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Albert Flocon et le théorème de Desargues

bernard.vuilleumier, Vinciane Vuilleumier — 2025-08-20T09:50:42Z

Albert Flocon, graveur amoureux de la ligne, de la perspective et de ses variations, souhaite vérifier par des expérimentations pratiques, le théorème de Girard Desargues sur la sphère. Nous proposons dans cet article d'illustrer cette vérification. La lecture des images utilisées ne nécessite aucune connaissance mathématique et la vérification se fait uniquement en examinant des intersections de lignes.

Illustration du théorème de Desargues projectif.

Que dit le théorème

Les deux triangles (non plats) ABC et A'B'C' ont leurs sommets deux à deux distincts, A de A', B de B' et C de C', sur trois droites distinctes passant respectivement par A et A', B et B', C et C' :

si les trois droites sont concourantes en un même point P, alors les trois points Q, R et S sont alignés
si les trois points Q, R et S sont alignés, alors les trois droites sont concourantes en un même point P.

Les points Q, R et S sont à l'intersection des droites passant respectivement par A, B et A', B' ; B, C et B', C' ; A, C et A', C'.

Comment passer du plan à la sphère

En construisant une configuration de Desargues dans un plan
En la projetant (projection centrale) sur la sphère

Exemples de projections : les points sur la sphère sont obtenus en reliant son centre aux sommets du triangle.

Configuration de Desargues dans le plan

Le triangle bleu A'B'C' est la projection du triangle rouge ABC depuis le point P (perspecteur). Les points S, Q et R sont alignés sur la perspectrice verte (droite de Desargues)

Illustration du théorème sur la sphère
En projetant la configuration de Desargues sur la sphère, on obtient :

Configuration de Desargues sur la sphère.

La question que se posait Flocon
Dans un carnet de 1981, Flocon écrit « Vérifier si le théorème de Desargues est vrai sur une sphère ! C'est-à-dire s'il y a six grands cercles qui se coupent deux à deux sur un septième si leurs intersections sont sur trois grands cercles concourants. » [1]
Les droites projetées sur la sphère deviennent des grands cercles. Chaque triangle donne lieu à trois grands cercles (seuls les arcs de ces grands cercles correspondant aux côtés des triangles sont dessinés pour faciliter la lecture de l'image). Ces six grands cercles se coupent deux à deux aux points S, Q, R situés sur un grand cercle (en vert. N.B. il faut prolonger les arcs AC et A'C' pour atteindre R). Et chacune de ces intersections est bien sur trois grands cercles concourants (un vert, un rouge et un bleu ) [2]

[1] FLN 1981 carnet 47.12, consulté par Vinciane Vuilleumier dans le cadre de son travail « Lineal und Zirkel. Die gestochenen Räume von Albert Flocon ». Masterarbeit vorgelegt der Philosophisch-Historischen Fakultät der Universität Basel im Fach Kunstgeschichte (Theorie der Bildwissenschaft).

[2] Des grands cercles sont dits concourants s'ils partagent deux points d'intersection diamétralement opposés.

Recherche de motifs dans un graphe

bernard.vuilleumier — 2024-05-27T13:44:04Z

Outil d'analyse de regroupements dans un graphe

Interactivité
Pour assimiler les effets de ces quelques commandes qui recherchent des motifs dans un graphe et pour générer d'autres graphes, vous pouvez utiliser la version interactive disponible sur le web ou :

installer Wolfram Playersur votre poste. Cette visionneuse est gratuite.
cliquer sur une des images ci-dessous pour télécharger l'outil d'analyse qui permet l'interactivité (notebook Mathematica)
ouvrir le fichier téléchargé avec la visionneuse (Wolfram Player)

2-clique

2-clan

2-club

2-plex

2-cœur composant

Voir en ligne : Version interactive

Introduction to differential equations

2022-01-22T11:09:44Z

A comprehensive introduction to fundamental concepts and solution methods for differential equations, including video lessons and interactive notebooks. Follow along with the examples in the Wolfram Cloud and use the material to prepare for courses in natural science, engineering, economics and other fields. The course starts with a discussion of direction fields and methods for solving first-order differential equations, followed by the study of second-order equations and their applications, and then moves on to solving systems of differential equations. Problem sessions, exercises and quizzes are provided for self-paced assessment. Earn a certificate by watching all lesson and problem session videos and completing the quizzes with a passing grade. Level I certification in Differential Equations is awarded to those who meet the completion requirements and also pass the course final exam.

Voir en ligne : Introduction to differential equations

Explorer et mettre en forme des données

bernard.vuilleumier — 2020-12-10T17:47:18Z

L'office fédéral de la statistique (OFS) met à disposition du public de très nombreuses données, notamment sous forme de fichiers Excel. Cet article détaille comment analyser et mettre en forme les données d'un de ces fichiers à l'aide du langage Wolfram afin d'en faciliter la consultation.

Import et analyse d'un fichier Excel
Le fichier à importer se nomme « cc-f-10.03.DD-11.xlsx ». Dans l'exemple ci-dessous, le chemin d'accès au répertoire est « /Users/bernard/Desktop ». L'import s'effectue alors avec les instructions suivantes :

In[1]:= SetDirectory["/Users/bernard/Desktop"] imp = Import["cc-f-10.03.DD-11.xlsx"]; Out[1]= "/Users/bernard/Desktop"

N. B. Les entrées et sorties sont numérotées. Le point virgule à la fin de la deuxième ligne de code supprime l'affichage des données qui sont affectées à la variable « imp ».
Les dimensions du fichier s'obtiennent avec :

In[3]:= Dimensions@imp Table[Dimensions[imp[[i]]], {i, 177}]; Out[3]= {177}

Le fichier présente trois dimensions. La première vaut 177 (nombre de mois) et les deux autres (attribuées aux pays et aux régions) sont variables. Ces deux dimensions apparaissent si on enlève le point virgule de l'entrée 4. La sortie 4 présente alors 177 listes de deux éléments donnant ces deux dernières dimensions. On remarque qu'elles valent 134 et 46 au maximum. La consultation et l'analyse de données recourent en général à des opérations de transposition (i. e. transformer les lignes en colonnes et réciproquement). Or cette opération, qui s'effectue avec la commande « Transpose », n'est possible que si les données se présentent sous la forme d'un « cube » de dimensions constantes. On obtient ce cube dans la variable « temp » en « rembourrant » les données :

In[5]:= temp = Table[PadRight[imp[[i]], {134(*nbr max de lignes*), 46(*nbr max de colonnes*)}, ""], {i,177(*nbr de mois*)}]; Dimensions@temp Out[6]= {177, 134, 46}

L'application « Nuitées en Suisse 2017-2020 »
Nous avons réalisé une application utilisant les données de ce cube. Elle permet de répondre rapidement aux questions suivantes sans risquer de se perdre dans les innombrables feuilles de calcul du fichier Excel :

quelles sont les régions d'accueil retenues ?
quel est le top 10 des provenances par régions pour les arrivées, les nuitées et la durée ?
que vaut le nombre d'arrivées, de nuitées et la durée pour ces provenances ?
comment ces nombres évoluent-il durant la période d'observation ?
comment cette évolution se présente-t-elle graphiquement ?

Cette application peut être utilisée en ligne. [1] Elle peut être téléchargée pour un usage local mais elle nécessite alors l'installation de Wolfram Player. [2]

Interface
L'accès aux données se fait via l'interface suivante :

Interface donnant accès aux données du « cube »

Les régions d'accueil se choisissent dans un menu déroulant :

Menu déroulant pour le choix d'une région d'accueil

L'affichage donne le top 10 des provenances et les nuitées. Les boutons permettent de voir tous les pays et de choisir l'origine des nombres :

Boutons

La case à cocher « voir l'évolution » permet de saisir en un coup d'œil cette dernière. Le curseur « mois » permet de se déplacer dans la période d'observation. Les points rouges correspondent au total du mois affiché dans le tableau.

Présentation graphique de l'évolution

Les points rouges correspondent au totaux (arrivées et nuitées)

Les points peuvent être reliés à l'aide de la case à cocher « interpoler ».

Présentation interpolée

Affichage du nombre d'arrivées et de nuitées

Consulter les données sur Wolfram Cloud pour la période :

Voir en ligne : Version interactive sur Wolfram Cloud

[1] Pour utiliser l'application en ligne, cliquez sur le lien puis identifiez-vous dans la fenêtre « Wolfram Cloud » (« sign in » en haut à droite de la fenêtre).

[2] Wolfram Player est gratuit (visionneuse).

Introduction to Notebooks

2020-08-15T09:58:39Z

It's free and easy to get started with open interactive courses using the Wolfram Cloud—sign in with your Wolfram ID or create one. No plan is required. This full interactive course includes video lessons, quizzes and a scratch notebook, all in an easy-to-use interface. A certificate of course completion is available. From the interactive course, click on Track My Progress to chart your certification progress as you go.

Voir en ligne : Introduction to Notebooks

An Elementary Introduction to the Wolfram Language

2020-08-15T09:55:11Z

It's free and easy to get started with open interactive courses using the Wolfram Cloud—sign in with your Wolfram ID or create one. No plan is required. Full interactive courses include short videos, video transcripts, exercises and a scratch notebook in an easy-to-use interface. Course videos feature step-by-step examples—pause anytime to try the exercises and check your results. Work on your own code in the scratch notebook and start using the Wolfram Language right away.

Voir en ligne : An Elementary Introduction to the Wolfram Language

Introduction to Linear Algebra

Devendra Kapadia — 2020-08-15T09:32:02Z

It's free and easy to get started with open interactive courses using the Wolfram Cloud—sign in with your Wolfram ID or create one. No plan is required. This full interactive course includes video lessons and applications, quizzes, a scratch notebook and a final exam, all in an easy-to-use interface. A certificate of course completion and Level I certification in linear algebra is available. From the interactive course, click on Track My Progress to chart your certification progress as you go. Recommended best practice for completing this interactive course is to start with Lesson 1, progressing through the video lessons and applications and taking each quiz in the order it appears in the table of contents.

Voir en ligne : Introduction to Linear Algebra

Introduction to Calculus

2020-08-15T09:27:14Z

It's free and easy to get started with open interactive courses using the Wolfram Cloud—sign in with your Wolfram ID or create one. No plan is required. This full interactive course includes video lessons, problem sessions, exercises, quizzes, a scratch notebook and a sample exam, all in an easy-to-use interface. A certificate of course completion and Level I certification in calculus is available. From the interactive course, click on Track My Progress to chart your certification progress as you go. Recommended best practice for completing this interactive course is to start with Lesson 1 and progress through the video lessons, working through each problem session and taking each quiz in the order it appears in the table of contents.

Voir en ligne : Introduction to Calculus

Around

bernard.vuilleumier — 2020-08-14T10:20:38Z

Le résultat d'une expérience est en général lié par une fonction aux grandeurs mesurées. Si l'évaluation numérique des grandeurs mesurées comporte une certaine incertitude, le résultat de l'expérience - qui s'obtient en combinant les grandeurs mesurées - en comportera aussi une. La fonction « Around » de Mathematica permet d'obtenir cette incertitude dans différentes situations.

Exercice 1
N. B. Les grandeurs et les incertitudes peuvent être données avec des unités

(D2 - D1)/2 /. {D2 -> Quantity[Around[2.67, .01], "Centimeters"], D1 -> Quantity[Around[19.5, .1], "Millimeters"]}

Exercice 2
Pi R^2 /. R -> Quantity[Around[5.21, .1], "Centimeters"]

Exercice 3

(2 a + 2 b) /. {a -> Quantity[Around[10.2, .1], "Meters"], b -> Quantity[Around[7.7, 0.08], "Meters"]}

a b /. {a -> Quantity[Around[10.2, .1], "Meters"], b -> Quantity[Around[7.7, 0.08], "Meters"]}

a b c /. {a -> Quantity[Around[10.2, .1], "Meters"], b -> Quantity[Around[7.7, 0.08], "Meters"], c -> Quantity[Around[3.17, 0.04], "Meters"]}

Exercice 4

m/V /. {m -> Quantity[Around[16.25, .1], "Grams"], V -> Quantity[Around[8.5, 0.4], "Centimeters"^3]}

Exercice 5

m/(Pi (D/2)^2 h) /. {m -> Quantity[Around[392.05, .05], "Grams"], D -> Quantity[Around[4.000, .005], "Centimeters"], h -> Quantity[Around[4.000, .005], "Centimeters"]}

Exercice 6

(4 Pi^2 l/T^2) /. {l -> Quantity[Around[1, .005], "Meters"], T -> Quantity[Around[2, 0.01], "Seconds"]}

Voir en ligne : Around

Construire des modèles pour simuler des comportements génériques

bernard.vuilleumier — 2020-06-17T07:30:00Z

Les comportements génériques du type « croissance ou déclin exponentiel », « croissance limitée », « courbe logistique » ainsi que les oscillations se rencontrent dans de très nombreuses situations. Ces comportements peuvent être simulés à l'aide de modèles simples.

Objectifs de l'activité

– Identifier, à partir de brèves descriptions, des grandeurs pertinentes.
– Proposer une représentation des grandeurs et phénomènes retenus.
– Lire et interpréter des graphiques.
– Formuler des hypothèses.
– Construire un modèle.
– Effectuer des simulations.

Observations

La propagation d'une rumeur est d'autant plus rapide que le nombre de personnes la connaissant est faible.
Une tasse de thé se refroidit d'autant plus vite que l'écart entre sa température et la température ambiante est grand.
Un condensateur se décharge d'autant moins rapidement que la charge qu'il accumule diminue.
Les rentrées d'intérêts sont proportionnelles au capital
L'occupation d'une « niche écologique » de capacité limitée est d'autant plus rapide que le nombre d'individus la peuplant est faible.

Schématisation
– Identifiez et nommez pour chacune des observations, les grandeurs que vous jugez pertinentes pour construire un modèle.
– Représentez, par un symbole adéquat, chacune des grandeurs retenues.
– Indiquez par des liens les relations qu'entretiennent ces grandeurs.

Modélisation
– Attribuez des valeurs et définissez les relations permettant d'obtenir les comportements suivants (avec les mêmes étendues pour les axes) :

1. Propagation d'une rumeur

2. Refroidissement d'une tasse de thé

3. Décharge d'un condensateur

4. Augmentation d'un capital

5. Occupation d'une niche écologique [1]

6. Amplitude et période d'oscillation d'un pendule

Déterminez, à l'aide d'une simulation, la période d'un pendule de longueur l=1 m et dont la vitesse initiale est nulle, pour les amplitudes initiales suivantes :

Amplitude en °	Période T en s
10
30
50
70
90

N. B. Pour tous vos modèles, vous donnerez les équations ainsi que les conditions de la simulation (durée, pas et méthode d'intégration).

Corrigé
Résultats

[1] Les paramètres de ce modèle peuvent être manipulés avec une interface interactive disponible dans l'article Manipuler les paramètres d'un modèle.