Énergie du mouvement harmonique simple

Énergies cinétique, potentielle et totale
mercredi 27 décembre 2006
par  Laurent Chuat, Yannick Schlaeppi
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Une masse oscillant verticalement peut être décrite en termes de position, vitesse et accélération. Elle peut également l’être du point de vue énergétique en mettant en évidence la conservation de l’énergie totale.

But du laboratoire :

  • Examiner les énergies mises en jeu dans un mouvement harmonique simple
  • Illustrer le principe de conservation de l’énergie

Matériel :

  • Ordinateur avec logiciels LabPro et LoggerPro installés
  • Détecteur de mouvement Vernier
  • Panier métallique pour protéger le détecteur
  • Jeu de masses de 50 g
  • Ressort
  • Support pour suspendre le ressort au dessus du détecteur

1. Introduction

Dans le cas d’un mouvement harmonique simple (MHS), 3 énergies entrent en jeu :

  • l’énergie cinétique qui est donnée par la formule : $E_{cin} = \frac{1}{2} m v^2$ où $m$ est la masse du mobile et $v$ sa vitesse.
  • l’énergie potentielle élastique que possède le ressort et qui est donnée par la formule : $E_{elastique} = \frac{1}{2} k y^2$ où $k$ est la constante du ressort et $y$ la distance du mobile par rapport à sa position d’équilibre.
  • l’énergie potentielle de gravitation, donnée par la formule $E_{grav} = m g y$ où $g$ est la constante de gravitation, $m$ la masse du mobile et $y$ la distance de celui-ci par rapport à l’origine du référentiel.
    Toutefois, celle-ci peut être ignorée si les mesures sont faites à partir de la position d’équilibre de la masse et du ressort pour se concentrer sur les interactions entre les 2 premières énergies.

En ne tenant compte que des deux premières forces et en supposant que le système ne subit aucune autre force, alors nous pouvons affirmer selon le principe de conservation de l’énergie que $E_{mecanique} = \Delta E_{cinetique} + \Delta E_{elastique} = 0$

2. Partie pratique

A. Nous suspendons une masse de 0.11 kg à notre ressort et l’écartons de 0.1 m de sa position d’origine afin d’observer ce qu’il se passe en termes de position et de vitesse en fonction du temps lorsque nous la relâchons.

Les données collectées par le détecteur de mouvement nous donnent alors ceci :

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Essai 1a
Graphique de la position et de la vitesse en fonction du temps et sans frottement.

Nous pouvons ainsi voir que le graphique reste très régulier en l’absence de frottements, l’amplitude ne diminuant pas de manière visible avec le temps. Il en va de même pour la vitesse.

B. Afin d’aller plus loin et de pouvoir connaître l’énergie élastique du ressort, nous devons calculer la constante $k$ de ce dernier.
La loi de Hooke affirme que la force de rappel du ressort est proportionnelle à son écart à l’équilibre, soit $F = - k x$.
En appliquant une force connue (dans ce cas là, un poids) et en faisant détecter la position d’équilibre par le capteur, nous pouvons ainsi obtenir ceci :

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Calcul de la constante du ressort
Représentation des points d’équilibres en fonction de la force appliquée au ressort et détermination de la constante de celui-ci qui correspond à la pente du graphique.

Nous voyons donc que la constante $k$ du ressort vaut 2.803 N/m.
Grâce à cela, nous pouvons maintenant calculer l’énergie élastique du ressort et de là, calculer l’énergie mécanique.

C. Nous suspendons à nouveau une masse de 0.11 kg et l’écartons de 0.1 m de sa position d’équilibre afin d’observer ce qu’il se passe du point de vue de l’accélération et de l’énergie. Nous obtenons alors ceci :

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Essai 1b
Graphique de l’accélération, de l’énergie cinétique, de l’énergie élastique et de l’énergie mécanique en fonction du temps et sans frottement

L’énergie mécanique est quasi nulle et tout du moins conservée, ce qui confirme notre postulat sur la conservation de l’énergie.
La deuxième observation que nous pouvons faire est que les graphiques de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle s’opposent. Lorsque l’énergie cinétique est nulle (et donc notre mobile se trouve à l’un des deux extremums de sa trajectoire), l’énergie potentielle élastique y est la plus élevée et inversement, lorsque l’énergie potentielle élastique est nulle (et donc le mobile se trouve à sa position d’équilibre), l’énergie cinétique est à son extremum.

3. Extensions

a) Énergie potentielle gravitationnelle et position d’équilibre

Nous avons affirmé dans l’introduction que l’énergie potentielle de gravitation pouvait être ignorée si le déplacement utilisé dans le calcul de l’énergie potentielle élastique était mesurée à partir de la position d’équilibre. Nous allons maintenant le démontrer.

Prenons un système dont on fixe l’origine $0_{y}$ en bas du ressort au repos et sans masse (sans force). L’énergie mécanique totale s’écrit sous la forme :

$E_{mec} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k y^2 + g m y$

Écrivons maintenant cette même énergie mécanique dans un système où l’origine $0_{h}$ est la position d’équilibre de la masse accrochée au ressort. Nous obtenons :

$E_{mec} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k (\frac{g m}{k} - h)^2 + g m h$ où l’expression $\frac{g m}{k}$ correspond à la position d’équilibre du ressort.

Soit en développant et en simplifiant :

$E_{mec} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{g^2 m^2}{2k} - g m h + \frac{k h^2}{2} + g m h$

$E_{mec} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{k h^2}{2} + \frac{g^2 m^2}{2k}$

Ce dernier terme ne dépend pas de $h$, c’est donc une constante. Nous avons dit que l’énergie mécanique était une constante et donc, en retranchant une constante à une constante, nous obtenons une constante. Ce dernier terme peut donc être omis car il n’influe pas sur le principe de conservation de l’énergie.

b) Force de frottement

Nous accrochons une grande rondelle de carton à notre poids de 0.11 kg afin de voir l’effet d’une force non-conservative (dans ce cas, une force de frottement) sur notre système. L’écartement est le même que lors du premier essai, à savoir 0.1 m.

Les données collectées sont alors les suivantes :

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Essai 2a
Graphique de la position et de la vitesse en fonction du temps et avec frottements.
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Essai 2b
Graphique de l’accélération, de l’énergie cinétique, de l’énergie élastique et de l’énergie mécanique en fonction du temps et avec frottements.

L’effet n’apparait pas clairement car les données n’ont été collectées que sur 5 secondes mais si nous pouvions continuer les graphiques, nous verrions clairement une diminution de toutes nos données. L’effet n’est que peu visible sur le graphique mais apparait quand même.
L’énergie mécanique n’est alors plus conservée.

4. Conclusion

L’énergie du mouvement harmonique simple est donc bel et bien conservée, pour autant que l’on puisse négliger le frottement et ainsi prôner que ce mouvement se situe dans un champ de force conservatif.
$E_{mecanique} = \Delta E_{cinetique} + \Delta E_{elastique} = 0$ est alors vrai.

Mais si une nouvelle force, non-conservative cette fois-ci, fait son apparition, notre postulat de la conservation de l’énergie ne devient alors plus possible et la formule ci-dessus devient fausse.


Portfolio

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