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Géométrie d'un échappement Frainier

Bernard Chabloz — 2026-01-10T14:22:37Z

Géométrie pendulette - petit pendule

Schéma global.

Lagrangien

Énergies cinétiques

$T_0=\dfrac12\,I_0\,\dot\theta^{\,2}$

où $I_0$ est le moment d'inertie du pendule par rapport au pivot $O$. On néglige la variation de ce moment d'inertie due au mouvement du petit pendule.

$ T_{\rm pp} =\dfrac12\,m\Big[\,\big(-a\cos\theta\,\dot\theta+\lambda\cos(\phi+\theta)\,(\dot\phi+\dot\theta)\big)^2 +\big(a\sin\theta\,\dot\theta-\lambda\sin(\phi+\theta)\,(\dot\phi+\dot\theta)\big)^2\,\Big] +\dfrac12\,I_G\,(\dot\phi+\dot\theta)^{2} $

En développant :

$ T_{\rm pp} =\dfrac12\,m\Big(\,a^2\dot\theta^{\,2} +\lambda^{2}(\dot\phi+\dot\theta)^{2} -2a\lambda\cos\phi\,(\dot\phi+\dot\theta)\dot\theta\,\Big) +\dfrac12\,I_G\,(\dot\phi+\dot\theta)^{2} $

où $I_G$ est le moment d'inertie propre du petit pendule, et $m$ sa masse.

Énergie potentielle

$ V = M g L\,(1-\cos\theta) + m g\Big(a\cos\theta-\lambda\cos(\phi+\theta)+\lambda-a\Big) + k\,\alpha $

où $M$ est la masse totale et $k\alpha$ l'énergie potentielle du ressort (modèle à couple constant). On néglige la variation de $L$ due au mouvement du petit pendule.

Liaison : géométrie du petit pendule

$ \frac{\sin\phi}{r}=\frac{\sin\big(\pi-(\pi-\alpha+\phi)\big)}{s} \qquad\Longrightarrow\qquad \sin\phi=\mu\,\sin(\alpha-\phi), \quad \mu=\frac{r}{s}\simeq 0.28125 $

Si on choisit $\theta$ et $\alpha$ comme coordonnées généralisées, on exprime $\phi$ en fonction de $\alpha$ à partir de cette liaison :

$ \frac{1}{\mu}\sin\phi =\sin\alpha\cos\phi-\cos\alpha\sin\phi $

On obtient :

$ \tan\phi=\frac{\sin\alpha}{\frac{1}{\mu}+\cos\alpha} =\frac{\mu\sin\alpha}{1+\mu\cos\alpha}$

Dérivée par rapport à $\alpha$ :

$ \frac{d}{d\alpha}\big(\tan\phi\big) =\frac{\frac{1}{\mu}\cos\alpha+1}{\left(\frac{1}{\mu}+\cos\alpha\right)^2} =\frac{\mu(\cos\alpha+\mu)}{(1+\mu\cos\alpha)^2}$

Elle s'annule lorsque $\cos\alpha=-\mu$ (cas du triangle rectangle, $|\phi|$ maximum, bascule du doigt).

Remarque
Pour cette valeur :

$ \tan\phi=\frac{\mu}{\sqrt{1-\mu^2}}\simeq 0.2931 \qquad |\phi_{\max}|\simeq 0.2851 $

donc l'approximation $\tan\phi\simeq \phi$ est assez bonne.

Couple d'un échappement Frainier

Bernard Chabloz, bernard.vuilleumier — 2025-11-09T08:03:23Z

Construction des fenêtres

La fonction tangente hyperbolique se prête bien à cette construction.

Si on fait la somme Tanh-Tanh, on trouve évidemment 0.

Mais si on décale un peu les deux tangentes, on obtient un « pulse ».

En utilisant cette somme de tangentes hyperboliques décalées et en introduisant les paramètres $s, c, w, \sigma$ qui permettent respectivement de placer le pulse sur l'axe, de positionner son centre, de définir sa largeur et de le lisser on obtient une fenêtre :

Voir le code de la figure en langage Wolfram (LW) [1]

Couple fenêtré

En utilisant ce type de fenêtre, on va pouvoir « filtrer » le couple. Celui-ci pourra agir lorsque la fenêtre sera ouverte. Dans un échappement Frainier, la fenêtre s'ouvre lorsque le doigt pousse le bras : une première fois lorsque la pendulette se déplace de gauche à droite L-R (demi-période) et une seconde fois lorsqu'elle revient de droite à gauche R-L.

L'observation du mécanisme montre que la poussée n'a pas lieu durant toute la demi-période, qu'elle peut se produire à des instants différents selon le mouvement L-R ou R-L et qu'elle peut être asymétrique. Il faut donc envisager un temps actif par demi période, l'instant où débute l'impulsion et l'asymétrie des impulsions.

Dans cette figure, les impulsions durent 5% du temps sur chaque demi-période. Elles agissent au quart de la période (4 secondes) lors du mouvement L-R et aux trois quarts lors du retour R-L.

Voir le code de la figure en LW [2]

Blocage de phase
L'idée est de verrouiller les fenêtres en phase sur les passages $\theta=0$. En résolvant numériquement l'équation du mouvement, ou « récolte » les valeurs suivantes :

half qui va servir à caler la durée des fenêtres d'impulsion sur la demi-oscillation réelle (phase-lock).
zc qui va servir d'origine de temps local pour placer précisément les fenêtres au bon moment.
br (branche) qui va servir d'interrupteur : il active la fenêtre du bon côté (L-R ou R-L).

Chaque fois que l'angle $\theta$ passe par zéro (le pendule traverse la verticale), on fait les mises à jour suivantes :

half[t] -> t - zc[t] calcule la demi-période mesurée : c'est le temps écoulé depuis le dernier passage au centre. On met half = t (maintenant) moins zc (instant du passage précédent.
zc[t] -> t. Mémorise l'instant courant t comme nouveau passage au centre (zéro de $\theta$).
br[t] -> Sign[$\theta'(t)$]. Détermine le sens de passage : si la vitesse angulaire $\theta'(t)$ est positive, br = +1 (gauche-droite) ; si elle est négative, br =-1 (droite-gauche).

C'est comme si à chaque passage par la verticale, on enclenchait un chronomètre et on mesurait la demi-période, puis qu'on remettait le chronomètre à zéro et qu'on notait le sens de passage du pendule.

En mode phase-lock, les impulsions suivent les variations de période de l'oscillation.

[1] (*Manipulate pour explorer les effets des paramètres*) Manipulate[Plot[fen[s, c, w, \[Sigma]], {s, -10, 10}, PlotRange -> {{-10, 10}, {-0.1, 1.1}}, AxesLabel -> {"s", None}, PlotStyle -> {Thick}, Epilog -> {Dashed, Gray, Line[{{c - w/2, 0}, {c - w/2, 1}}], Line[{{c + w/2, 0}, {c + w/2, 1}}], Text[Style["centre c", 12, Black], {c, 1.05}], Text[Style["largeur w", 10, Gray], {c, 0.5}]}, ImageSize -> 500, PlotLabel -> Row[{"Fenêtre: centre = ", NumberForm[c, {3, 2}], ", largeur = ", NumberForm[w, {3, 2}], ", lissage = ", NumberForm[\[Sigma], {3, 2}]}]], (*Contrôles*) {{c, 0, "centre c"}, -5, 5, 0.01, Appearance -> "Labeled"}, {{w, 4, "largeur w"}, 0.1, 10, 0.01, Appearance -> "Labeled"}, {{\[Sigma], 0.5, "lissage \[Sigma]"}, 0.01, 2, 0.01, Appearance -> "Labeled"}, ControlPlacement -> Bottom, TrackedSymbols :> {c, w, \[Sigma]}, SaveDefinitions -> True, (*Définition de la fenêtre tanh*) Initialization -> (fen[s_, c_, w_, \[Sigma]_] := 1/2 (Tanh[(s - (c - w/2))/\[Sigma]] - Tanh[(s - (c + w/2))/\[Sigma]]);)]

[2] \[Tau]0 = 1; per = 4; Manipulate[ Plot[{couple[\[Tau]0, \[Mu], \[Delta]1, D1, \[Delta]2, D2], Sin[2 Pi/per t + Pi/2]}, {t, 0, 4}, PlotRange -> All], Delimiter, Style[Text["Paramètres de l'échappement"], 12, Bold], {{D1, .05, "\!$\*SubscriptBox[ StyleBox[\"D\",\nFontSlant->\"Italic\"], \(1$]\) (temps actif du \doigt en % L-R )"}, 0.01, .5, 0.001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, {{D2, .05, "\!$\*SubscriptBox[StyleBox[\"D\",\nFontSlant->\"Italic\"], \(2$]\) (temps actif du \doigt en % R-L)"}, 0.01, .5, 0.001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, {{\[Delta]1, 0, "\[Delta]1 (avance - retard de l'impulsion en s)"}, -0.4, 0.4, 0.001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, {{\[Delta]2, 0, "\[Delta]2 (avance - retard de l'impulsion en s)"}, -0.4, 0.4, 0.001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, {{\[Mu], 0, "\[Mu] (asymétrie d'amplitude)"}, -0.9, 0.9, 0.001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, {{\[Sigma], .01, "\[Sigma] (lissage des angles)"}, .01, .05, .001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, ControlPlacement -> Bottom, TrackedSymbols :> {tmax, D1, D2, \[Delta]1, \[Delta]2, \[Mu], \[Sigma]}, SaveDefinitions -> True, Initialization :> (n[t_] := Floor[2 t/per]; fen[s_, c_, w_, \[Sigma]_] := 1/2 (Tanh[(s - (c - w/2))/\[Sigma]] - Tanh[(s - (c + w/2))/\[Sigma]]); couple[\[Tau]0_, \[Mu]_, \[Delta]1_, D1_, \[Delta]2_, D2_] := Piecewise[{{\[Tau]0 (1 + \[Mu]) fen[t - n[t] per/4, per/4 + \[Delta]1, D1 per/2, \[Sigma]], EvenQ[Floor[2 t/per]]},(*L->R*) {-\[Tau]0 (1 - \[Mu]) fen[t - n[t] per/4, per/2 + \[Delta]2, D2 per/2, \[Sigma]], True} (*R->L*)}])]

Pendulette magique

bernard.vuilleumier, ChatGPT — 2025-09-24T15:41:48Z

Cet article donne une explication du comportement d'un mouvement d'horlogerie muni d'un échappement de type « Frainier ». Il propose un modèle de pendule physique permettant de reproduire ce comportement.

Description

La pendulette Frainier « doigt-coulisse » (brevet 1908) comporte un doigt fixe sur un disque solidaire de l'axe moteur. Ce doigt coulisse librement dans une lumière verticale d'un bras oscillant solidaire de la pendulette. Dans ce montage, l'axe fait un tour complet par oscillation complète de la pendulette. Le doigt décrit un cercle de rayon autour de l'axe $r$ et pousse le bras via la normale à la coulisse.

Particularité
La « curiosité » du Frainier réside dans le couplage entre la pendulette et le bras oscillant : l'échappement applique des couples impulsifs - dépendants de l'occurrence des impulsions - qui transfèrent de l'énergie entre la pendulette et le bras oscillant.

Notations pour un Frainier "doigt-coulisse"

$T$ : période de la pendulette. [1] [2]
$m$ : masse de la pendulette.
$d$ : distance pivot - centre de masse de la pendulette.
$r$ : rayon du doigt (distance axe - doigt sur le disque).
$I$ : moment d'inertie de la pendulette autour du pivot. [3]
$c$ : frottements visqueux (pivots).
$c_\alpha$ : frottements quadratiques (air).
$D_i\in(0,1)$ : duty-cycle [4] de contact sur la demi-oscillation $i$.
$\tau_0$ : couple disponible à l'axe du disque.

Modèle

Équation du mouvement

On note $\theta(t)$ l'angle de la pendulette (zéro à la verticale), $\dot\theta$ sa vitesse angulaire.

$I\ddot\theta(t)+c\dot\theta(t)+c_\alpha|\dot\theta(t)|\dot\theta(t)+m g d \sin\theta(t)=\tau_{esc}(t)$

$\tau_{esc}(t)$ : couple d'échappement Frainier paramétré par $D_1,D_2,\mu,\delta_1,\delta_2$

Analyse d'une vidéo
L'analyse d'une vidéo de la pendulette fournit les paramètres $D_1,D_2,\mu,\delta_1,\delta_2$ suivants :

$D_1 \approx 0.286$
$D_2 \approx 0.167$
$\mu = (D_1 - D_2)/(D_1 + D_2) \approx 0.263$
$\delta_1 \approx +0.108$ s (centre impulsion - passage centre, de gauche à droite)
$\delta_2 \approx +0.093$ s (de droite à gauche)

Ce que règle chaque paramètre [5]

$D_1,D_2$ : durées d'impulsion relatives (sans unité)
$\mu$ : asymétrie d'amplitude (sans unité)
$\delta_1,\delta_2$ : avance/retard du centre temporel d'impulsion (s)
$\tau_0$ : amplitude de couple des impulsions (N m)

Chronométrie par demi-périodes et fenêtres d'impulsion
L'échappement ne pousse pas en continu : il donne une petite poussée pendant une courte fenêtre de temps à l'intérieur de chaque demi-période.

Période mesurée $T$, demi-période $h=T/2$.
Durées d'impulsion : $w_1=D_1 h$, $w_2=D_2 h$.
Centres temporel d'impulsion : $c_1=h/2+\delta_1$, $c_2=h/2+\delta_2$.
Nombre entier de demi-périodes : $n(t)=\big\lfloor t/h\big\rfloor$ (nombre entier)
Temps local dans la demi-période : $s(t)=t-\big\lfloor t/h\big\rfloor h$ (compris ente 0 et $h$)

Fenêtre à bords lissés :

$\mathrm{Rect}_\sigma(s(t), c, w)=\frac{1}{2}\left[\tanh\left(\frac{s(t)-(c-w/2)}{\sigma}\right)-\tanh\left(\frac{s(t)-(c+w/2)}{\sigma}\right)\right]$

Couple d'échappement avec asymétrie $\mu$

Niveau d'amplitude $\tau_{esc}$ (N m).

$\tau_{esc}(t)=\begin{cases} +\tau_0(1+\mu)\,\mathrm{Rect}_\sigma(s(t), c_1,w_1), & n(t)\ \text{pair},\\ -\tau_0(1-\mu)\,\mathrm{Rect}_\sigma(s(t), c_2,w_2), & n(t)\ \text{impair}. \end{cases}$

En pratique
Pour la simulation, le modèle comprend les paramètres :

($m, g, d, I, \tau_0, c, c_{\alpha}, \theta_0, \sigma, D_1, D_2, \delta_1, \delta_2, \mu$) [6]

Simulation
La simulation à l'aide du modèle fait apparaître l'effet des paramètres sur le comportement de la pendulette.

Pendulette à échappement Frainier

[1] Période dépendant de l'amplitude

$h = \dfrac{T}{2} = \pi \sqrt{\dfrac{I}{m g d}}\left(1+\dfrac{\theta_0^2}{16}\right)$

D'où vient cette formule
Elle résulte du développement en série de l'intégrale elliptique complète $K$ de première espèce :

$K(\sin^2(\tfrac{\theta_0}{2}))=\dfrac{\pi}{2}\left(1+\dfrac{\theta_0^2}{16}+\dfrac{11}{3072}\theta_0^4+\dfrac{173}{737280}\theta_0^6+\cdots\right)$

Voici le chemin standard pour passer de la période aux petits angles $T_0$ à la période à amplitude finie $T(\theta_0)$.

1) Équation d'énergie (pendule physique)

On note $I$ le moment d'inertie autour du pivot, $m$ la masse, $d$ la distance pivot–centre de masse. Énergie (zéro pris en bas) :

$E=\tfrac12 I \dot\theta^2 + m g d (1-\cos\theta)$

Au rebroussement ($\theta=\theta_0$, vitesse nulle) :

$E = m g d (1-\cos\theta_0)$

En éliminant $E$ :

$\dot\theta^2=\dfrac{2 m g d}{I}\big(\cos\theta-\cos\theta_0\big)$

2) Temps sous forme intégrale

En utilisant $1-\cos\theta=2\sin^2(\theta/2)$ :

$\dfrac{dt}{d\theta} =\sqrt{\dfrac{I}{2 m g d}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{1}{\sqrt{\sin^2(\tfrac{\theta_0}{2})-\sin^2(\tfrac{\theta}{2})}} $

Le temps pour aller de 0 à $\theta_0$ correspond à un quart de période :

$\dfrac{T(\theta_0)}{4}=\sqrt{\dfrac{I}{2 m g d}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\theta_0}\dfrac{d\theta}{\sqrt{\sin^2(\tfrac{\theta_0}{2})-\sin^2(\tfrac{\theta}{2})}}$

C'est une intégrale de la forme $\displaystyle\dfrac{d\theta}{\sqrt{a^2 - \sin^2(\theta/2)}}$ qui n'a pas de primitive « élémentaire ».

3) Substitution

Posons :

$k=\sin(\tfrac{\theta_0}{2})$

et définissons une nouvelle variable $\varphi$ par :

$\sin(\tfrac{\theta}{2})=k\sin\varphi$

Le dénominateur de l'intégrale peut s'écrire :

$ \sqrt{\sin^2(\tfrac{\theta_0}{2})-\sin^2(\tfrac{\theta}{2})} =\sqrt{k^2 - k^2\sin^2\varphi} =k\sqrt{1-\sin^2\varphi} =k\cos\varphi. $

Cette substitution fait passer de l'angle physique $\theta$ à un angle auxiliaire $\varphi$ plus commode pour l'intégrale elliptique.

4) Différentielle correspondante

On dérive les deux côtés :

$ \dfrac{1}{2}\cos(\tfrac{\theta}{2}) d\theta = k\cos\varphi d\varphi \quad\Longrightarrow\quad d\theta = \dfrac{2k\cos\varphi d\varphi}{\cos(\tfrac{\theta}{2})} $

On exprime $\cos(\tfrac{\theta}{2})$ en fonction de $\varphi$. On a $\sin(\tfrac{\theta}{2})=k\sin\varphi$, donc :

$ \cos^2(\tfrac{\theta}{2}) = 1 - \sin^2(\tfrac{\theta}{2}) = 1 - k^2\sin^2\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos(\tfrac{\theta}{2})=\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}. $

On a donc simultanément :

$d\theta = 2k\cos\varphi d\varphi / \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}$ pour le numérateur et $k\cos\varphi$ pour le dénominateur.

5) Remplacement des bornes

Quand $\theta=0$, $\sin(\tfrac{\theta}{2})=0\Rightarrow\varphi=0$.
Quand $\theta=\theta_0$, $\sin(\tfrac{\theta_0}{2})=k\sin\varphi=k\Rightarrow\varphi=\pi/2$.

Les bornes deviennent donc $\varphi\in[0,\pi/2]$.

6) Intégrale obtenue
En insérant dans l'intégrale, on obtient :

$ \dfrac{T(\theta_0)}{4} = \sqrt{\dfrac{I}{4 m g d}} \int_{0}^{\pi/2} \dfrac{2 d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}} = \sqrt{\dfrac{I}{m g d}} \int_{0}^{\pi/2} \dfrac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}} $

Par définition, l'intégrale elliptique complète de première espèce est :

$K(k)=\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}$

D'où directement :

$\dfrac{T(\theta_0)}{4}=\sqrt{\dfrac{I}{m g d}}\,K(k)$

et donc :

$T(\theta_0)=4\sqrt{\dfrac{I}{m g d}}\,K(k)$

Exemple numérique

Pour $\theta_0=0{,}3665\ \mathrm{rad}$ (environ 21 degrés), $\theta_0^2/16\approx0{,}0084$, ce qui correspond à un allongement d'environ 0,84 % de la période. Le terme suivant $\tfrac{11}{3072}\theta_0^4\approx6\times10^{-4}$ est négligeable.

Remarque

Cette correction décrit la période naturelle (sans échappement). Dans le modèle du pendule Frainier, elle sert à définir la demi-période théorique $h$. La période observée peut ensuite varier légèrement selon les paramètres d'échappement $(D_1,D_2,\delta_1,\delta_2,\mu)$.

[2] Comportement du pendule physique
Lorsqu'on augmente la distance $d$ entre le pivot et le centre de masse (par translation du pendule), le moment d'inertie autour du pivot augmente. Le théorème de transport permet d'écrire :

$I(d)=I_{cm}+m d^2$

où $I_{cm}$ est le moment d'inertie autour du centre de masse. En tenant compte de cela, la période (petits angles) devient :

$T(d)=2\pi\sqrt{(I_{cm}+m d^2)/(m g d)}=2\pi\sqrt{(d+I_{cm}/(m d))/g}$

La dérivée montre un minimum de période lorsque :

$d =k=\sqrt{I_{cm}/m}$

si $d < k$ la période décroît quand $d$ augmente.

si $d > k$ la période croît quand $d$ augmente.

[3] Détermination du moment d'inertie de la pendulette
Elle ne nécessite pas de connaître la distance pivot–centre de masse $d$. Pour un pendule physique :

$T=2\pi\sqrt{I/(m g d)},\quad \ell_0 \equiv g T^2/(4\pi^2),\quad I=m\,d\,\ell_0$

On ajoute une petite masse $m_a$ à distance $x$ du pivot. On exprime le nouveau moment d'inertie $I_1$, la nouvelle position $d_1$ du centre de masse, la longueur équivalente $l_1$ d'un pendule simple et finalement le moment d'inertie $I_1$ en fonction de $d_1$ $l_1$ :

$I_1=I+m_a x^2$
$d_1=(m d+m_a x)/(m+m_a)$
$l_1=g T_1^2/(4\pi^2)$
$I_1=(m+m_a)d_1 l_1$

En combinant ces relations et en éliminant $I_1$ et $d_1$, on obtient :

$d=\dfrac{m_a\,x\,(x-\ell_1)}{m\,(\ell_1-\ell_0)},\quad I=m\,d\,\ell_0$

Étapes algébriques en partant du système :

$I_1=I+m_a x^2$,
$d_1=(m d+m_a x)/(m+m_a)$ (position du centre de masse)
$\ell_1=g T_1^2/(4\pi^2)$,
$I_1=(m+m_a)\,d_1\,\ell_1$

1. Éliminer $d_1$ et $I_1$.
De $d_1=(m d+m_a x)/(m+m_a)$ et $I_1=(m+m_a)d_1\ell_1$ on obtient :

$I_1=(m d+m_a x)\ell_1$

En l'égalant à $I_1=I+m_a x^2$ :

$I=(m d+m_a x)\ell_1 - m_a x^2 = m\ell_1 d + m_a x(\ell_1-x)$

C'est une relation linéaire entre $l$ et $d$ déterminée par la mesure avec la masse ajoutée.

2. Utiliser la définition de la période
Pour identifier $l$ et $d$ séparément, il faut une deuxième information. Le plus simple est la période à vide $T$ (sans la masse $m_a$). Avec le pendule physique (petits angles) :

$T=2\pi\sqrt{I/(m g d)}$

On définit :

$\ell_0=g T^2/(4\pi^2)=I/(m d)$

Donc :

$I=m\ell_0 d$

3. Résoudre le système
En soustrayant les deux égalités $I=m\ell_0 d$ et $I=m\ell_1 d+m_a x(\ell_1-x)$ on obtient :

$m(\ell_0-\ell_1)d=m_a x(\ell_1-x)$ $d=(m_a x(\ell_1-x))/(m(\ell_0-\ell_1))$

Procédure

1. Mesurez soigneusement $m$ et $T$ (période libre, petite amplitude).
2. Fixez une petite masse $m_a$ à une distance connue $x$ du pivot.
3. Remesurez $T_1$.
4. Calculez $\ell_0=gT^2/(4\pi^2)$ et $\ell_1=gT_1^2/(4\pi^2)$.
5. Appliquez les formules ci-dessus pour $d$ puis $I$.

[4] Le duty-cycle (on dit aussi rapport cyclique) est la part du temps ou un phénomène est actif pendant un cycle. Dans la pendulette (échappement Frainier), on appelle $D$ la fraction du demi-cycle ou le doigt impulse le bras. On a deux valeurs :
– $D_1$ : sur le flanc aller,
– $D_2$ : sur le flanc retour.

En comparant les deux valeurs on obtient l'asymétrie de l'impulsion.

En résumé : le duty-cycle, c'est « le temps actif » par rapport au temps total, un nombre entre 0 % et 100 %.

[5] En bref : $D_i$ règle combien de temps on pousse, $\delta_i,$ quand on pousse dans la demi-période, $\mu$ combien plus fort d'un côté que de l'autre. Avec ces trois paramètres, on décrit finement la chronométrie de l'échappement dans un modèle simple mais fidèle.

[6] Quand la pendulette passe par la verticale, l'impulsion du doigt ne se déclenche pas forcément pile à ce moment. Si c'est le cas, $\delta_i=0$. Si la géométrie est un peu décalée, l'impulsion arrive un peu en avance ou en retard et $\delta_i\neq 0$.

Relation tension-intensité pour une ampoule électrique à incandescence

Pascal Rebetez — 2025-07-28T17:02:39Z

Les métaux ont la propriété remarquable suivante : la tension qui leur est appliquée est proportionnelle à l'intensité du courant qui les traverse, pour autant que leur température soit maintenue constante. Cette relation de proportionnalité entre la tension et l'intensité est appelée loi d'Ohm ; c'est une loi empirique. De nombreux conducteurs cependant n'obéissent pas à la loi d'Ohm.

Nous voyons sur ce graphique que les points décrivent une courbe strictement croissante, traduisant ainsi une relation non linéaire entre la tension et l'intensité.

L'objectif de ce travail est d'obtenir l'équation de cette courbe, c'est à dire la relation mathématique entre la tension et l'intensité pour une ampoule à incandescence. Pour ce faire, nous effectuerons dans cet article un voyage aller-retour entre le monde macroscopique et le monde microscopique. Nous reviendrons de cette aventure enrichis du fruit de nos recherches : la relation théorique tension-intensité pour un conducteur métallique en régime non-linéaire. De plus, notre récompense ira au-delà de nos espérances. En effet, il s'avère que l'accord entre la relation théorique obtenue et les mesures est excellent ! Cela confère ainsi une grande fiabilité à notre résultat théorique, que nous pourrons alors utiliser avec confiance en toutes circonstances. Nous vous souhaitons une bonne lecture !

L'énigme de la patineuse

Pascal Rebetez — 2024-07-16T16:50:51Z

Patineuse effectuant une pirouette Biellmann

Les patineuses artistiques ont l'art de nous émerveiller ; elles virevoltent sur la glace comme les hirondelles dans le ciel printanier. L'une de leurs prouesses, appelée pirouette Biellmann, consiste à tourner sur elles-mêmes, sur un pied, tout en maintenant des deux mains leur pied libre au-dessus de la tête. Ce faisant, elles varient leur vitesse de rotation en modifiant leur posture.

Ces athlètes exploitent ainsi l'une des lois les plus fondamentales de la physique : la loi de conservation du moment cinétique. Cependant, une loi tout aussi fondamentale – la loi de conservation de l'énergie – semble ne pas être respectée lors de cette performance. En effet, on peut montrer qu'en modifiant leur vitesse de rotation, les patineuses modifient aussi leur énergie mécanique !

Ces reines d'agilité sont-elles capables de défier les lois de la Nature ?
Telle est L'énigme de la patineuse, que nous tentons d'élucider dans cet article.

Article complet

Angle de déflexion d'un rayon lumineux par une masse

Pascal Rebetez — 2021-06-18T20:54:55Z

L'une des conséquences remarquables de la théorie de la relativité générale est la déviation de rayons lumineux passant à proximité d'une distribution de masse-énergie.

Cependant, les calculs qui permettent d'obtenir l'angle de déviation des rayons lumineux dans le cadre de cette théorie sont d'un niveau mathématique qui dépasse celui d'un enseignement gymnasial.

C'est pourquoi nous traitons ici ce problème dans le cadre théorique de la mécanique relativiste (théorie de la relativité restreinte). Cette approche est intéressante dans le sens où, en l'absence de champ gravitationnel, la théorie de la relativité générale se réduit à la théorie de la relativité restreinte et à sa mécanique relativiste. Ainsi, la mécanique relativiste est englobée dans la théorie de la relativité générale et en est un cas limite.

Relativité générale

2021-03-06T08:40:26Z

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

L'équation d'Einstein relie le tenseur d'Einstein G au tenseur énergie-impulsion T via

où $\Lambda$ est une constante, appelée constante cosmologique, g la métrique et G la constante de Newton. Une des motivations d'Einstein était en effet de trouver une formulation qui assure que le tenseur énergie-impulsion soit à divergence nulle, ce qui est une forme de conservation locale de l'énergie et de l'impulsion.

On the Fundamental Constants of Nature

2021-03-04T09:07:52Z

Planck units of length, mass, and time are fundamental constants of nature. Tra-ditional constants including Planck's constant, the gravitational constant, the elementarycharge, and many others are comprised of these three fundamental units. Physics equationsare functions in which maximum potentials defined by the Planck units are reduced byone or more proportionality operators, producing observed quantities of natural phenomena.Natural symmetries constrain the relationships between length, mass, and time, yieldingthe physical dynamics of momentum, action, force, and energy. The Planck units quantifymechanical, gravitational, and electromagnetic properties of the universe and offer a com-mon language for interpreting the standard model interactions. Units associated with theelectromagnetic interaction are translated into units of length, mass, and time, including the coulomb, ampere, volt, tesla, henry, weber, farad, ohm, and siemen.

Voir en ligne : On the Fundamental Constants of Nature

Loi de Biot et Savart

bernard.vuilleumier — 2016-04-28T21:04:56Z

Illustration interactive

Pour calculer le champ magnétique produit par des bobines de Helmholtz, nous partons de la formule de Biot-Savart qui ramène formellement le calcul de $\vec{B}$ à la sommation vectorielle des champs $d\vec{B}$ produits par des éléments de courant $Id\vec{s}$. Cette formule donne les éléments de vecteur $d\vec{B}$ correspondant aux différentes portions du conducteur. Par addition vectorielle de ces éléments, on obtient le champ $\vec{B}$ au point P.

$d\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{d\vec{s}\times\vec{r}}{r^3}$

Champ résultant au point $\vec{B}$

Considérons un conducteur en forme de spire parcouru par une courant I. Dessinons les éléments de vecteur $d\vec{B}$ en un point de l'axe de cette spire. Ces éléments sont produits par les différentes portions du conducteur. Formons le champ $\vec{B}$ résultant en additionnant vectoriellement ces éléments

Champ $\vec{B}$ créé par une bobine plate sur son axe

Pour un conducteur en forme de boucle, l'angle entre $d \vec s$ et $\vec r$ est un angle droit. La grandeur de $d \vec B$ vaut donc :

$\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{ds}{{r}^2}$

Seule la composante selon Ox contribue au champ $\vec{B}$ (par symétrie, les composantes selon Oy et Oz s'annulent). Exprimons la composante de $d \vec{B}$ selon Ox :

$dB_x={dB sin\alpha=dB\frac{R_{bobine}}{r}}={\frac{\mu_0 I R_{bobine}}{4\pi}\frac{ds}{{r}^3}}$

En additionnant toutes les portions ds du conducteur (intégrale de ds sur la boucle) on obtient la circonférence $2 \pi R_{bobine}$ de la boucle. La grandeur du champ résultant $\vec {B}$ vaut donc, si la bobine comporte N spires :

$B=\frac{\mu_0 N I}{2}\frac{R^2_{bobine}}{{r}^3}$

En exprimant r à l'aide de $R_{bobine}$ et de x, on obtient :

$r={\sqrt{R^2_{bobine}+x^2}}$

$B={\frac{\mu_0 N I}{2}\frac{R^2_{bobine}}{(R^2_{bobine}+x^2)^\frac{3}{2}}}$

Dynamique relativiste

Pascal Rebetez — 2012-09-18T09:16:39Z

Énergie et quantité de mouvement relativistes

Nous présentons dans cet article une manière d'établir la quantité de mouvement et l'énergie relativistes. En postulant la conservation de la quantité de mouvement et en l'appliquant à la situation d'une collision élastique, nous obtenons son expression. Par une approche géométrique exploitant le diagramme d'espace-temps de Loedel, nous construisons ensuite le quadrivecteur énergie-quantité de mouvement pour obtenir l'expression de l'énergie et montrons que sa conservation résulte de la conservation de la quantité de mouvement. Toujours à l'aide d'un diagramme d'espace-temps de Loedel, nous établissons les différentes relations de la dynamique relativiste. Nous appliquons finalement les deux principes de conservation à la situation d'une collision inélastique, pour mettre en évidence la transformation d'énergie en masse, un phénomène typiquement relativiste.

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dynamique relativiste