Champ magnétique d’un solénoïde

Électromagnétisme
mercredi 14 février 2007
par  Laurent Progin, Ruben da Costa, Yannick Zillweger
popularité : 1%

Dans cette expérience nous allons mesurer à plusieurs endroits différents le champ magnétique qui se forme à l’intérieur d’un solénoïde lorsqu’il est parcouru par un courant.


Champ magnétique d’un solénoïde :

Objectifs du laboratoire :

Dans ce laboratoire, nous explorerons les facteurs ayant une effet sur le champ magnétique dans un solénoïde et étudierons comment le champ varie dans différentes parties du solénoïde. En insérant un senseur de champ magnétique entre les spires du ressort, on peut mesurer le champ magnétique à l’intérieur.


Matériel nécessaire à l’expérience :

- Power Macintosh
- LabPro
- Logger Pro
- Senseur de champ magnétique Vernier
- Long ressort (alias solénoïde pour ceux ne sachant pas ce que c’est que le solénoïde)
- Mathematica
- Interrupteur
- Règle
- Alimentation continue
- Ampèremètre
- Écarteurs de carton
- Fils de connexion
- Pinces crocodile
- Carton et scotch

Avec tout ce matériel nous devons obtenir ceci :

NB : Bien entendu que tout ceci doit être branché à l’ordinateur via un câble USB passant par le LabPro pour que l’on puisse mesurer grâce à Logger Pro tout ce que l’on veut.


Questions préalables :

1.

Pour obtenir la plus grande valeur du champ magnétique se trouvant au centre du ressort, il faut que le point blanc se trouvant sur le senseur soit vers la droite, c’est-à-dire en direction du +.

2.

Si le senseur pointe vers la direction opposée, alors la valeur que l’on pourra lire grâce sur le graphique ouvert grâce à LoggerPro sera de signe - par rapport à son opposé. Par exemple si on mesure $0,2 mT$ lorsque le senseur est dirigé vers la droite (le petit point blanc), alors si on le dirige vers la gauche on pourra lire $-0,2 mT$. Maintenant si on dirige le senseur de tel sorte qu’il soit perpendiculaire à l’axe du solénoïde, nous obtiendrons un champ magnétique proche de celui que nous avons mesuré sous (4).

3.

Tableau du champ magnétique en fonction des spirales lorsque le senseur est dirigé vers la gauche (en direction du -) :

Nombre de spirales Champ magnétique B $mT$
8 $-0,205 \pm 0,008 mT$
16 $-0,195\pm 0,011 mT$
24 $-0,183\pm 0,007 mT$
32 $-0,209\pm 0,01 mT$
40 $-0,22\pm0,006 mT$
48 $-0,2285\pm0,003 mT$
56 $-0,223\pm0,009 mT$
64 $-0,21\pm0,008 mT$
72 $-0,182\pm0,007 mT$
80 $-0,176\pm0,011 mT$

On constate que plus on se rapproche du milieu du ressort, plus le champ magnétique est petit, il y a un minimum.

NB : Pour obtenir l’incertitude sur le champ magnétique, nous avons pris le plus grand et le plus petit que le logiciel avait mesuré et nous avons fait la différence.

Tableau du champ magnétique en fonction des spirales lorsque le senseur est dirigé vers la droite (en direction du +) :

Nombre de spirales Champ magnétique B $mT$
8 $0,234\pm0,002 mT$
16 $0,21\pm0,006 mT$
24 $0,199\pm0,012 mT$
32 $0,233\pm0,005 mT$
40 $0,251\pm0,002 mT$
48 $0,251\pm0,006 mT$
56 $0,231\pm0,023 mT$
64 $0,25\pm0,004 mT$
72 $0,199\pm0,009 mT$
80 $0,19\pm0,007 mT$

On constate que plus on se rapproche du milieu du ressort, plus le champ magnétique est grand, il y a un maximum (il y a une petite erreur au milieu qui fait qu’il y ait ce creux).

Conclusion du point 3 :

On voit bien grâce aux graphiques que c’est approximativement le même, mais inversé. Il y a un pic au début et au milieu il y a une valeur minimale/maximale dépendant de la direction du senseur.

4.

Le champ magnétique juste à l’extérieur du solénoïde est de $0,115 mT\pm0,003$.


Procédure :

Partie I : Champ magnétique et courant

Dans la première partie de l’expérience nous allons allons déterminer la relation entre le champ magnétique au centre d’un solénoïde et le courant à travers celui-ci. Pour mesurer ce champ nous allons placer le senseur bien au milieu du ressort (voir image suivante) et avec le point blanc tourné vers la droite pour que l’on ne prenne que des mesures positives. Ensuite nous allons varier le courant parcourant le solénoïde et nous mesurerons le champ magnétique engendré au centre du ressort.

Voici le tableau des champs magnétiques moyens, obtenus grâce au bouton Statistics, en fonction du courant que l’on faisait passer à travers le ressort :

Courant du solénoïde $A$ Champ magnétique B $mT$
$0,5\pm0,1 A$ $0,314\pm0,008 mT$
$1\pm0,1A$ $0,371\pm0,005 mT$
$1,5\pm0,1A$ $0,4224\pm0,011 mT$
$2\pm0,1A$ $0,4763\pm0,009 mT$

Tableau des caractéristiques du ressort :

Longueur solénoïde en $m$ $1 m$
Nombre de spires 82
Spires/$m$ ($m^{-1}$) 82

Partie II : Champ magnétique et nombre de spires par mètre

Dans la deuxième partie de l’expérience nous allons déterminer la relation entre le champ magnétique au centre d’un solénoïde et le nombre de spires par mètre de celui-ci. Le senseur sera orienté comme dans la Partie 1 et cette fois-ci le courant sera constant ($1,5 A$) et ce sera la longueur du ressort que l’on fera varier de $0,5 m$ à $2 m$ par pas de $0,5 m$.

Voici le tableau des champs magnétiques moyens, obtenus grâce au bouton Statistics, en fonction de la longueur du ressort qui était chaque fois plus grande de $0,5 m$ que la précédente :

Longueur du solénoïde $m$ Spires/$m$ ($m^{-1}$) Champ magnétique B $mT$
0,5 164 $0,2558\pm0,002 mT$
1 82 $0,1656\pm0,009 mT$
1,5 $\frac{164}{3}$ $0,86\pm0,005 mT$
2 41 $0,0595\pm0,004 mT$

Analyse :

1.

Ceci est le graphique du tableau se trouvant dans Partie 1.

2.

Nous pouvons constater dans le graphique précédant que plus le courant parcourant le solénoïde est élevé, plus le champ magnétique créé est grand.

3.

Pour trouver l’équation de la droite, nous utilisons Mathematica et une fonction appelée Fit. Mathematica nous donne alors ceci comme réponse :

$0,26135 + 0,10766 x$

Voici l’expression de la droite d’ajustement aux points de mesure dont l’ordonnée à l’origine est $0,26135$ et pour nous ceci correspond au champ magnétique du solénoïde lorsque le courant est de $0 A$ et est exprimé en $mT$.

4.

Fait sous Partie 2.

5.

Ceci est le graphique du tableau se trouvant dans Partie 2.

6.

Nous pouvons constater dans le graphique précédant que plus le nombre de spires par mètre ($\frac{spires}{m}$) est élevé, plus le champ magnétique créé est grand.

7.

Pour l’équation de la droite d’ajustement aux points de mesure nous utilisons la même méthode qu’en (3). Mathematica nous donne ceci comme réponse :

$-0.700066 + 607.622 x$

Voici l’expression de la droite d’ajustement aux points de mesure dont l’ordonnée à l’origine est $-0.700066$, mais nous ne savons pas à quoi cela correspond réellement, car le rapport $\frac{spires}{m}$ ne peut pas être négatif.

8.

Nos résultats sont en accord avec l’équation $B = \ \mu_{0}nI$, car si on résoud l’équation en mettant $\mu_{0}=4\pi10^{-7}$, $I=1,5 A$ et $n=41 ou 82 ou \frac{164}{3} ou 164$, on obtiendra des valeurs proches de celles trouvées lorsque l’on a mesuré le B.

9.

Pour calculer le $\mu_{0}$ expérimental, nous allons calculer chaque $\mu_{0}$ des B obtenus dans la Partie 2 et ensuite nous en ferons la moyenne. La formule utilisée est :

$\mu_{0}=\frac{B}{nI}$

Voici le tableau des $\mu_{0}$ en fonction de B.

$\mu_{0}$ Champ magnétique B $mT$
$1,04*10^{-6}\pm 0,23*10^{-6}\frac{kg*m}{A^{2}s^{2}}$ $0,2558\pm0,002 mT$
$1,35*10^{-6}\pm 0,12*10^{-6}\frac{kg*m}{A^{2}s^{2}}$ $0,1656\pm0,009 mT$
$1,05*10^{-6}\pm 0,19*10^{-6}\frac{kg*m}{A^{2}s^{2}}$ $0,86\pm0,005 mT$
$9,67*10^{-7}\pm 2,08*10^{-7}\frac{kg*m}{A^{2}s^{2}}$ $0,0595\pm0,004 mT$

Maintenant pour calculer la moyenne on fait :

$\frac{1,04*10^{-6}+1,35*10^{-6}+1,05*10^{-6}+9,67*10^{-7}}{4}$

On obtient comme réponse pour le $\mu_{0}$ expérimental :

$\mu_{0}=1,102*10^{-6}\pm1,87*10^{-7} \frac{kg*m}{A^{2}s^{2}}$

10.

$\mu_{0}=4\pi10^{-7}$ est la valeur admise et vaut environ $1,26*10^{-6}\pm0,01*10^{-6}\frac{kg*m}{A^{2}s^{2}}$ et nous avons trouvé que $\mu_{0}=1,102*10^{-6}\pm1,87*10^{-7}\frac{kg*m}{A^{2}s^{2}}$. La différence entre les 2 est de $1,58*10^{-7}\pm0,01*10^{-7}\frac{kg*m}{A^{2}s^{2}}$. Nous constatons que notre incertitude tout au long de ce laboratoire se traduit par une incertitude de $1,58*10^{-7}\pm0,01*10^{-6} \frac{kg*m}{A^{2}s^{2}}$ sur la valeur du $\mu_{0}$.


Conclusion :

Tout au long de ce laboratoire nos mesure nous ont permis de découvrir certaines propriétés des solénoïdes et des champs magnétiques engendrés par ceux-ci lorsqu’un courant les parcourt. Nous avons vu que plus le courant parcourant le solénoïde est élevé, plus le champ magnétique créé sera grand, nous avons aussi vu que plus le nombre de spires par mètre ($\frac{spires}{m}$) est élevé, plus le champ magnétique créé est grand. La formule donnant ces relations est $B = \ \mu_{0}nI$ et on constate que plus I est grand, plus B sera grand et plus n est grand plus B sera grand. Nos conclusions intermédiaires sont donc bien vraies.
Nous avons aussi à travers ce laboratoire trouvé un $\mu_{0}$ expérimental qui est la constante de perméabilité et elle n’est pas très éloignée de la valeur admise qui est de $4\pi10^{-7}$.


Documents joints

Texte - 12.7 ko

Commentaires  forum ferme

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mercredi 14 février 2007 à 11h34 - par  Bernard Vuilleumier

Lorsque vous donnez un graphique sur lequel figurent des points de mesure il ne faut pas les relier avec l’option PlotJoined->True. Vous pouvez en revanche faire figurer la courbe théorique ou celle obtenue par un « fit » sur votre graphique.

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mardi 6 février 2007 à 18h48 - par  Bernard Vuilleumier

Appréciation

Bon travail, mais essayez d’être plus concis. Certains cadres (instructions Mathematica) n’apportent pas grand chose à la compréhension du sujet. Si vous tenez à faire figurer ces informations dans votre rapport, il vaudrait mieux les reporter en annexe.

Remarques
- Il me semble que la façon de mesurer le champ est chaque fois la même. C’est l’endroit où vous mesurez qui change ainsi que la configuration du ressort. Vous dites « quand on lui donne un courant ». Dites plutôt « lorsqu’il est parcouru par un courant ».
- Lorsque vous donnez la valeur du champ magnétique avec une incertitude, il faut placer les unités après l’incertitude 0.115 $\pm$ 0.003 mT
- Il serait souhaitable de faire apparaître les points de mesures sur vos graphiques.
- L’incertitude sur la valeur expérimentale de $\mu_0$ devrait vous permettre d’« englober » la valeur théorique. Sinon, c’est que vous avez sous estimé vos incertitudes ou qu’il y a un biais systématique quelque part.

Fautes d’orthographe et/ou de syntaxe à corriger
- Tableau du champ magnétique en fonctions
- aproximativement
- en foction (2 fois)
- constante de permiabilité