Moment d’inertie

Déterminer le moment d’inertie
mercredi 3 mai 2006
par  Laurent Progin, Ruben da Costa, Yannick Zillweger
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Nous allons mesurer le moment d’inertie de deux cylindres de même masse et de matériaux différents. L’un des cylindres est creux et l’autre plein et ils ont la même masse et les mêmes dimensions .

En lâchant 2 cylindres sur un plan incliné, nous allons déterminer le moment d’inertie à partir de mesures de temps, de distance et d’angle. La première partie sont les mesures dont nous avons besoin pour faire nos calculs et la deuxième sont les calculs effectués.

Mesures :

a) La masse des deux cylindres est identique et vaut 1061,2 g+/-0,5 g.

b) Le rayon extérieur des deux cylindres est égal et vaut 0,025 m+/-0,005 m. Le rayon intérieur du cylindre creux vaut 0,0205 m+/-0,0005 m. Pour finir la longueur des deux cylindres est égale et vaut 0,2 m+/-0,05 m.

c) La distance séparant les deux cellules photoélectriques est de 0,998 m+/-0,005 m.

Calculs :

a)
- La masse volumique du cylindre plein est de 2702,32 kg/m3. Nous avons réussi à la trouver grâce à la formule suivante :

V=Pi*r^2*h

r est le rayon et h est la hauteur/longueur du cylindre

V=Pi*0,025^2*0.2=3,923*10^-4 m3

L’incertitude est de 13/20.

Avec cette formule on obtient le volume et pour avoir la masse volumique on fait :

rhô=m/V

m est la masse du cylindre

rhô=1,0612/3,923*10^-4=2702,32 kg/m3

L’incertitude est de 0,07% ce qui donne 1,89 kg/m3 de différence entre la masse volumique calculée et celle de la table CRM.

- La masse volumique du cylindre creux est de 8297,11 kg/m3.

On a pris le même volume total auquel on a soustrait le volume de ce qu’il y a de vide à l’intérieur.

Vtotal-Vcreux=Vcylindre

Vcreux=Pi*R^2*h=Pi*0,0205^2*0,2=2,6405*10^-4

3,923*10^-4-2,6405*10^-4=1,27995*10^-4 m3

rhô=m/Vcylindre=1.6012/1,27995*10^-4=8297,107 kg/m3

On constate que pour le cylindre plein on a une différence de 2,32 kg/m3 entre la masse volumique de l’aluminium donnée dans la table CRM et celle que l’on a trouvée par calcul. Pour le cylindre creux on a une différence de 173 kg/m3 entre la masse volumique du laiton de la table CRM et celle que l’on a calculée.

angle[°] temps du cylindre en laiton[s] temps du cylindre en aluminium[s] temps moyen de parcours[s]
4+/-0.05 2,25+/-0.05 2,04+/-0.05 2,15+/-0.05
5+/-0.05 2,00+/-0.05 1,83+/-0.05 1,92+/-0.05
6+/-0.05 1,82+/-0.05 1,64+/-0.05 1,73+/-0.05
7+/-0.05 1,68+/-0.05 1,52+/-0.05 1,6+/-0.05
8+/-0.05 1,57+/-0.05 1,41+/-0.05 1,49+/-0.05
9+/-0.05 1,48+/-0.05 1,34+/-0.05 1,41+/-0.05

d) On utilise la formule d=1/2*a*t2 pour trouver l’accélération.

angle[°] accélération du cylindre en laiton[m/s2] accélération du cylindre en aluminium[m/s2]
4+/-0.05 0,4+/-0,02 0,48+/-0,024
5+/-0.05 0,5+/-0,03 0,6+/-0,036
6+/-0.05 0,61+/-0,04 0,75+/-0,05
7+/-0.05 0,71+/-0,046 0,86+/-0,06
8+/-0.05 0,82+/-0,057 1+/-0,08
9+/-0.05 0,92+/-0,067 1,12+/-0,09

Voici le graphique des accélérations des cylindres en fonction du sinus de l’angle.

Pour calculer le moment d’inertie des cylindres en fonction de l’accélération, ils nous faut utiliser la formule :

I = ((m*r^2*sin(teta)*g)-(m*r^2*a))/a

angle[°] accélération du cylindre en laiton[m/s2] moment d’inertie[kgm2]
4+/-0.05 0,4+/-0,02 4,7*10-4
5+/-0.05 0,5+/-0,03 4,7*10-4
6+/-0.05 0,61+/-0,04 4,52*10-4
7+/-0.05 0,71+/-0,046 4,54*10-4
8+/-0.05 0,82+/-0,057 4,4*10-4
9+/-0.05 0,92+/-0,067 4,44*10-4

Le moment d’inertie moyen est 4.55*10-4 kgm2.

angle[°] accélération du cylindre en aluminium[m/s2] moment d’inertie[kgm2]
4+/-0.05 0,48+/-0,024 2,8*10-4
5+/-0.05 0,6+/-0,036 2,8*10-4
6+/-0.05 0,75+/-0,05 2,44*10-4
7+/-0.05 0,86+/-0,06 2,6*10-4
8+/-0.05 1+/-0,08 2,4*10-4
9+/-0.05 1,12+/-0,09 2,46*10-4

Le moment d’inertie moyen est 2.58*10-4 kgm2.

Le moment d’inertie trouvé avec la table CRM est pour le cylindre en :

- laiton : différence entre le Itotal et le Iintérieur = 5.5*10-4 kgm2
- aluminium : 0,5*1,06*0,0252 = 3.31*10-4 kgm2

On peut constater une différence entre les moments d’inertie calculés expérimentalement et ceux trouvés à l’aide de la table CRM. Ceux calculés expérimentalement sont plus petits que ceux trouvés grâce aux formules de la table CRM.


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