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Etablir et interpréter un graphique

bernard.vuilleumier — 2020-09-24T06:58:02Z

Pente, ordonnée à l'origine et ajustement d'une droite. Approche intuitive de la méthode des moindres carrés.

Distance sur une sphère : réponses aux questions

bernard.vuilleumier — 2009-04-23T12:05:33Z

Consultations préalables
– Protocole de l'expérience
– Coordonnées sphériques
– Coordonnées géographiques

Réponses aux questions

Question 1 (2 points)
Qu'est-ce qu'une latitude ? Et une longitude ? Qu'appelle-t-on « grand cercle » sur une sphère ?

Latitude et longitude sont des coordonnées angulaires permettant de donner la position d'un point sur une sphère. Un grand cercle est l'intersection d'un plan passant par le centre de la sphère avec cette dernière.

Question 2 (2 points)
Quelles conventions utilise-t-on pour les latitudes et les longitudes des lieux géographiques ? Quelle origine utilise-t-on sur Terre ?

Les latitudes sont comprises entre 0° pour l'équateur et 90° pour les pôles. Soit on les compte positivement vers le Nord et négativement vers le Sud, soit on précise « latitude Nord » ou « latitude Sud ». Les longitudes sont comptées positivement vers l'Est et négativement vers l'Ouest de 0 à 180° à partir du méridien de référence (méridien de Greenwich). Si on n'utilise pas les signes, il faut préciser « longitude Est » ou « longitude Ouest ». L'origine de ces coordonnées angulaires est l'intersection la plus proche de Greenwich du méridien avec l'équateur.

Question 3 (2 points)
Trouvez, dans un atlas ou à l'aide de Google Earth, les latitudes et longitudes de quatre capitales : deux dans chaque hémisphère, deux à l'Est et deux à l'Ouest du méridien de référence.

Question 4 (4 points)
Exprimez les coordonnées cartésiennes (x, y, z) d'un point sur une sphère de rayon r à l'aide des coordonnées sphériques (r, θ, φ).

Il existe plusieurs conventions. Nous utiliserons la suivante dans laquelle θ est la latitude et φ la longitude :

x = r cosθ cosφ
y = r cosθ sinφ
z = r sinθ

Question 5 (5 points)
Établissez l'expression permettant de calculer la longueur d'un arc de grand cercle reliant deux points situés sur une sphère de rayon r et dont les latitudes et longitudes sont connues.

On exprime les coordonnées (x, y, z) des points p₁ et p₂ à l'aide des coordonnées sphériques, on forme le produit scalaire entre les vecteurs reliant l'origine à ces points p₁ et p₂ ($\vec{p_1}.\vec{p_2}= x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2$) et on utilise la propriété suivante du produit scalaire pour trouver α :

$\vec{p_1}.\vec{p_2}=||\vec{p_1}|| ||\vec{p_2}|| cos\alpha=r^2 cos\alpha$

Une fois α connu, la longueur d'arc s s'obtient par ;

s = α r

Sujets liés (from Wolfram Demonstrations Project)
– Shortest Path between Two Points on a Sphere
– World Map Projections

Wolfram Demonstrations Project : mode d'emploi

Résistivité : réponses aux questions

bernard.vuilleumier — 2009-04-23T12:05:29Z

Consultations préalables
– J.-A. Monard, Électricité, Chap. 11, $\S$ 84, 85, 86.
– Protocole de l'expérience
– La loi d'Ohm

Réponses aux questions

Question 1 (2 points)
Qu'appelle-t-on résistivité d'un matériau et quelles sont les unités de la résistivité ? Donnez la relation liant la résistance à la résistivité d'un matériau.

La résistivité ρ est un coefficient de proportionnalité entre la résistance R d'un conducteur et ses caractéristiques géométriques (longueur l et section S). Il s'exprime en Ωm. :
$R= \rho \frac{l}{s} $
Ce coefficient ρ caractérise la matière dont est fait le conducteur.

Question 2 (2 points)
Quel rôle la résistivité du sol joue-t-elle dans les prises de terre équipant les appareils électriques (machine à laver par exemple) et de quels facteurs dépend-elle ?

Une prise de terre est un dispositif de sécurité permettant d'éviter l'électrocution en cas de contact avec un appareil électrique défectueux. Une faible résistivité du sol assure une bonne sécurité de la prise de terre. La résistivité d'un sol dépend de sa nature (béton, roche, terre, sable etc.).

Question 3 (2 points)
Comment procède-t-on pour mesurer la résistivité des sols ?

On plante 4 piquets alignés et équidistants notés 1, 2, 3 et 4. Le courant de mesure est injecté entre les piquets 1 et 4 et la résistance est mesurée entre 2 et 3. Si la distance entre 2 piquets est égale à d, la résistivité du sol se calcule avec la formule :

$\rho = 2 \pi d R_{23}$

Cette formule est établie en supposant que les électrodes sont en contact avec une surface plane et « voient » un angle solide de 2π stéradians.

Question 4 (4 points)
Quelle particularité les conducteurs ohmiques présentent-ils ? Et les matériaux
supraconducteurs ?

Un conducteur ohmique est un dipôle qui respecterait idéalement la loi d'Ohm. C'est à dire que la valeur de la résistance d'un conducteur ohmique multipliée par l'intensité de courant qui la traverserait, serait exactement équivalent à la tension.
Un matériau supraconducteur offre une résistance électrique nulle et le champ magnétique à l'intérieur du matériau s'annule. Ce phénomène de supraconductivité se manifeste à des températures avoisinant le zéro absolu. L'explication de la supraconductivité est intimement liée aux caractéristiques quantiques de la matière.

Question 5 (5 points)
Comment la résistivité des conducteurs ohmiques varie-t-elle avec la température ? Exprimez la résistance d'un fil de tungstène en fonction de sa température en donnant la valeur numérique du coefficient de température de sa résistivité.

La résistivité des conducteurs ohmiques augmente avec la température.

$\rho = \rho_0(1+\alpha\Delta T)$

$R = R_0(1+\alpha\Delta T)$ Le coefficient de température de la résistivité du tungstène vaut $\alpha=4 \times 10^{-3} K^{-1}$.

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Wolfram Demonstrations Project : mode d'emploi

Bobines de Helmholtz : réponses aux questions

bernard.vuilleumier — 2009-04-23T12:05:26Z

Consultations préalables – Protocole de l'expérience – Bobines de Helmholtz – Champ magnétique en fonction de la distance entre les bobines

Réponses aux questions

Question 1 (2 points) Qu'est-ce qu'une configuration de Helmholtz ? Quelles sont ses propriétés ?

Une configuration de Helmholtz est un dispositif constitué de deux bobines plates identiques. Les bobines ont un axe commun et sont séparées par une distance égale à leur rayon. Cette configuration permet d'obtenir un champ magnétique pratiquement uniforme entre les bobines.

Question 2 (2 points) Dans quel sens le courant circule-t-il dans chaque bobine dans une telle configuration ?

Dans le même sens.

Question 3 (2 points) Quelle est la loi physique qui permet d'obtenir la valeur du champ magnétique sur l'axe des bobines ?

C'est la loi de Biot et Savart :

$d\vec B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\vec s \times \vec r}{r^3}$ L'élément infinitésimal de longueur $d\vec s $ parcouru par le courant I, crée le champ magnétique élémentaire $d\vec B$ au point P : Question 4 (4 points) Quelle est l'expression du champ magnétique B créé par une bobine de N spires de rayon R à une distance x de son centre mesurée sur l'axe passant par ce centre et perpendiculaire au plan de la bobine ? Pour un conducteur en forme de boucle, l'angle entre $d\vec s$ et $\vec r$ est un angle droit. La grandeur de $d\vec B$ vaut donc : $\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{ds}{r^2}$ Seule la composante selon Ox contribue au champ $\vec B$ (par symétrie, les composantes selon Oy et Oz s'annulent). Exprimons la composante de $d\vec B$ selon Ox : $dB_x=dB sin\alpha=dB\frac{R}{r}=\frac{\mu_0 I R}{4\pi}\frac{ds}{r^3}$ En additionnant tous les éléments ds du conducteur (intégrale de ds sur la spire) on obtient la circonférence $2\pi R$ de la spire. La grandeur du champ résultant $\vec B$ vaut donc, pour N spires : $B=\frac{\mu_0 NI}{2}\frac{R^2}{r^3}$ En exprimant r à l'aide de $R$ et de x, on obtient : $r=\sqrt{R^2+x^2}$ $B=\frac{\mu_0N I}{2}\frac{R^2}{(R^2+x^2)^\frac{3}{2}}$ Question 5 (5 points) Comment passe-t-on de cette expression à celle donnant le champ magnétique B au centre d'une configuration de Helmholtz ?

En multipliant l'expression précédente par 2 (deux bobines) et en remplaçant x par R/2, on obtient, pour le champ au centre du dispositif :

$B=\frac{8\mu_0 N I}{5\sqrt{5}R_{bobine}}$

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Wolfram Demonstrations Project : mode d'emploi

Champ magnétique d'un solénoïde : réponses aux questions

bernard.vuilleumier — 2009-04-23T12:05:24Z

Consultations préalables
– J.-A. Monard, Électricité, Chap. 15. Chap. 17, $\S$ 122. Chap. 20, $\S$ 145.
– Protocole de l'expérience
– Induction magnétique dans un solénoïde
– Perméabilité du vide

Réponses au questions

Question 1 (2 points)
Qu'est-ce qu'un solénoïde et quelle est l'utilité d'un solénoïde ?

Un solénoïde est constitué d'un long fil enroulé sur un cylindre de longueur l et de rayon r tel que la longueur soit bien plus grande que le rayon (l>>r). On désigne par N le nombre de tours effectués par le fil. Un solénoïde permet de créer, en son intérieur, un champ magnétique uniforme.

Question 2 (2 points)
Comment modélise-t-on un solénoïde pour calculer le champ magnétique qu'il produit ?

On considère le solénoïde comme l'assemblage de N spires et on calcule le champ en son centre en sommant les contributions de chaque spire en ce point.

Question 3 (2 points)
Quelle est la loi physique qui permet d'obtenir la valeur du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde en un point de son axe ?

C'est la loi de Biot et Savart :

$d\vec B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\vec s \times \vec r}{r^3}$

L'élément infinitésimal de longueur $d\vec s $ parcouru par le courant I, crée le champ magnétique élémentaire $d\vec B$ au point P :

Question 4 (4 points)
Quelle est l'expression du champ magnétique B créé par une spire de courant de rayon R à une distance x de son centre, distance mesurée sur l'axe passant par ce centre et perpendiculaire au plan de la spire ?

Pour un conducteur en forme de boucle, l'angle entre $d\vec s$ et $\vec r$ est un angle droit. La grandeur de $d\vec B$ vaut donc :

$\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{ds}{r^2}$

Seule la composante selon Ox contribue au champ $\vec B$ (par symétrie, les composantes selon Oy et Oz s'annulent). Exprimons la composante de $d\vec B$ selon Ox :

$dB_x=dB sin\alpha=dB\frac{R}{r}=\frac{\mu_0 I R}{4\pi}\frac{ds}{r^3}$

En additionnant tous les éléments ds du conducteur (intégrale de ds sur la spire) on obtient la circonférence $2\pi R$ de la spire. La grandeur du champ résultant $\vec B$ vaut donc :

$B=\frac{\mu_0 I}{2}\frac{R^2}{r^3}$

En exprimant r à l'aide de $R$ et de x, on obtient :

$r=\sqrt{R^2+x^2}$

$B=\frac{\mu_0 I}{2}\frac{R^2}{(R^2+x^2)^\frac{3}{2}}$

Question 5 (5 points)
Comment passe-t-on de cette expression à celle donnant la grandeur du champ magnétique $\vec B$ au centre d'un solénoïde de N spires et de longueur l ?

En multipliant l'expression ci-dessus par le nombre de spires par mètre $\frac{N}{l}$ et en l'intégrant avec Mathematica de $x=-\frac{l}{2}$ à $x=\frac{l}{2}$ :

mu0*n*i/(2 l)*Integrate[R^2/(R^2 + x^2)^(3/2), {x, -l/2, l/2}, Assumptions -> {R > 0, l > 0}]

$B=\frac{\mu _0\text{NI}}{2l}\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{R^2}{\left(R^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \, dx = \frac{\mu _0\text{NI}}{\sqrt{l^2+4 R^2}}$

Autres questions sur l'électromagnétisme
– Bobines de Helmholtz
– Charge et décharge d'un condensateur
– e/m Rapport charge sur masse de l'électron
– Force de Laplace
– Résistivité

Sujets liés (from Wolfram Demonstrations Project)
– Energy Density of a Magnetic Dipole
– Spherical Shell in a Magnetic Field

Wolfram Demonstrations Project : mode d'emploi

Charge et décharge d'un condensateur : réponses aux questions

bernard.vuilleumier — 2009-04-23T12:05:16Z

Consultations préalables
– J.-A. Monard, Électricité, Chap. 22, $\S$ 175, 176.
– Protocole de l'expérience
– Décharge d'un condensateur
– Charge et décharge d'un condensateur à travers une résistance

Réponses aux questions

Question 1 (2 points)
Qu'est-ce qu'un condensateur et quelle est l'utilité d'un condensateur ?

Un condensateur est un composant électrique dont l'utilité est de pouvoir recevoir et rendre une charge Q dont la valeur est proportionnelle à la tension U.
Q = CU

La constante de proportionnalité C est appelée « capacité » du condensateur.

Question 2 (2 points)
Comment définit-on la capacité d'un condensateur ?

La capacité C d'un condensateur est donnée par $C=\frac{Q}{U}$.

Question 3 (2 points)
Quelle relation existe-t-il entre la charge accumulée par un condensateur et la tension aux bornes du condensateur ?

Une relation de proportionnalité.

Question 4 (4 points)
Un condensateur est monté en série avec une résistance, un générateur et un interrupteur (fermé) dans un circuit. Faites un schéma de ce montage. Complétez le schéma pour permettre la décharge du condensateur lorsqu'on ouvre l'interrupteur.

Charge et décharge d'un condensateur à travers une résistance

Question 5 (5 points)
Établissez les équations donnant la loi de charge et la loi de décharge de ce condensateur.

Pour la charge, on considère la boucle formée par le circuit et on utilise la loi de Kirchhoff qui affirme que la somme des tensions est nulle le long de toute maille d'un circuit. On pose donc ${{RI}+\frac{Q}{C}-{U_{gén}}}=0$, ce qui permet d'écrire $R{\frac{dQ(t)}{dt}+\frac{Q(t)}{C}=U_{gén}}$. En résolvant cette équation différentielle avec Mathematica.
```
sol = DSolve[{r*q'[t] + q[t]/c == ug, q[0] == 0}, q[t], t]
sol[[1, 1, 2]]/c //Simplify
```
avec la condition initiale $Q(0)=0$, et en divisant la solution par C, on obtient la loi de charge :
${U(t)}={U_{gén}(1- e^{-\frac{t}{\tau}})=U_{gén}(1-e^{- \frac{t}{RC}})}$

Pour la décharge, $RI+\frac{Q}{C}=0$, donc $R\frac{dQ(t)}{dt}+\frac{Q(t)}{C}=0$. En résolvant cette équation différentielle avec Mathematica.
```
sol = DSolve[{r*q'[t] + q[t]/c == 0, q[0] == q0}, q[t], t]
sol[[1, 1, 2]]/c //Simplify
```
avec la condition initiale $Q(0)= Q_0$, et en divisant la solution par C, on obtient la loi de décharge :

$U(t)=U_0 e^{-\frac{t}{\tau}}=U_0 e^{- \frac{t}{RC}}$

Autres questions sur l'électromagnétisme
– Bobines de Helmholtz
– Champ magnétique d'un solénoïde
– e/m Rapport charge sur masse de l'électron
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– Capacitors in Circuits
– Frequency Response of an LCR Circuit

Wolfram Demonstrations Project : mode d'emploi

Gravitation : questions réponses

bernard.vuilleumier — 2007-05-06T20:17:18Z

301PYos 2006-2007. Cours de physique. Questions posées et réponses apportées sur la gravitation.

- Aide en ligne

Électromagnétisme : questions réponses

bernard.vuilleumier — 2007-03-06T17:43:59Z

L'électromagnétisme est régi par quelques lois fondamentales :

Un champ électrique exerce une force sur une charge.
Un champ magnétique exerce une force sur un courant (ou sur une charge en mouvement).
Une charge crée un champ électrique. Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la somme des charges situées à l'intérieur de cette surface.
Un courant crée un champ d'induction magnétique. La circulation de l'induction le long d'une courbe fermée est proportionnelle au courant enlacé par cette courbe.
Un champ électrique dans un conducteur provoque un courant. La densité de courant est proportionnelle au champ électrique.
Une variation de champ magnétique crée un champ électrique.
Une variation de champ électrique crée un champ magnétique.

Une charge crée un champ électrique. Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la somme algébrique des charges situées à l'intérieur de cette surface :

$\Psi_0=\frac{1}{\epsilon_0}Q_{enferm\acute{e}e}$

Un courant crée un champ d'induction magnétique. La circulation de l'induction le long d'une courbe fermée est proportionnelle au courant enlacé par cette courbe :

$C_0=\mu_0 I_{enlac\acute{e}}$

Un champ électrique exerce une force sur une charge :

$\vec F=q\vec E$

Un champ magnétique exerce une force sur un courant (ou sur une charge en mouvement) :

$\vec F=I\vec l \times \vec B$ $ou$ $\vec F=q\vec v\times \vec B$

Un champ électrique dans un conducteur provoque un courant. La densité de courant est proportionnelle au champ électrique :

$U=RI$ $ou$ $\vec j=\sigma\vec E$

Une variation de champ magnétique crée un champ électrique :

$U_{induite}=-\frac{d\Phi}{dt}$

Une variation de champ électrique crée un champ magnétique :

$C_0=\mu_0(I_{enlac\acute{e}}+\epsilon_0\frac{d\Psi}{dt})$

Rotation : questions réponses

bernard.vuilleumier — 2007-03-05T20:53:07Z

Le mouvement des solides rigides autour d'un axe fixe fait intervenir les notions de moment de force et de moment d'inertie. La loi fondamentale de la dynamique pour décrire la rotation d'un solide rigide autour d'un axe fixe s'exprime par :

$M=I \alpha$

où $M$ est la somme des moments de force qui agissent sur le solide, $I$ son moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation et $\alpha$ son accélération angulaire.

Lorsqu'on connaît le moment d'inertie $I_G$ d'un solide de masse m relativement à un axe passe par son centre de masse $G$, on peut trouver son moment d'inertie $I$ relativement à n'importe quel axe parallèle au premier à l'aide de la règle de Steiner :

$I=I_G +mr^2$

où $r$ est la distance qui sépare les deux axes.

Énergie relativiste : questions réponses

bernard.vuilleumier — 2007-02-02T08:16:20Z

La résultante de la quantité de mouvement $\vec p$ de toutes les particules se conserve dans une collision et la somme de leurs énergies E (énergies de masse plus énergie cinétique) se conserve aussi. C'est sur ce principe de base que repose l'étude de toute collision. Mais ce principe est-il encore valable lors de chocs inélastiques ? La loi de la conservation de la quantité de mouvement s'applique à ces collisions. Mais la loi de conservation de l'énergie s'applique-t-elle aussi ? Une partie de l'énergie initiale s'est transformée en chaleur. Une autre partie de cette énergie initiale peut se retrouver en énergie de rotation des mobiles. Comment peut-on tenir compte de ces complications en limitant la description du système final aux deux seules quantités $\vec p$ et E ?

Les quantités $\vec p$ et E sont liées par la formule :

$E^2-p^2 = m^2$

La masse m du système final est supérieure à la somme des masses des objets initiaux qui sont entrés en collision. C'est une propriété nouvelle de la physique de l'espace-temps. Cette augmentation de masse mesure exactement l'énergie qui s'est transformée en chaleur, en énergie de rotation ou en toute autre forme d'excitation interne du système final. Si on ne tient pas compte de cette variation de la masse qui intervient dans de nombreuses collisions, on aboutit à une violation de la loi de conservation de la quantité de mouvement, de la loi de conservation de l'énergie ou même des deux.