Chute

mardi 2 janvier 2007
par  Mathieu Joye, Nicolas Vetterli
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Cet article est le compte rendu du travail pratique sur la chute, réalisé le 01.12.06. Il contient les graphiques, ainsi que nos analyses.

Expérience

1. Tableau des mesures du temps de chute d’une bille pour 6 différentes hauteurs.

#Hauteur mTemps 1 en sTemps 2 en sTemps 3 en sTemps 4 en s Temps moyen en s
1 0.2 0.203 0.208 0.204 0.208 0.206
2 0.4 0.289 0.291 0.293 0.288 0.290
3 0.6 0.354 0.354 0.352 0.354 0.354
4 0.8 0.408 0.409 0.409 0.409 0.409
5 1.0 0.455 0.455 0.455 0.456 0.455
6 1.2 0.501 0.498 0.499 0.499 0.499

2. Graphique des hauteurs de chutes en fonction des temps moyens élevés au carré.

PNG - 21.3 ko

3. Déterminez, à partir du graphique obtenu, l’accélération de ces mouvements.

A partir du graphique obtenu, on sait que l’équation de la droite est du type :

$y=mx$

Sachant que :

$h=\frac{1}{2}at^2$

Dans notre cas, y est la hauteur et x le temps élevé au carré. On peut donc écrire que :

$\frac{1}{2}a=m$
$a=2m$
$a=2*4.81=9.62$

4. Tableau de la vitesse finale de la bille pour chaque hauteur.

hauteur mTemps moyen sVitesse finale m/s
0.2 0.206 1.98
0.4 0.290 2.79
0.6 0.354 3.41
0.8 0.409 3.93
1.0 0.455 4.38
1.2 0.499 4.80

Nous avons calculé la vitesse finale de la bille avec la formule suivante :

$v_{finale}=at$

5. Reportez les vitesses finales calculées en fonction de la hauteur de chute (premier graphique), puis du temps de chute (deuxième graphique). Que constatez-vous ?

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Vitesse en fonction de la hauteur
Les points de couleur verte représentent nos résultats, la ligne, les résultats théoriques.
PNG - 14 ko
Vitesse en fonction du temps.
Les points de couleur bleue représentent nos résultats, la ligne, les résultats théoriques.

Nous constatons que le graphique de la vitesse en fonction du temps augmente linéairement. Plus le temps de chute est élevé, plus la vitesse est grande. La vitesse augmente aussi en fonction de la hauteur, mais non pas linéairement.

Questions

- L’équation horaire de la bille est : $r(t)=r_0+v_0t+\frac{1}{2}at^{2}$

- Fomule de la vitesse en fonction du temps et de l’accélération :

$v=at$

- On peut aussi écrire la vitesse en fonction de la hauteur et de l’accélération.
- Sachant que :

$v=at$$\rightarrow$$t=\frac{v}{a}$

- On substitue le temps par son équivalent dans l’équation suivante :

$h=\frac{1}{2}at^2$

- Ce qui nous donne :

$h=\frac{1}{2}a\frac{v^2}{a^2}$$\rightarrow$$h=\frac{v^2}{2a}$


- On obtient finalement :

$v=\sqrt{2ah}$

Vous lancez une balle verticalement vers le haut. Dessinez le vecteur caractérisant l’accélération de la balle lorsque :

- Elle s’élève :

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La balle monte

- Elle a atteint le plus haut niveau :
La balle au sommet

- Elle redescend :
La balle redescend

Pour un parachutiste, la force de frottement due à l’air n’est pas négligeable. Sa vitesse finit par se stabiliser, même si le parachute reste fermé. Le graphique ci-dessous donne l’évolution de la vitesse d’un parachutiste (en m/s) en fonction du temps (en s).

Estimez, à partir de ce graphique :
- 1. L’accélération initiale du parachutiste.

Pour pouvoir estimer l’accélération initiale du parachutiste, il faut tracer une tangente au point de départ. La pente de cette tangente nous donnera ensuite son accélération. Ici, la pente vaut 10, donc l’accélération vaut $10 [m/s^2]$.

- 2. La distance franchie par le parachutiste en 20 secondes.
Comparez cette distance à celle qu’il aurait franchie sans frottement.

Pour connaître la distance parcourue par le parachutiste, il faut calculer l’aire se trouvant sous le tracé. Ici l’aire vaut $1165m$.

- 3. Sans frottement le parachutiste aurait parcourue une bien plus grande distance. Celle-ci est trouvée en utilisant la formule $h=1/2 at^2$ ce qui nous aurait donné $2000m$.

En conclusion, nous avons pu déterminer l’accélération terrestre en mesurant le temps de chute d’une bille sur une faible distance pour que les frottements soient négligeables. Si notre résultat de l’accélération est légèrement inférieur à la valeur des tables numériques, c’est qu’il y a un instant qui s’est écoulé entre le moment où le chronomètre s’est enclenché et l’instant où la bille est lâchée.


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