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L'infini

bernard.vuilleumier — 2026-05-30T19:46:04Z

L'infini est apparu à diverses époques du développement des mathématiques. Aristote se demande déjà si la fragmentation infinie d'une grandeur finie existe. Archimède fait usage d'un processus infini d'exhaustion pour assimiler du droit à du courbe. A la Renaissance, la traduction et la diffusion des œuvres d'Archimède amorcent la naissance du calcul infinitésimal dans lequel la notion d'infini est systématiquement présente. Mais cet engagement de l'infini provoque aussitôt des difficultés considérables : qu'est-ce qu'une somme comme celle que ce calcul exige ? S'agit-il d'une somme infinie d'éléments infiniment petits, d'une somme finie d'éléments infinitésimaux ou bien d'une somme finie d'éléments infimes mais finis ? Le calcul et ses habiletés domineront les justifications conceptuelles, insuffisantes ou absentes jusqu'à l'élaboration rigoureuse – par Dedekind et Cantor à la fin du XIXe siècle – du concept d'infini.

Voir aussi : Limit at Infinity from the Wolfram Demonstrations Project.

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Hasard et sélection

bernard.vuilleumier — 2026-04-30T18:38:58Z

Pour le Britannique Richard Dawkins (1), qui est porte parole d'une version moderne et agressive du darwinisme, l'évolution peut être expliquée par le couple « mutations aléatoires – sélection ». D'autres scientifiques en revanche pensent que le darwinisme, bien qu'il présente une certaine valeur descriptive, n'explique rien du tout mais se borne à des constats écologiques sur l'abondance relative des espèces et des biotopes. Personne ne conteste la sélection naturelle ; mais elle n'exprime qu'une chose : rien n'existe qui ne soit assez solide pour exister ! Dans une zone qui se désertifie, les espèces qui disparaissent le plus vite sont certes celles qui ont le plus besoin d'eau. Mais cela n'explique pas l'apparition chez les survivants de structures dont les propriétés fonctionnelles leur permettent de mieux résister à la sécheresse. Le concept de sélection n'est pas un concept très fort et en aucun cas un instrument de preuve car il ne permet pas de prédire, sauf à assigner un but à l'évolution.

(1) Dawkins, Richard, L'horloger aveugle, Paris : Robert Laffont, 1989.

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L'adaptation

bernard.vuilleumier — 2026-04-07T12:33:07Z

Pour un biologiste, la notion d'adaptation s'applique principalement à un organisme entier. Elle fait intervenir la fécondité, la fertilité, ainsi que d'autres facteurs contribuant à la pérennité d'une espèce. La fréquence des variantes génotypiques d'un organisme dans une population, la densité des différents génotypes dans une région, et même l'écosystème entier avec lequel chaque organisme interagit contribuent à la notion d'adaptation. Dans ce contexte général, il est difficile d'assigner une valeur adaptative à un gène, voire même à un génotype, car l'adaptation dépend des relations entre les organismes d'une population et du milieu dans lequel ils vivent. Mais il est possible de restreindre la notion d'adaptation en considérant n'importe quelle propriété bien définie et sa distribution parmi un ensemble.

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Le jeu du chaos

bernard.vuilleumier — 2026-02-28T16:52:23Z

Pour jouer à ce jeu, il vous faut une feuille de papier, un crayon, une règle graduée et un dé. Dessinez un triangle équilatéral sur la feuille de papier et numérotez les sommets de 1 à 3. Choisissez arbitrairement un point $P_0$ sur votre feuille ; tirez au hasard (à l'aide du dé par exemple) un des sommets du triangle ; reliez $P_0$ à ce sommet et placez, au milieu du segment ainsi obtenu, le point $P_1$. Tirez au hasard un des sommets du triangle ; reliez $P_1$ à ce sommet et placez, au milieu du segment ainsi obtenu, le point $P_2$ ; etc. Ceux qui voudraient utiliser un ordinateur pour obtenir plus de points avant de se lasser peuvent définir la séquence de points $P_1$, …, $P_n$ en répétant n fois les instructions suivantes :

– tirer au hasard un des sommets du triangle ;
– relier le point courant $P_n$ à ce sommet (après le premier tirage, le point courant est $P_0$ ;
– placer au milieu du segment ainsi obtenu le point $P_{n+1}$ qui devient le nouveau point courant ;
– répéter les opérations ci-dessus.

Voir aussi : Chaos from the Wolfram Demonstrations Project.

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Visualiser des données 3D

bernard.vuilleumier — 2026-01-30T11:04:06Z

Créer des images à partir de données numériques est un problème qui revêt une grande importance pour tous ceux qui utilisent un ordinateur. Les logiciels disponibles pour réaliser cette tâche sont de plus en plus nombreux et certains offrent de remarquables possibilités. Pour parler de visualisation de données numériques, il est nécessaire de développer un système de classification. Une caractéristique de base d'un ensemble de données est sa dimension, c'est-à-dire le nombre d'item que comprend chaque donnée. Par exemple un ensemble de points sur une droite a la dimension 1, un ensemble de points sur un plan la dimension 2 et un ensemble de points dans l'espace la dimension 3. Une autre caractéristique est le nombre de variables indépendantes et le nombre de variables dépendantes d'une donnée. Les ensembles de données de dimension 3 par exemple qui possèdent une variable indépendante sont bien représentés par une courbe, alors qu'une surface est plus appropriée pour ceux à deux variables indépendantes.

Voir aussi : 3D Graphics from the Wolfram Demonstrations Project.

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Géométrie d'un échappement Frainier

Bernard Chabloz — 2026-01-10T14:22:37Z

Géométrie pendulette - petit pendule

Schéma global.

Lagrangien

Énergies cinétiques

$T_0=\dfrac12\,I_0\,\dot\theta^{\,2}$

où $I_0$ est le moment d'inertie du pendule par rapport au pivot $O$. On néglige la variation de ce moment d'inertie due au mouvement du petit pendule.

$ T_{\rm pp} =\dfrac12\,m\Big[\,\big(-a\cos\theta\,\dot\theta+\lambda\cos(\phi+\theta)\,(\dot\phi+\dot\theta)\big)^2 +\big(a\sin\theta\,\dot\theta-\lambda\sin(\phi+\theta)\,(\dot\phi+\dot\theta)\big)^2\,\Big] +\dfrac12\,I_G\,(\dot\phi+\dot\theta)^{2} $

En développant :

$ T_{\rm pp} =\dfrac12\,m\Big(\,a^2\dot\theta^{\,2} +\lambda^{2}(\dot\phi+\dot\theta)^{2} -2a\lambda\cos\phi\,(\dot\phi+\dot\theta)\dot\theta\,\Big) +\dfrac12\,I_G\,(\dot\phi+\dot\theta)^{2} $

où $I_G$ est le moment d'inertie propre du petit pendule, et $m$ sa masse.

Énergie potentielle

$ V = M g L\,(1-\cos\theta) + m g\Big(a\cos\theta-\lambda\cos(\phi+\theta)+\lambda-a\Big) + k\,\alpha $

où $M$ est la masse totale et $k\alpha$ l'énergie potentielle du ressort (modèle à couple constant). On néglige la variation de $L$ due au mouvement du petit pendule.

Liaison : géométrie du petit pendule

$ \frac{\sin\phi}{r}=\frac{\sin\big(\pi-(\pi-\alpha+\phi)\big)}{s} \qquad\Longrightarrow\qquad \sin\phi=\mu\,\sin(\alpha-\phi), \quad \mu=\frac{r}{s}\simeq 0.28125 $

Si on choisit $\theta$ et $\alpha$ comme coordonnées généralisées, on exprime $\phi$ en fonction de $\alpha$ à partir de cette liaison :

$ \frac{1}{\mu}\sin\phi =\sin\alpha\cos\phi-\cos\alpha\sin\phi $

On obtient :

$ \tan\phi=\frac{\sin\alpha}{\frac{1}{\mu}+\cos\alpha} =\frac{\mu\sin\alpha}{1+\mu\cos\alpha}$

Dérivée par rapport à $\alpha$ :

$ \frac{d}{d\alpha}\big(\tan\phi\big) =\frac{\frac{1}{\mu}\cos\alpha+1}{\left(\frac{1}{\mu}+\cos\alpha\right)^2} =\frac{\mu(\cos\alpha+\mu)}{(1+\mu\cos\alpha)^2}$

Elle s'annule lorsque $\cos\alpha=-\mu$ (cas du triangle rectangle, $|\phi|$ maximum, bascule du doigt).

Remarque
Pour cette valeur :

$ \tan\phi=\frac{\mu}{\sqrt{1-\mu^2}}\simeq 0.2931 \qquad |\phi_{\max}|\simeq 0.2851 $

donc l'approximation $\tan\phi\simeq \phi$ est assez bonne.

Audition et illusions

bernard.vuilleumier — 2026-01-05T10:49:01Z

L'audition est une relation de caractère subjectif entre l'excitation acoustique et la sensation physiologique. L'audition biauriculaire permet de localiser dans une certaine mesure les sources sonores et crée une impression de relief acoustique. L'oreille est sensible aux effets de masque : les diverses fréquences perçues simultanément se masquent plus ou moins les unes les autres et peuvent même créer, dans certaines conditions, des fréquences nouvelles (non linéarité de l'oreille).

Voir aussi : Shepard Tones from The Wolfram Demonstrations Project.

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Communiquer

bernard.vuilleumier — 2025-12-01T06:58:45Z

Communiquer, c'est transmettre des messages. Pour élaborer un message, nous recourons à des systèmes de signes et à divers langages. Le langage naturel fait appel à des phrases construites de mots, eux-mêmes constitués de lettres. Les symboles utilisés peuvent être des formes sonores émises par l'appareil vocal, des marques sur une feuille de papier ou des « bits » informatiques. De tels systèmes de signes permettant de représenter ou de transmettre de l'information sont appelés codes. La révolution numérique qui affecte de nos jours l'informatique et les télécommunications – réseaux mondiaux comme Internet, transmissions par satellites, réseaux numériques à intégration de services – oblige à concevoir des codes capables de transmettre de grandes quantités d'information avec un faible taux d'erreur. C'est le rôle dévolu aux codes correcteurs d'erreurs.

Voir aussi Communication sur Wolfram Demonstration Project

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Couple d'un échappement Frainier

Bernard Chabloz, bernard.vuilleumier — 2025-11-09T08:03:23Z

Construction des fenêtres

La fonction tangente hyperbolique se prête bien à cette construction.

Si on fait la somme Tanh-Tanh, on trouve évidemment 0.

Mais si on décale un peu les deux tangentes, on obtient un « pulse ».

En utilisant cette somme de tangentes hyperboliques décalées et en introduisant les paramètres $s, c, w, \sigma$ qui permettent respectivement de placer le pulse sur l'axe, de positionner son centre, de définir sa largeur et de le lisser on obtient une fenêtre :

Voir le code de la figure en langage Wolfram (LW) [1]

Couple fenêtré

En utilisant ce type de fenêtre, on va pouvoir « filtrer » le couple. Celui-ci pourra agir lorsque la fenêtre sera ouverte. Dans un échappement Frainier, la fenêtre s'ouvre lorsque le doigt pousse le bras : une première fois lorsque la pendulette se déplace de gauche à droite L-R (demi-période) et une seconde fois lorsqu'elle revient de droite à gauche R-L.

L'observation du mécanisme montre que la poussée n'a pas lieu durant toute la demi-période, qu'elle peut se produire à des instants différents selon le mouvement L-R ou R-L et qu'elle peut être asymétrique. Il faut donc envisager un temps actif par demi période, l'instant où débute l'impulsion et l'asymétrie des impulsions.

Dans cette figure, les impulsions durent 5% du temps sur chaque demi-période. Elles agissent au quart de la période (4 secondes) lors du mouvement L-R et aux trois quarts lors du retour R-L.

Voir le code de la figure en LW [2]

Blocage de phase
L'idée est de verrouiller les fenêtres en phase sur les passages $\theta=0$. En résolvant numériquement l'équation du mouvement, ou « récolte » les valeurs suivantes :

half qui va servir à caler la durée des fenêtres d'impulsion sur la demi-oscillation réelle (phase-lock).
zc qui va servir d'origine de temps local pour placer précisément les fenêtres au bon moment.
br (branche) qui va servir d'interrupteur : il active la fenêtre du bon côté (L-R ou R-L).

Chaque fois que l'angle $\theta$ passe par zéro (le pendule traverse la verticale), on fait les mises à jour suivantes :

half[t] -> t - zc[t] calcule la demi-période mesurée : c'est le temps écoulé depuis le dernier passage au centre. On met half = t (maintenant) moins zc (instant du passage précédent.
zc[t] -> t. Mémorise l'instant courant t comme nouveau passage au centre (zéro de $\theta$).
br[t] -> Sign[$\theta'(t)$]. Détermine le sens de passage : si la vitesse angulaire $\theta'(t)$ est positive, br = +1 (gauche-droite) ; si elle est négative, br =-1 (droite-gauche).

C'est comme si à chaque passage par la verticale, on enclenchait un chronomètre et on mesurait la demi-période, puis qu'on remettait le chronomètre à zéro et qu'on notait le sens de passage du pendule.

En mode phase-lock, les impulsions suivent les variations de période de l'oscillation.

[1] (*Manipulate pour explorer les effets des paramètres*) Manipulate[Plot[fen[s, c, w, \[Sigma]], {s, -10, 10}, PlotRange -> {{-10, 10}, {-0.1, 1.1}}, AxesLabel -> {"s", None}, PlotStyle -> {Thick}, Epilog -> {Dashed, Gray, Line[{{c - w/2, 0}, {c - w/2, 1}}], Line[{{c + w/2, 0}, {c + w/2, 1}}], Text[Style["centre c", 12, Black], {c, 1.05}], Text[Style["largeur w", 10, Gray], {c, 0.5}]}, ImageSize -> 500, PlotLabel -> Row[{"Fenêtre: centre = ", NumberForm[c, {3, 2}], ", largeur = ", NumberForm[w, {3, 2}], ", lissage = ", NumberForm[\[Sigma], {3, 2}]}]], (*Contrôles*) {{c, 0, "centre c"}, -5, 5, 0.01, Appearance -> "Labeled"}, {{w, 4, "largeur w"}, 0.1, 10, 0.01, Appearance -> "Labeled"}, {{\[Sigma], 0.5, "lissage \[Sigma]"}, 0.01, 2, 0.01, Appearance -> "Labeled"}, ControlPlacement -> Bottom, TrackedSymbols :> {c, w, \[Sigma]}, SaveDefinitions -> True, (*Définition de la fenêtre tanh*) Initialization -> (fen[s_, c_, w_, \[Sigma]_] := 1/2 (Tanh[(s - (c - w/2))/\[Sigma]] - Tanh[(s - (c + w/2))/\[Sigma]]);)]

[2] \[Tau]0 = 1; per = 4; Manipulate[ Plot[{couple[\[Tau]0, \[Mu], \[Delta]1, D1, \[Delta]2, D2], Sin[2 Pi/per t + Pi/2]}, {t, 0, 4}, PlotRange -> All], Delimiter, Style[Text["Paramètres de l'échappement"], 12, Bold], {{D1, .05, "\!$\*SubscriptBox[ StyleBox[\"D\",\nFontSlant->\"Italic\"], \(1$]\) (temps actif du \doigt en % L-R )"}, 0.01, .5, 0.001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, {{D2, .05, "\!$\*SubscriptBox[StyleBox[\"D\",\nFontSlant->\"Italic\"], \(2$]\) (temps actif du \doigt en % R-L)"}, 0.01, .5, 0.001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, {{\[Delta]1, 0, "\[Delta]1 (avance - retard de l'impulsion en s)"}, -0.4, 0.4, 0.001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, {{\[Delta]2, 0, "\[Delta]2 (avance - retard de l'impulsion en s)"}, -0.4, 0.4, 0.001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, {{\[Mu], 0, "\[Mu] (asymétrie d'amplitude)"}, -0.9, 0.9, 0.001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, {{\[Sigma], .01, "\[Sigma] (lissage des angles)"}, .01, .05, .001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, ControlPlacement -> Bottom, TrackedSymbols :> {tmax, D1, D2, \[Delta]1, \[Delta]2, \[Mu], \[Sigma]}, SaveDefinitions -> True, Initialization :> (n[t_] := Floor[2 t/per]; fen[s_, c_, w_, \[Sigma]_] := 1/2 (Tanh[(s - (c - w/2))/\[Sigma]] - Tanh[(s - (c + w/2))/\[Sigma]]); couple[\[Tau]0_, \[Mu]_, \[Delta]1_, D1_, \[Delta]2_, D2_] := Piecewise[{{\[Tau]0 (1 + \[Mu]) fen[t - n[t] per/4, per/4 + \[Delta]1, D1 per/2, \[Sigma]], EvenQ[Floor[2 t/per]]},(*L->R*) {-\[Tau]0 (1 - \[Mu]) fen[t - n[t] per/4, per/2 + \[Delta]2, D2 per/2, \[Sigma]], True} (*R->L*)}])]

Tableau synoptique des lettres du Club Math

bernard.vuilleumier — 2025-11-02T11:26:38Z

Actuellement, seules les lettres de janvier à novembre 1995 sont accessibles.

Tableau synoptique des lettres du Club Math de 1995 à 1998

	1995	1996	1997	1998
Janvier	Autosimilitude	Audition et illusions	Histoires de tortues	La recherche du « vrai »
Février	Géométrie fractale	Visualiser des données 3D	Ecouter des nombres	Représenter les nombres
Mars	Complexité	Le jeu du chaos	L'ordre et le chaos	Calcul numérique
Avril	Émergences	L'adaptation	Déceler l'ordre caché	Nombres, programmes et complexité
Mai	Vérité et consistance	Hasard et sélection	Forme et contrainte	Ordres de grandeur
Septembre			La mesure et l'erreur
Octobre	Joueurs, estimez vos chances !	L'infini	Randonnées
Novembre	Astrométrie	Déformations et dimensions	Quérir la simplicité
Décembre	Communiquer	La flèche du temps	L'effet papillon

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