Energie d’un mouvement harmonique simple

Oscillateur harmonique
dimanche 10 décembre 2006
par  Florian Matthey, Jean-Pierre Trang
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Considérons une masse accrochée à un ressort. Si on soulève cette masse et qu’on la lâche, elle oscillera. En observant cette masse oscillante, on peut étudier sa position, sa vitesse et son accélération en fonction du temps ; mais on peut aussi étudier les énergies mises en jeu dans cette situation. C’est ce que nous avons fait dans ce laboratoire.

Objectifs :

  • Examiner les énergies mises en jeu dans un mouvement harmonique simple (mhs).
  • Illustrer le principe de conservation de l’énergie.

Matériel :

- Power Macintosh
- LabPro
- Logger Pro
- Détecteur de mouvement Vernier
- Panier métallique
- Jeu de masses
- Support pour masses
- Ressort (k = 1-10 N/m)
- Support

Situation :

Une masse est accrochée à un ressort. Elle est soulevée puis relachée pour qu’elle puisse osciller.
L’expérience consiste à étudier la position, la vitesse, et les différentes énergies présentes en fonction du temps.
Il y a également la force de frottement (qui est faible, ne change donc pas beaucoup les résultats obtenus) et de pesanteur qui agissent sur ce système. Cette force de frottement va dans le sens contraire du déplacement de la masse.

L’énergie est ici présente sous trois formes :

- L’énergie cinétique :

  • Ecin = 1/2 * m * v²
    • m est la masse en kg et v est la vitesse en m/s.

- L’énergie potentielle élastique :

  • Epotélastique = 1/2 * k *y²
    • k est la constante du ressort en N/m et y est l’extension ou la compression du ressort en m, mesurée à partir de la position d’équilibre.

- L’énergie potentielle de gravitation :

  • Epotgravitationnel = m * g * y
    • g est la constante de gravitation, qui vaut 9.81 m/s²

On ne prend pas en compte cette dernière car nous mesurons la longueur du ressort à partir de sa position d’équilibre, où y = 0. Par ailleurs, le système ne subissant pas d’autres forces, nous pouvons appliquer le principe de conservation de l’énergie :

- Etotale = $\Delta$Ecin + $\Delta$Epotélastique = 0

Procédure :

Tout d’abord, nous accrochons le support pour masses au ressort, qui a une masse de 0.01 kg. Ce support doit se trouver à environ 60 cm du détecteur afin que nous puissions faire osciller la masse avec une certaine amplitude tout en la gardant au-delà de la distance minimum de 40 cm du détecteur. C’est la position d’équilibre prise pour le reste de l’expérience.

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(Image prise du protocole)

N.B. : Les masses indiquées dans la suite de l’article sont les masses rajoutées par rapport à la position d’équilibre. Cela veut dire que si une masse de 0.07 kg est indiquée, la masse totale accrochée au ressort est égale à 0.07 + 0.01 = 0.08 kg.

1. Nous avons tout d’abord mesuré la position et la vitesse en fonction du temps. Pour cela, nous avons mis une masse de 0.07 kg sur le support pour masses. Ensuite, nous avons fait osciller cette masse avec une amplitude d’environ 10 cm, pour cela nous avons soulevé la masse de 10 cm et l’avons relâchée. Après avoir collecté les données avec Logger Pro, nous obtenons ces deux graphiques :

  • Graphique de la position en fonction du temps :

  • Graphique de la vitesse en fonction du temps :

2. Pour calculer l’énergie potentielle du ressort, il est nécessaire de mesurer la constante du ressort, k (la loi de Hooke dit que la force de rappel est proportionnelle à son écart à l’équilibre : F = -kx). Pour cela, nous avons tout d’abord rétabli la position d’équilibre en enlevant toutes les masses du support. Afin d’avoir la position d’équilibre de différentes masses, nous avons effectué d’autres mesures en suspendant les masses suivantes : 0.02 kg, 0.07 kg, 0.12 kg et 0.17 kg. Cependant, pour que le logiciel puisse bien situer ces points sur le graphique (pour calculer la pente donnée par la droite qui passe par ces points), nous avons dû calculer la force de pesanteur qui s’exerce sur chacune des masses avec la formule m * g. Voici les valeurs obtenues :


Les chiffres désignent les différentes masses :

  1. 0.02 kg
  2. 0.07 kg
  3. 0.12 kg
  4. 0.17 kg

Nous avons alors quatre points que nous "relions" en demandant au logiciel de créer une droite grâce à la régression linéaire.
Ainsi, nous avons la pente de cette même droite qui correspond à la constante du ressort k.

La pente valant la constante du ressort, on voit que k = 4.196 N/m.

3. Maintenant que nous avons k, on va faire les graphiques pour les différentes formes d’énergie. Ces graphiques vont être établis avec une masse de 0.07 kg et une amplitude d’environ 10 cm, comme au point 1. Après avoir recolté les données de la position, de la vitesse et des énergies ; Logger Pro a lui-même fait les graphiques :

  • Graphique de l’énergie cinétique en fonction du temps :

  • Graphique de l’énergie potentielle élastique en fonction du temps :

  • Graphique des trois formes d’énergie en fonction du temps :
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1. énergie potentielle élastique
2. énergie cinétique
3. énergie totale (en J)
  • Les graphiques de la position et de la vitesse sont les mêmes qu’au point 1.

Analyse :

On voit dans le dernier graphique que l’énergie mécanique totale est conservée. Par ailleurs, on voit sur les courbes de l’énergie cinétique et l’énergie potentielle élastique que ces dernières varient à peu près périodiquement. Cela est dû au va-et-vient de la masse accrochée au ressort. En outre, on remarque un déphasage qui fait que quand l’énergie cinétique est au plus haut point, l’énergie potentielle élastique est tout en bas (et inversément). Si la force de frottement était plus grande, on aurait eu des pertes visibles.

Conclusion :

Grâce à un travail pratique, nous avons pu observer le comportement des différentes formes d’énergie présentes dans un mouvement harmonique simple. Avec un détecteur, les données nécessaires au calcul de ces énergies ont pu être mesurées : nous avons observé le comportement de l’énergie cinétique et potentielle élastique, mais surtout, nous avons vu que l’énergie mécanique totale est conservée.


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