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L'infini

bernard.vuilleumier — 2026-05-30T19:46:04Z

L'infini est apparu à diverses époques du développement des mathématiques. Aristote se demande déjà si la fragmentation infinie d'une grandeur finie existe. Archimède fait usage d'un processus infini d'exhaustion pour assimiler du droit à du courbe. A la Renaissance, la traduction et la diffusion des œuvres d'Archimède amorcent la naissance du calcul infinitésimal dans lequel la notion d'infini est systématiquement présente. Mais cet engagement de l'infini provoque aussitôt des difficultés considérables : qu'est-ce qu'une somme comme celle que ce calcul exige ? S'agit-il d'une somme infinie d'éléments infiniment petits, d'une somme finie d'éléments infinitésimaux ou bien d'une somme finie d'éléments infimes mais finis ? Le calcul et ses habiletés domineront les justifications conceptuelles, insuffisantes ou absentes jusqu'à l'élaboration rigoureuse – par Dedekind et Cantor à la fin du XIXe siècle – du concept d'infini.

Voir aussi : Limit at Infinity from the Wolfram Demonstrations Project.

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Hasard et sélection

bernard.vuilleumier — 2026-04-30T18:38:58Z

Pour le Britannique Richard Dawkins (1), qui est porte parole d'une version moderne et agressive du darwinisme, l'évolution peut être expliquée par le couple « mutations aléatoires – sélection ». D'autres scientifiques en revanche pensent que le darwinisme, bien qu'il présente une certaine valeur descriptive, n'explique rien du tout mais se borne à des constats écologiques sur l'abondance relative des espèces et des biotopes. Personne ne conteste la sélection naturelle ; mais elle n'exprime qu'une chose : rien n'existe qui ne soit assez solide pour exister ! Dans une zone qui se désertifie, les espèces qui disparaissent le plus vite sont certes celles qui ont le plus besoin d'eau. Mais cela n'explique pas l'apparition chez les survivants de structures dont les propriétés fonctionnelles leur permettent de mieux résister à la sécheresse. Le concept de sélection n'est pas un concept très fort et en aucun cas un instrument de preuve car il ne permet pas de prédire, sauf à assigner un but à l'évolution.

(1) Dawkins, Richard, L'horloger aveugle, Paris : Robert Laffont, 1989.

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L'adaptation

bernard.vuilleumier — 2026-04-07T12:33:07Z

Pour un biologiste, la notion d'adaptation s'applique principalement à un organisme entier. Elle fait intervenir la fécondité, la fertilité, ainsi que d'autres facteurs contribuant à la pérennité d'une espèce. La fréquence des variantes génotypiques d'un organisme dans une population, la densité des différents génotypes dans une région, et même l'écosystème entier avec lequel chaque organisme interagit contribuent à la notion d'adaptation. Dans ce contexte général, il est difficile d'assigner une valeur adaptative à un gène, voire même à un génotype, car l'adaptation dépend des relations entre les organismes d'une population et du milieu dans lequel ils vivent. Mais il est possible de restreindre la notion d'adaptation en considérant n'importe quelle propriété bien définie et sa distribution parmi un ensemble.

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Le jeu du chaos

bernard.vuilleumier — 2026-02-28T16:52:23Z

Pour jouer à ce jeu, il vous faut une feuille de papier, un crayon, une règle graduée et un dé. Dessinez un triangle équilatéral sur la feuille de papier et numérotez les sommets de 1 à 3. Choisissez arbitrairement un point $P_0$ sur votre feuille ; tirez au hasard (à l'aide du dé par exemple) un des sommets du triangle ; reliez $P_0$ à ce sommet et placez, au milieu du segment ainsi obtenu, le point $P_1$. Tirez au hasard un des sommets du triangle ; reliez $P_1$ à ce sommet et placez, au milieu du segment ainsi obtenu, le point $P_2$ ; etc. Ceux qui voudraient utiliser un ordinateur pour obtenir plus de points avant de se lasser peuvent définir la séquence de points $P_1$, …, $P_n$ en répétant n fois les instructions suivantes :

– tirer au hasard un des sommets du triangle ;
– relier le point courant $P_n$ à ce sommet (après le premier tirage, le point courant est $P_0$ ;
– placer au milieu du segment ainsi obtenu le point $P_{n+1}$ qui devient le nouveau point courant ;
– répéter les opérations ci-dessus.

Voir aussi : Chaos from the Wolfram Demonstrations Project.

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Visualiser des données 3D

bernard.vuilleumier — 2026-01-30T11:04:06Z

Créer des images à partir de données numériques est un problème qui revêt une grande importance pour tous ceux qui utilisent un ordinateur. Les logiciels disponibles pour réaliser cette tâche sont de plus en plus nombreux et certains offrent de remarquables possibilités. Pour parler de visualisation de données numériques, il est nécessaire de développer un système de classification. Une caractéristique de base d'un ensemble de données est sa dimension, c'est-à-dire le nombre d'item que comprend chaque donnée. Par exemple un ensemble de points sur une droite a la dimension 1, un ensemble de points sur un plan la dimension 2 et un ensemble de points dans l'espace la dimension 3. Une autre caractéristique est le nombre de variables indépendantes et le nombre de variables dépendantes d'une donnée. Les ensembles de données de dimension 3 par exemple qui possèdent une variable indépendante sont bien représentés par une courbe, alors qu'une surface est plus appropriée pour ceux à deux variables indépendantes.

Voir aussi : 3D Graphics from the Wolfram Demonstrations Project.

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Audition et illusions

bernard.vuilleumier — 2026-01-05T10:49:01Z

L'audition est une relation de caractère subjectif entre l'excitation acoustique et la sensation physiologique. L'audition biauriculaire permet de localiser dans une certaine mesure les sources sonores et crée une impression de relief acoustique. L'oreille est sensible aux effets de masque : les diverses fréquences perçues simultanément se masquent plus ou moins les unes les autres et peuvent même créer, dans certaines conditions, des fréquences nouvelles (non linéarité de l'oreille).

Voir aussi : Shepard Tones from The Wolfram Demonstrations Project.

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Communiquer

bernard.vuilleumier — 2025-12-01T06:58:45Z

Communiquer, c'est transmettre des messages. Pour élaborer un message, nous recourons à des systèmes de signes et à divers langages. Le langage naturel fait appel à des phrases construites de mots, eux-mêmes constitués de lettres. Les symboles utilisés peuvent être des formes sonores émises par l'appareil vocal, des marques sur une feuille de papier ou des « bits » informatiques. De tels systèmes de signes permettant de représenter ou de transmettre de l'information sont appelés codes. La révolution numérique qui affecte de nos jours l'informatique et les télécommunications – réseaux mondiaux comme Internet, transmissions par satellites, réseaux numériques à intégration de services – oblige à concevoir des codes capables de transmettre de grandes quantités d'information avec un faible taux d'erreur. C'est le rôle dévolu aux codes correcteurs d'erreurs.

Voir aussi Communication sur Wolfram Demonstration Project

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Tableau synoptique des lettres du Club Math

bernard.vuilleumier — 2025-11-02T11:26:38Z

Actuellement, seules les lettres de janvier à novembre 1995 sont accessibles.

Tableau synoptique des lettres du Club Math de 1995 à 1998

	1995	1996	1997	1998
Janvier	Autosimilitude	Audition et illusions	Histoires de tortues	La recherche du « vrai »
Février	Géométrie fractale	Visualiser des données 3D	Ecouter des nombres	Représenter les nombres
Mars	Complexité	Le jeu du chaos	L'ordre et le chaos	Calcul numérique
Avril	Émergences	L'adaptation	Déceler l'ordre caché	Nombres, programmes et complexité
Mai	Vérité et consistance	Hasard et sélection	Forme et contrainte	Ordres de grandeur
Septembre			La mesure et l'erreur
Octobre	Joueurs, estimez vos chances !	L'infini	Randonnées
Novembre	Astrométrie	Déformations et dimensions	Quérir la simplicité
Décembre	Communiquer	La flèche du temps	L'effet papillon

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Astrométrie

bernard.vuilleumier — 2025-10-31T19:44:59Z

Pour étudier le mouvement des astres et l'interpréter, l'astronome doit d'abord repérer ces derniers, c'est-à-dire rapporter leur position apparente à des systèmes d'axes convenablement choisis : c'est là le but de l'astrométrie. Cette science s'intéresse à la direction des astres et non à leur distance. Comme notre œil n'est pas sensible aux distances d'objets très éloignés, les astronomes utilisent la notion de sphère céleste, qui est une sphère de rayon indéterminé sur laquelle se projettent tous les astres. En un lieu donné, l'aspect du ciel change d'un moment à l'autre : la sphère céleste semble tourner autour de la Terre en raison de la rotation de la Terre sur elle-même. Mais, sur cette sphère, la grande majorité des astres restent fixes les uns par rapport aux autres, d'où la notion de sphère des fixes. La position relative de certains astres n'est toutefois pas invariable. Ceux qui présentent un mouvement apparent par rapport à la sphère des fixes sont appelés astres mobiles. La Lune, le Soleil et les planètes sont les plus importants des astres mobiles.

Systèmes de coordonnées horizontales, horaires et équatoriales

Dans ces trois systèmes, la position d'un astre est repérée à l'aide de deux angles donnés dans des plans perpendiculaires passant par le centre de la sphère. Les deux premiers systèmes sont liés à la « sphère locale », le troisième est lié à la « sphère des fixes ».

Voir aussi : Equatorial Telescope Mounts from the Wolfram Demonstrations Project.

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Résolution de l'équation f(x)=0 par la méthode de Newton. Corrigé

bernard.vuilleumier, ChatGPT — 2025-10-15T10:14:08Z

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Résumé de la lettre, extensions

La méthode de Newton (ou méthode de Newton–Raphson)

Question 1
1. Principe géométrique

L'idée repose sur une approximation linéaire locale de la fonction par sa tangente. Si l'on connaît une estimation $x_{k}$ telle que $f(x_{k})$ soit proche de zéro, on remplace la courbe $y=f(x)$ par sa tangente au point $(x_{k}, f(x_{k}))$. L'intersection de cette tangente avec l'axe des $x$ fournit une meilleure approximation $x_{k+1}$.

Sur le plan, cela correspond à :

tracer la tangente à la courbe en $x_{k}$ ;
prolonger cette droite jusqu'à l'axe $x$ ;
prendre cette abscisse d'intersection comme nouvelle estimation.

2. Formule de récurrence

L'équation de la tangente en $x_{k}$ est [1] :

$y = f(x_k) + f'(x_k)\,(x - x_k)$

Le point d'intersection avec l'axe des $x$ correspond à $y=0$, d'où :

$0 = f(x_{k}) + f'(x_{k})(x_{k+1} - x_{k}) \quad\Longrightarrow\quad x_{k+1} = x_{k} - \dfrac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}$

Cette formule de Newton définit une suite $(x_{k})$ qui converge vers la racine cherchée $x^{*}$, sous certaines conditions.

3. Conditions de convergence

La méthode converge très rapidement si :

la fonction $f$ est dérivable et $f'$ non nulle près de la racine ;
le point de départ $x_{0}$ est suffisamment proche du zéro réel.

Si $f'(x)$ est nulle ou si l'on part trop loin, la méthode peut diverger ou osciller.

4. Exemple : $f(x) = e^{x} - 2$

En partant de $x_{0} = 1.3$, les itérations donnent :

$x_0 = 1{,}3$

$x_1 = x_0 - \dfrac{e^{x_0}-2}{e^{x_0}} = 1{,}3 - \dfrac{e^{1{,}3}-2}{e^{1{,}3}} \approx 0{,}84506$

$x_2 = x_1 - \dfrac{e^{x_1}-2}{e^{x_1}} = 0{,}84506 - \dfrac{e^{0{,}84506}-2}{e^{0{,}84506}} \approx 0{,}70412$

$x_3 = x_2 - \dfrac{e^{x_2}-2}{e^{x_2}} = 0{,}70412 - \dfrac{e^{0{,}70412}-2}{e^{0{,}70412}} \approx 0{,}69321$

Zéro exact : $x^*=\ln 2 \approx 0{,}69315$. Après trois itérations : $|x_3 -x^*| \approx 6\times 10^{-5}$.

On voit la convergence très rapide vers $\ln(2)$ en seulement trois étapes.

5. Interprétation graphique

Chaque itération correspond à un nouveau contact tangentiel entre la courbe et une droite qui se rapproche du zéro :

au départ, la tangente part de loin et coupe l'axe assez grossièrement ;
à chaque étape, la tangente est tracée plus près du zéro réel ;
la succession des points $(x_{k}, 0)$ montre visuellement la convergence vers la racine.

Cette méthode illustre la puissance des approches itératives en analyse numérique : une simple relation locale (tangente) permet d'obtenir une très bonne précision en quelques étapes.

Question 2

Question 3
Voici la méthode de Newton appliquée à :

$f(x)=x^{2}-1,\qquad f'(x)=2x,\qquad x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})} =\tfrac{1}{2}\left(x_{k}+\frac{1}{x_{k}}\right),\quad (x_{k}\neq 0).$

Convergence vers $+1$

$x_{0}$	étapes pour atteindre $1$ (tolérance $\|x-1\|\lt10^{-12}$)
-1	déjà une racine $\Rightarrow$ séquence constante $(-1)$. $0$ étape
$0$	$x_{0}=0$ : $f'(0)=0$ ($\Rightarrow$) méthode non définie (division par $0$)
1	déjà une racine $\Rightarrow$ séquence constante $(1)$. $0$ étape
10	8
100	11
1000	14
10000	18

Remarques

Sauf si l'on part exactement d'une racine ($\pm1$), on n'atteint pas $1$ en un nombre fini d'itérations : on s'en approche. Le comptage ci-dessus correspond à un arrêt pour $|x-1|\lt10^{-12}$.

Près de $1$, l'erreur vérifie $e_{k+1}\approx \tfrac{1}{2}\,e_{k}^{2}$, ce qui traduit la convergence quadratique.

Pour $x_{0}\gt0$, la suite est monotone décroissante vers $1$.
Pour $x_{0}\lt0$ (et $\neq 0$), elle converge vers $-1$.

Question 4

Itération de Newton pour $f(z)=z^{2}-1$ dans $\mathbb{C}$ avec $z_0\neq 0$. La fonction d'itération de Newton associée à $f(z)=z^2-1$ est :

$N(z)=z-\dfrac{f(z)}{f'(z)}=\dfrac{1}{2}\Bigl(z+\dfrac{1}{z}\Bigr)$

Sa dérivée s'obtient par différentiation directe :

$N'(z)=\dfrac{1}{2}\Bigl(1-\dfrac{1}{z^2}\Bigr)$

a) Première estimation avec $\Re(z_0)<0$

On a $1/z=\overline z/|z|^2$ [2]. Donc $\Re(1/z_0)=\Re(z_0)/|z_0|^2<0$, et

$\Re(z_1)=\dfrac{1}{2}\bigl(\Re(z_0)+\Re(1/z_0)\bigr)<0$

La demi-plan gauche est invariant pour l'itération, et la suite converge quadratiquement vers la racine $-1$ car $N'(-1)=0$.

b) Première estimation avec $\Re(z_0)>0$

Même raisonnement. On a $\Re(1/z_0)>0$ donc $\Re(z_1)>0$.
La demi-plan droit est invariant et la suite converge quadratiquement vers la racine $+1$ car $N'(1)=0$.

Le plan complexe est scinde en deux bassins d'attraction :

Si $\Re(z_0)<0$, convergence vers $-1$.
Si $\Re(z_0)>0$, convergence vers $+1$.
Axe imaginaire $\Re(z_0)=0$ : il est invariant.

En effet :

$z_{n+1}=\dfrac{1}{2}\Bigl(z_n+\dfrac{1}{z_n}\Bigr)\in i\mathbb{R}$

et la suite tend vers $0$ qui n'est pas une racine ; l'algorithme échoue car on finit par viser la singularite $z=0$. En particulier, pour $z_0=\pm i$ on obtient $z_1=0$ en une étape, puis l'itération est impossible.

Remarque
La convergence est quadratique vers $\pm 1$ dès lors que $z_0$ n'est pas sur l'axe imaginaire et $z_0\neq 0$.

Question 5

a) Résoudre l'équation $z^3=1$.
Solutions exactes :

$z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)=0$

d'où [3] :

$z_k=e^{2\pi i k/3},\quad k=0,1,2.$

Donc :

$z_0=1,\quad z_1=e^{2\pi i/3}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i,\quad z_2=e^{4\pi i/3}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i.$

b) Représentation dans le plan complexe

c) Méthode de Newton pour $z^3=1$.
Pour $f(z)=z^3-1$, on a $f'(z)=3z^2$. L'itération de Newton est

$z_{n+1}=z_n-\dfrac{z_n^3-1}{3z_n^2} =\dfrac{2z_n^3+1}{3z_n^2} =\dfrac{1}{3}\Bigl(2z_n+\dfrac{1}{z_n^2}\Bigr),\quad z_n\neq 0.$

Chaque racine $1$, $\omega=e^{2\pi i/3}$, $\omega^2=e^{4\pi i/3}$ est un point fixe attractif (racines simples) ; il y a convergence quadratique dès que l'on est suffisamment près.

Le plan complexe est partagé en trois bassins d'attraction (symétrie à $120^\circ$) ; pour presque tout $z_0\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ (complémentaire de $0$ dans $\mathbb{C}$), la suite converge vers l'une des trois racines.

Les frontières entre bassins forment un ensemble fractal (ensemble de Julia). Les itérés qui passent par $z=0$ rendent la formule inapplicable (pôle de l'itération).

Question 6

Bassins d'attraction

Frontière entre les bassins

Ce qu'on observe :

Trois bassins d'attraction (symétrie à 120°). Le rouge menant à $1$, le bleu à $\omega$ et le vert à $\omega^2.$ Si un point de départ $z_0$ est situé dans l'un de ces bassins, même s'il est très loin du centre, il finira par converger vers la solution associée au bassin.
Les frontières entre les bassin d'attraction forment un ensemble fractal (ensemble de Julia de $N$) : une structure enchevêtrée et autosemblable qui sépare les régions de convergence.
Près de ces frontières, la convergence devient lente et chaotique : de minuscules variations de $z_0$ changent la racine atteinte.

[1] Droite point-pente utilisée pour la tangente : $y - y_0 = a(x - x_0)$. Passe par $(x_0,y_0)$ avec pente $a$.

[2] Pour tout nombre complexe $z=x+iy$ (avec $x,y\in\mathbb{R}$), on a :

$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+iy}=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}$

En remarquant que $\overline z = x - i y$ et que $|z|^2 = x^2 + y^2$, on obtient l'identité fondamentale :

$\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline z}{|z|^2}$

Conséquence : la partie réelle et la partie imaginaire de $1/z$ ont le même signe que celles de $\overline z$. Ainsi, si $\Re(z)<0$, alors $\Re(1/z)<0$ également.

[3] Notations : $\omega=e^{2\pi i/3}$, $\omega^2=e^{4\pi i/3}$.
Propriétés : $\omega^3=1$, $1+\omega+\omega^2=0$, $|\omega|=1$.