$ on trouve la vitesse de la météorite lorsqu'elle arrive au sol. Rép. $4.98\times 10^3$ m/s

Deuxième approche
– sans frottement
Si nous utilisons l'expression générale de l'énergie potentielle de gravitation (qui tient compte de la variation de l'accélération terrestre g avec l'altitude), l'équation ci-dessus s'écrit :
$-\frac{GM}{R_T+h}+\frac{v_1^2}{2}=-\frac{GM}{R_T}+\frac{v_2^2}{2}$

Rép. $5.23\times 10^3$ m/s

– avec frottement
$\frac{65}{100}(-\frac{GMm}{R_T+h}+\frac{mv_1^2}{2}+\frac{GMm}{R_T}-\frac{mv_2^2}{2})=mc\Delta\theta+m_fL_f$

Rép. $4.97\times 10^3$ m/s

Instructions Mathematica et valeurs numériques utilisées

Avec une accélération constante
sans frottement
sol = Solve[m*g*h + m*v1^2/2 == m*v2^2/2, v2];
sol /. {G -> 6.67*10^-11, g -> 9.81, M -> 5.97*10^24, rT -> 6.37*10^6, h -> 1.2*10^5, v1 -> 5*10^3}
{{v2 -> -5230.14}, {v2 -> 5230.14}} avec frottement
sol = Solve[0.65 (m*g*h + m/2 (v1^2 - v2^2)) == m*c*∆\[Theta] + m2*Lf, v2];
sol /. {G -> 6.67*10^-11, g -> 9.81, M -> 5.97*10^24, rT -> 6.37*10^6, h -> 1.2*10^5, v1 -> 5*10^3, m -> 500, m2 -> 100, c -> 440, ∆\[Theta] -> 1808, Lf -> 2.47*10^5}
{{v2 -> -4975.4}, {v2 -> 4975.4}} En tenant compte de la variation de l'accélération avec l'altitude
sans frottement
sol = Solve[-G*M*m/(rT + h) + m*v1^2/2 == -G*M*m/rT + m*v2^2/2, v2];
sol /. {G -> 6.67*10^-11, g -> 9.81, M -> 5.97*10^24, rT -> 6.37*10^6, h -> 1.2*10^5, v1 -> 5*10^3}
{{v2 -> -5226.06}, {v2 -> 5226.06}} avec frottement
sol = Solve[0.65 (-G*M*m/(rT + h) + m*v1^2/2 + G*M*m/rT - m*v2^2/2) == m*c*∆\[Theta] + m2*Lf, v2];
sol /. {G -> 6.67*10^-11, M -> 5.97*10^24, rT -> 6.37*10^6, h -> 1.2*10^5, v1 -> 5*10^3, m -> 500, m2 -> 100, c -> 440, ∆\[Theta] -> 1808, Lf -> 2.47*10^5}
{{v2 -> -4971.11}, {v2 -> 4971.11}}

Primitives et directives graphiques

bernard.vuilleumier — 2009-01-09T07:07:02Z

Construisez les images suivantes :