Chute verticale de billes

Mesure des temps de chute en fonction de la hauteur
mardi 12 décembre 2006
par  Alex Huynh, Rioza Darusman
popularité : 3%

La mesure du temps de parcours d’une bille pour différentes hauteurs de chute permet de déterminer son accélération. Pour une bille en acier et des hauteurs de l’ordre du mètre, on peut négliger la force de frottement due à l’air et l’accélération obtenue correspond à l’accélération terrestre.

Expérience

1. Nous avons mesuré le temps de chute d’une bille pour 6 hauteurs différentes. On a ensuite répété 4 fois la mesure pour chaque hauteur, pour obtenir une moyenne de temps.

# d[m] t1[s] t2[s] t3[s] t4[s] Moyenne[s]
1 0.3 0.250 0.249 0.251 0.250 0.250
2 0.4 0.289 0.286 0.287 0.288 0.288
3 0.5 0.321 0.321 0.321 0.319 0.321
4 0.6 0.351 0.351 0.354 0.351 0.352
5 0.7 0.387 0.381 0.381 0.381 0.383
6 0.8 0.406 0.407 0.405 0.406 0.406
7 0.9 0.432 0.434 0.440 0.434 0.435

2. Voici les hauteurs de chute en fonction du temps de chute moyens élevés au carré représentées sur un graphique :

3. A partir du graphique, nous obtenons pour l’accélération :

$h = 1/2at^2$

$y = mx(MRUA)$

$1/2a = m <=> a = 2m$

Il faut donc multiplier la pente de la droite par 2 pour obtenir l’accélération (résultat obtenu par Mathematica).

$a = 9.6 m/s^2$

4. Pour avoir la vitesse finale de chaque bille , il nous suffit de faire :

$V = at$

Ce qui nous donne :

v1 = 2.40 m/s
v2 = 2.77 m/s
v3 = 3.09 m/s
v4 = 3.38 m/s
v5 = 3.68 m/s
v6 = 3.90 m/s
v7 = 4.18 m/s

5. Voilà nos 2 graphiques.

- Graphique des vitesses finales calculées en fonction de la hauteur de chute :

- Graphique des vitesses finales calculées en fonction du temps de chute :

Questions

- Horaire de la bille : $r(t) = r0 + v0t + 1/2at^2$

- Formules permettant d’obtenir :

  • la vitesse en fonction du temps et de l’accélération : $V = at$
  • la vitesse en fonction du chemin parcouru et de l’accélération :

$V = at <=> t = v/a$

$h = 1/2at^2$ on remplace $t$ par $v/a$ ce qui nous donne :

$h = 1/2a \frac{v^2}{t^2} <=> h = \frac{v^2}{2a} <=> v^2 = 2ah <=> v = \sqrt{2ah}$

- Les représentations des balles et de leurs vecteurs

  • Lorsque la balle s’élève.
  • Lorsque la balle atteint son point le plus haut.
  • Lorsque la balle redescend.

- Pour un parachutiste, la force de frottement due à l’air n’est pas négligeable. Sa vitesse finit par se stabiliser, même si le parachute reste fermé. Le graphique ci-dessous donne l’évolution de la vitesse d’un parachutiste (en m/s) en fonction du temps (en s).

  • Nous pouvons donc déduire l’accélération initiale du parachutiste qui est égale à la pente de la tangente au point initial (représentée ci-dessous).

$a = 50/5 = 10 m/s^2$

  • La distance parcourue s’obtient en intégrant la vitesse sur le temps. Cela revient à trouver l’aire qui se trouve sous la courbe (représentée ci-dessous) qui donne la vitesse en fonction du temps.

- Pour le calcul de cette aire, il faut procéder par estimation, en remplaçant la courbe par de petits segments horizontaux. Ce qui nous donne environ 1165 mètres.

- Pour avoir la distance qu’il aurait franchie sans frottement, il faut utiliser

$h = 1/2at^2$

Ce qui va nous donner

$h = 2000m$

Nous pouvons constater que sans frottement, la distance parcourue est beaucoup plus importante. Cela est normal, car sans la force de frottement, il ne peut pas y avoir de stabilisation de vitesse.

Conclusion

Pour finir, nous avons pu constater, grâce au travail que nous avons effectué, la relation qu’il y a entre la hauteur de la chute, son temps de chute, et l’accélération qui nous permettent de trouver des formules pour pouvoir résoudre des problèmes dont la force de frottement est négligée. Nous avons travaillé avec des hauteurs assez basses ce qui nous a permis de négliger cette force.


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