Chute verticale d’une bille

Mesure des temps de chute en fonction de la hauteur
mercredi 3 janvier 2007
par  Florian Matthey, Jean-Pierre Trang
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Avec la force d’attraction terrestre, tous les corps en chute libre accélèrent. Dans cette expérience, la force de frottement est négligée car l’objet qu’on laisse tomber est petit et tombe d’une hauteur peu élevée. Ainsi, ce corps aura une accélération de 9.81 m/s² durant sa chute, c’est un MRUA.

Situation

Une bille est aimantée à une certaine hauteur, qu’on fera varier. Cet aimant est relié à un compteur qui nous permettra de mesurer les temps de chute. En déclenchant le compteur, l’aimant est démagnétisé et la bille commence sa chute libre. Lorsqu’elle percute le socle, le compteur s’arrête et affiche la durée de la chute : on note ce temps et on répète cela plusieurs fois pour les 6 hauteurs différentes.

Expérience

1. Pour effectuer nos mesures nous avons utilisé six hauteurs différentes allant de 30 à 80 centimètres avec un pas de dix centimètres entre les hauteurs successives, pour chacune d’elles nous avons lâché la bille 4 ou 5 fois afin d’obtenir une moyenne du temps de chute. Ensuite, nous avons calculé la moyenne de toutes ces valeurs pour obtenir un seul temps de chute pour chaque hauteur.

Tableau des valeurs :

Hauteur hmesure 1mesure 2mesure 3mesure 4mesure 5temps de chute moyen
30 cm 0.2536 s 0.2517 s 0.2536 s 0.2467 s 0.251 s
40 cm 0.2867 s 0.2894 s 0.2872 s 0.2871 s 0.2876 s
50 cm 0.3194 s 0.3291 s 0.3216 s 0.3215 s 0.3234 s 0.323 s
60 cm 0.3522 s 0.3524 s 0.3523 s 0.3538 s 0.352675 s
70 cm 0.3804 s 0.381 s 0.3838 s 0.3861 s 0.3799 s 0.38224 s
80 cm 0.4079 s 0.4134 s 0.4066 s 0.4048 s 0.4092 s 0.40838 s

2. En programmant sur mathematica, nous avons construit un graphique des hauteurs de chute en fonction des temps de chute moyens élevés au carré.

Le temps de chute moyen doit être élevé au carré afin que nous puissions obtenir l’accélération moyenne de la bille selon la formule :

$h=\frac{1}{2}at^2$

La pente donne l’accélération.
On remarque sur ce graphique que la droite est une équation cartésienne du type :

$y=mx+b$

Etant donné que $b$ représente l’ordonnée à l’origine, on en conclut que l’équation de la droite nous est donnée par :

$y=mx$

3. Nous avons ensuite calculé l’accélération selon la formule :

$h=\frac{1}{2}at^2$

On s’aperçoit que $x=t^2$ et que $y=h$.
Ainsi nous pouvons trouver très facilement l’accélération.

$m=\frac{1}{2}a$ $\rightarrow$ $a=2m$

L’accélération (la pente) a été calculée avec mathematica, et le programme nous donne cette valeur : 9.60101 m/s². Il y a plusieurs raisons à cette faible accélération par rapport au 9.81 habituel. Tout d’abord, il y a un frottement, même s’il est minime, qui ralenti la bille en chute libre. Mais il y a surtout le fait qu’en déclenchant le compteur et en démagnétisant ainsi l’aimant, le champ magnétique ne disparaît pas immédiatement. Cela fait que la bille reste quand même influencée, au tout début de sa chute, par le champ magnétique.

4. Grâce à la formule $v=at$, nous avons calculé la vitesse finale pour chaque temps de chute. Attention toutefois à la valeur prise pour l’accélération. Dans cette expérience, nous avons pris la valeur que nous donnait mathematica, soit 9.60101 m/s².

Tableau des valeurs :

Hauteur htemps de chute moyenvitesse finale
30 cm 0.2514 s 2.41 m/s
40 cm 0.2876 s 2.761 m/s
50 cm 0.323 s 3.101 m/s
60 cm 0.352675 s 3.386 m/s
70 cm 0.38224 s 3.67 m/s
80 cm 0.40838 s 3.92 m/s

On voit ici que plus la bille tombe de haut, plus elle aura une vitesse élevée à l’arrivée. Logique, puisqu’elle subit une accélération.

5. Encore une fois, nous avons construit des graphiques à partir de mathematica.

Voici le graphique des vitesses finales calculées en fonction de la hauteur de chute :

Celui des vitesses finales calculées en fonction du temps de chute :

La vitesse est plus grande quand la bille tombe de plus haut. Il y a cependant une vitesse limite qui est due à la force de frottement.

Questions

- Ecrivez l’équation horaire de la bille.

Sachant que la chute de la bille est un MRUA, on en conclut que
l’équation horaire de la bille nous est donnée par :

$r(t)=r_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$

- Donnez les formules de la chute des corps permettant d’obtenir :

  • la vitesse en fonction du temps et de l’accélération

$v=at$

  • la vitesse en fonction du chemin parcouru et de l’accélération.

En utilisant la formule $v=at \rightarrow=\frac{v}{a}$ et $h=\frac{1}{2}at^2$, nous pouvons poser :

$h=\frac{1}{2}a(\frac{v}{a})^2 \rightarrow v=\sqrt{2ha}$

- Vous lancez une balle verticalement vers le haut. Dessinez le vecteur caractérisant l’accélération de la balle lorsque :

  • elle s’élève

  • elle a atteint le point le plus haut

  • elle redescend

Conclusion

La vitesse finale devient plus grande quand l’objet tombe de plus haut. Par contre, il y a une vitesse limite car il y a le frottement de l’air qui intervient. Dans cette expérience, le frottement est négligeable car l’objet est petit, et la hauteur est peu élevée. En outre, cette expérience nous a permis de nous initier à mathematica.



Voici le code mathematica utilisé :

m = {{0, 0}, {0.2514^2, 0.3}, {0.2876^2, 0.4}, {0.323^2, 0.5}, {0.352675^2, 0.6}, {0.38224^2, 0.7}, {0.40838^2, 0.8}}

ListPlot[m, AxesLabel -> {"t²", "h"}, PlotStyle ->{PointSize[0.02]}]

2*Fit[m, x, x]/x

n = {{0, 0}, {2.41, 0.3}, {2.761, 0.4}, {3.101, 0.5}, {3.386, 0.6}, {3.67, 0.7}, {3.92, 0.8}}

Map[Reverse, n]

ListPlot[Map[Reverse, n], AxesLabel \[Rule] {"h", "v"}, PlotStyle -> {PointSize[0.02]}]

Plot[Sqrt[2*9.610101*h], {h, 0, 0.8}]

Show[%%, %]

r = {{0, 0}, {0.2514, 2.41}, {0.2876, 2.761 }, {0.323, 3.101}, {0.352675, 3.386}, {0.38224, 3.67}, {0.40838, 3.92}}

ListPlot[r, AxesLabel -> {"t", "v"}, PlotStyle -> {PointSize[0.02]}]

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