Détermination d’un Moment d’Inertie

Cylindres roulant sur un plan incliné
mardi 6 mars 2007
par  Antonio Rodriguez Pupo, Lionel Balmer
popularité : 3%

Dans cette expérience, nous lâchons deux cylindres, l’un est évidé l’autre plein, de même masse et de même rayon sur un plan incliné. Nous remarquons qu’ils ne subissent pas la même accélération. Cela est dû au fait que la matière n’est pas répartie de même façon autour de l’axe de rotation. Ce phénomène est dû aux moments d’inerties différents des cylindres .

Plan

1. Introduction

2. Matériels

3. Consignes

4. Valeurs mesurées

5. Réponses

6. Conclusion

1. Introduction

Notre expérience consiste à déterminer les moments d’inertie de 2 cylindres roulant sur une pente. Les cylindres ont la même masse et le même rayon. L’un est en aluminium plein, l’autre en laiton évidé.
Nous les faisons rouler sur une pente, à différentes inclinaisons, en mesurant le temps de passage entre 2 cellules photoélectriques.
En effectuant plusieurs mesures supplémentaires, telles que la longueur, le diamètre, l’angle ou encore la masse volumique ; nous sommes en mesure de calculer les moments d’inertie de chaque cylindre.

2. Matériels

Nous avons utilisé le dispositif suivant :

DISPOSITIF_02_.bmp

Avec un cylindre en aluminium plein

BMP - 29.3 ko
Cylindre Aluminium

Et un cylindre en laiton évidé

BMP - 29.3 ko
Cylindre Laiton

3. Consignes


Mesures

I. Pesez les deux cylindres et estimez l’incertitude sur les masses. Réponses
II. Mesurez les dimensions des cylindres (rayon, rayon intérieur, longueur) et estimez l’incertitude sur ces dimensions. Réponses
III. Mesurez la distance séparant les deux cellules photoélectriques et estimez l’incertitude sur ces dimensions. Réponses
IV. Mesurez l’inclinaison du plan. Réponses
V. Mesurez le temps nécessaire à chaque cylindre pour franchir la distance entre les deux cellules photoélectriques pour différentes inclinaisons. Réponses


Calculs et graphiques

a. Calculez la masse volumique de chaque cylindre et l’incertitude sur celle-ci. Réponses
b. Calculez le temps moyen de roulement pour chaque inclinaison. Réponses
c. Calculez les accélérations des cylindres pour les différents angles et l’incertitude sur celles-ci. Réponses
d. Reportez graphiquement l’accélération des cylindres en fonction du sinus de l’angle d’inclinaison. Réponses
e. Calculez les moments d’inertie des cylindres et l’incertitude sur ceux-ci en utilisant différentes accélérations. Réponses
f. Comparez ces moments aux valeurs obtenues en utilisant les formules des « Tables et formulaires CRM ». Réponses

4. Valeurs mesurées

{{}} {{}} Aluminium Laiton
Masse 1.0613 ± 0.00005 kg 1.062 ± 0.00005 kg
Rayon intérieur pas de données 0.0209750 ± 0.0000125 m
Rayon extérieur 0.025 ± 0.0000125 m 0.025 ± 0.0000125 m
Longueur 0.214 ± 0.0005 m 0.214 ± 0.0005 m
Diamètre intérieur pas de données 0.041950 ± 0.000025 m
Diamètre extérieur 0.05 ± 0.000025 m 0.05 ± 0.000025 m

Distance entre les deux cellules photoélectriques 1.002 ± 0.001 m


Inclinaisons du plan

Nous avons utilisé 6 inclinaison différentes correspondant au lettres grecques : alpha (α), bêta (β), gamma (γ), delta (δ), epsilon (ε), zêta (ζ).

Établis grâce à la tangente que nous calculons :

$\tan$(Angle) = $\frac{\mbox{D\’enivelation}}{\mbox{Longueur au sol}}$

Nous trouvons :

Angle en degréAngle en radian
α = 8.320519671° α = 0.145220464
β = 8.180229882° β = 0.14277195
γ = 7.336471441° γ = 0.180558
δ = 5.355825043° δ = 0.09376781
ε = 2.933841857° ε = 0.051205
ζ = 2.004534032° ζ = 0.03985719


Temps

Ci-dessous, une liste des temps de parcours des cylindres entre les deux cellules photoélectriques en fonction de l’angle d’inclinaison de la rampe. Cette inclinaison étant réglée par le cric.

Nous avons effectué 5 tirs par inclinaison, correspondants aux temps : T1 ; T2 ; T3 ; T4 ; T5.

  • Alpha (α)
T1
Aluminium 1.3933 s 1.3988 s 1.3925 s 1.3911 s 1.3966 s
Laiton 1.5479 s 1.5471 s 1.5490 s 1.5502 s 1.5484 s
  • Bêta (β)
T1
Aluminium 1.4148 s 1.4200 s 1.4156 s 1.4259 s 1.4172 s
Laiton 1.5775 s 1.5763 s 1.5780 s 1.5780 s 1.5767 s
  • Gamma (γ)
T1
Aluminium 1.4867 s 1.4784 s 1.4838 s 1.4840 s 1.4849 s
Laiton 1.6433 s 1.6443 s 1.6457 s 1.6441 s 1.6467 s
  • Delta (δ)
T1
Aluminium 1.7352 s 1.7270 s 1.7275 s 1.7243 s 1.7397 s
Laiton 1.9203 s 1.9238 s 1.9212 s 1.9190 s 1.9211 s
  • Epsilon (ε)
T1
Aluminium 2.3397 s 2.3360 s 2.3300 s 2.3084 s 2.3252 s
Laiton 2.5773 s 2.5777 s 2.5718 s 2.5674 s 2.5696 s
  • Zêta (ζ)
T1
Aluminium 3.1173 s 3.0950 s 3.0777 s 3.0434s 3.0452 s
Laiton 3.4245 s 3.4383 s 3.4153 s 3.4311 s 3.4191 s

5. Réponses aux questions


a. Masse Volumique des cylindres

Voir la question

  • Aluminium
$\rho = \frac{Masse_{aluminium}}{Longueur*\pi*Rayon_{ext\’erieur}^2}$

Puis nous posons nos données dans l’équation :

$\rho = \frac{1.0613 \pm 0.00005}{(0.214 \pm 0.0005)*\pi*(0.025 \pm 0.0000125 )^2}$

Nous obtenons finalement :

$\rho = 2525.77 \pm 8.54611$kg/m3

Dans la table CRM, nous lisons :

ρ = 2700 kg/m3

  • Laiton

Le même calcul, nonobstant tenant compte du trou traversant ce cylindre :

$\rho = \frac{Masse_{laiton}}{Longueur*\pi*Rayon_{ext\’erieur}^2 - Longueur*\pi*Rayon_{int\’erieur}^2}$

Puis nous introduisons nos données dans l’équation :

$\rho=\frac{1.062~!\pm~!0.00005}{(0.214~!\pm~!0.0005 )~!*\pi*~![(0.025~!\pm~!0.0000125)^2 - (0.0209750~!\pm~!0.0000125)^2]}$

Nous calculons finalement :

$\rho = 8536.37 \pm 15.3029$kg/m3

Nous trouvons dans la table CRM

ρ = 8470 kg/m3


b. Temps de roulement moyens

Voir la question

Pour ce faire nous effectuons un simple calcul de moyenne, pour chaque inclinaison et pour chaque cylindre :

Tmoyen= $\frac{T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + T_5}{5}$

Nous calculons les temps suivants :

TangleAluminiumLaiton
Tempsα 1.39446 s 1.54852 s
Tempsβ 1.4187 s 1.5733 s
Tempsγ 1.48284 s 1.64482 s
Tempsδ 1.73074 s 1.92108 s
Tempsε 2.327214 s 2.57276 s
Tempsζ 3.07572 s 3.42566 s

Évolution graphique :


c. Accélération des cylindres

Voir la question

L’accélération se calcule de la manière suivante :

a = $\frac{2*d}{t^2}$
  • Aluminium

L’accélération nous donne :

Accélération en fonction de l’angle
aα = 1.03059 ± 0.00102853 m/s2
aβ = 0.995673 ± 0.000993685 m/s2
aγ = 0.9114 ± 0.000909581 m/s2
aδ = 0.669012 ± 0.000667677 m/s2
aε = 0.37002 ± 0.000369281 m/s2
aζ = 0.211838 ± 0.000211415 m/s2
  • Laiton

Puis, de même :

Accélération en fonction de l’angle
aα = 0.835726 ± 0.000834058 m/s2
aβ = 0.809608 ± 0.000807992 m/s2
aγ = 0.740732 ± 0.000739253 m/s2
aδ = 0.543009 ± 0.000541925 m/s2
aε = 0.30276 ± 0.000302156 m/s2
aζ = 0.170769 ± 0.000170428 m/s2


d. Graphique de l’accélération du cylindre en fonction de l’angle d’inclinaison

Voir la question


e. Moments d’Inertie des cylindres

Voir la question

Nos cylindres posés sur la rampe subissent trois forces : le poids m • g ; une force de frottement Ffrott et une force de soutien N normale au plan. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique :

$\sum$ $\vec F_{frott}$
= m • $\vec a$

On détermine l’accélération du centre de masse :

a = g • $\sin$(Angle) - $\frac{F_{frott}}{m}$


L’accélération angulaire α = $\frac{a}{r}$ du cylindre s’obtient à partir de la relation fondamentale de la dynamique, expliquée au-dessus et ici appliquée aux corps solides en rotation :

$\sum$ M = I • α [1]

$\sum$M est la somme des moments de force agissant sur notre cylindre et I le moment d’inertie de ce dernier. La seule force dont le moment n’est pas nul est Ffrott. La relation ci-dessus s’écrit subséquemment :

a = $\frac{m*r^2*g*sin(Angle)}{m*r^2+I}$

Nous isolons I dans l’équation suivante :

I = $\frac{-a_{Angle}*m*r^2+g*m*r^2*sin(Angle)}{a_{Angle}}$

À partir de cette équation nous pouvons enfin trouver les moments d’inertie :

  • Aluminium
Moment d’inertie en fonction de l’angle
Iα = 0.000250383 ± 0.00000117405 kg • m2
Iβ = 0.000266589 ± 0.00000120719 kg • m2
Iγ = 0.000618819 ± 0.00000192755 kg • m2
Iδ = 0.000247377 ± 0.0000011679 kg • m2
Iε = 0.000236775 ± 0.00000114622 kg • m2
Iζ = 0.000560669 ± 0.00000180862 kg • m2
  • Laiton
Moment d’inertie en fonction de l’angle
Iα = 0.000463427 ± 0.0000016108 kg • m2
Iβ = 0.0004803 ± 0.00000164533 kg • m2
Iγ = 0.000914228 ± 0.00000253333 kg • m2
Iδ = 0.000458699 ± 0.00000160112 kg • m2
Iε = 0.000436735 ± 0.00000155617 kg • m2
Iζ = 0.00085503 ± 0.00000241219 kg • m2

On en perçoit graphiquement l’évolution :


f. Comparaison avec le formulaire et tables CRM

Voir la question

La formule pour calculer le moment d’inertie données par le CRM est :

  • pour un cylindre
I = $\frac{m*r^2}{2}$

Nous calculons :

I = 0.000331656 ± 0.000000347281 kg • m2

  • pour un anneau
I=$\frac{1}{2}*\rho*~![\pi*Longueur*(Rayon_{ext}^2-Rayon_{int}^2)]~!*~!(Rayon_{int}^2+Rayon_{ext}^2)$

Nous obtenons :

  • Pour la masse volumique (ρ) calculée précédemment

I = 0.000565489 ± 0.00000590075 kg • m2

  • Pour la masse volumique (ρ) donnée par le CRM

I = 0.000561092 ± 0.00000484902 kg • m2

6. Conclusion

La détermination expérimentale des moments d’inertie des cylindres et la confrontation des résultats qui en découlent avec des résultats "théoriques" ou tout du moins établis, nous a permis de "réaliser la théorie". De ce fait nous avons pu mieux l’appréhender à travers une expérience, qui en dépit de sa longueur et complexité, s’avère être somme toute ludique et constructive.

Grâce à une volonté de rigueur particulièrement importante dans notre travail, notamment dans la précision des données et calculs, nous avons réussi à obtenir des valeurs expérimentales très proches de celles établies dans le CRM. Ce qui est considérablement gratifiant pour nous.


[1α représente ici la vitesse angulaire. Retour à la suite


Commentaires  forum ferme

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dimanche 25 février 2007 à 13h34 - par  Antonio Rodriguez Pupo

Concernant votre remarque (premier graphique) :

Votre premier graphique (pas demandé) est troublant : lorsque l’angle d’inclinaison augmente, le temps de chute devrait diminuer ! Si vous voulez vérifier qu’il s’agit d’un MRUA, il faudrait reporter t^2 en fonction de \frac1sin(angle) pour voir si vous obtenez bien des droites de pentes positives.

Si vous regardez les angles, de alpha à zeta, ils sont décroissants. Ce n’est donc pas paradoxal. En fait le temps de chute augmente quand l’angle d’inclinaison diminue.

Logo de Bernard Vuilleumier
jeudi 22 février 2007 à 11h22 - par  Bernard Vuilleumier

Appréciation

Vous avez fait un travail considérable. Bravo. Il y a tout de même quelques points à modifier pour la publication.

Remarques
- Vous dites « Ce phénomène s’appel le moment d’inertie ». Dites plutôt « Ce phénomène est dû aux moments d’inerties différents des cylindres »
- « Notre expérience consiste à calculer les moments de force » Vous mesurez les moments d’inertie et pas les moments de force.
- « La détermination expérimentale des moments de force » des moments d’inertie
- D’une manière générale, vous surestimez la précision de vos mesures :

  • La précision de la balance est-elle vraiment au centième de g ? Si c’est la cas, vous devez écrire $1.06130 \pm 0.00005$ kg et $1.06200 \pm 0.00005$ kg
  • Les dimensions de vos cylindres sont données au dix millième de mm !
  • Vous êtes très optimistes en pensant mesurer la projection au sol de la distance entre les cellules au mm près.
  • Les inclinaisons comportent beaucoup trop de chiffres. La méthode de mesure des inclinaisons que vous avez utilisée ne permet guère d’obtenir une précision meilleure que le dixième de degré (je n’ai trouvé nulle part les valeurs mesurées pour les dénivellations ?)
  • Je doute que la mesure des temps puisse se faire au dix millième de seconde. Idem pour les temps moyens.
  • Les accélérations et leurs incertitudes ne devraient pas, d’après mes estimations, être connues à mieux que $10^{-3}$ $m/s^2$ près.
  • Les incertitudes sur les moments d’inertie, en tenant compte de ce qui précède sont, d’après mes estimations, de l’ordre de $2\times 10^{-6}$ $kgm^2$ (toutes les décimales supplémentaires sont dépourvues de signification).

- Votre premier graphique (pas demandé) est troublant : lorsque l’angle d’inclinaison augmente, le temps de chute devrait diminuer ! Si vous voulez vérifier qu’il s’agit d’un MRUA, il faudrait reporter $t^2$ en fonction de $\frac{1}{sin(angle)}$ pour voir si vous obtenez bien des droites de pentes positives.
- Vous donnez, avec le deuxième graphique, l’accélération des cylindres en fonction de l’angle d’inclinaison de la rampe. On demandait l’accélération en fonction du sinus de l’angle d’inclinaison. L’allure de vos courbes est fausse ! L’accélération augmente lorsque l’inclinaison augmente, et si vous reportez l’accélération en fonction du sinus de l’angle d’inclinaison, vous devriez obtenir des droites de pentes positives.
- Il est un peu risqué, dans ce contexte, d’utiliser $\alpha$ pour désigner un angle (cette lettre désigne l’accélératin angulaire)
- Le troisième graphique sème la confusion dans l’esprit du lecteur : le moment d’inertie d’un cylindre est une propriété intrinsèque de ce cylindre et il ne dépend ni de l’angle d’inclinaison d’un plan, ni de la couleur de la table …
Apparemment, il y a deux mesures qui font problème : la troisième et la sixième. Les autres points sont assez bien alignés sur des horizontales comme il se doit (moments d’inertie constants). Soit vous supprimez ce graphique, soit vous supprimez les points qui font problème (je ne vais pas vous demander de refaire ces mesures !)

Faute d’orthographe à corriger
- Ce phénomène s’appel le moment d’inertie.